微分方程的多解與變號解

微分方程的多解與變號解【摘要】：偏微分方程解的存在性與多重性是非線性分析的一個重要研究內(nèi)容,有著廣泛的背景,它來源于物理、生物工程、化學和醫(yī)學等領域.近年來,許多學者對偏微分方程進行了研究,例如利用變分方法和臨界點理論研究了各種Schrodinger方程解的存在性與多解性.這些研究都進一步促進了非線性分析的發(fā)展.本文利用變分方法、Morse理論、臨界點理論、拓撲度理論研究了幾類偏微分方程的解與變號解.本文分為五章.第一章,我們介紹一些研究背景,國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及本文的一些主要結果.第二章中,我們對經(jīng)典橢圓方程Dirichlet邊值問題進行了研究,其中Q(?)RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域,fC1(R1,R1)滿足次臨界增長條件|ft(x,t)|C(1+|t|p-2),(x,t)R1,其中C0是一正常數(shù),p(2,2),如果N3,則2*=2N/(N-2)；如果N-1,2,則2*-.我們把拓撲度、臨界群、不動點指數(shù)結合起來,得到它們之間的一些轉化關系,給出一些假設條件,使得非線性項f在0點和共振和跨特征值.我們解決了僅僅使用不動點指數(shù)和拓撲度理論不能研究共振情形的問題,如文獻1(J.Math.Anal.Appl.314(2006)464-476).我們考慮在0點和都共振的情形,這是一般文章都沒有考慮的情形.而且我們的共振條件去掉了2(Math.Z.233(2000)655-677)中的有界性條件.我們還研究了單邊共振的情形,這種共振條件又比我們常見的要弱,它去掉了極限存在的要求和增長性條件.我們得到的結論是：f在0點共振或跨特征值,在點共振或單邊共振或跨特征值,那么上述邊值問題都有七個非平凡解,其中兩個正解、兩個負解、三個變號解.在維數(shù)N=1時,我們可以進一步計算第七個解的臨界群,從而得到第八個解,這個解是變號解,所以在維數(shù)為一的情形下,我們得到兩個正解、兩個負解、四個變號解.在維數(shù)N=1,方程是四階時,就化為1中所研究的問題.我們不僅給出了零點和無窮遠點共振的情形,而且當0點共振到奇特征值或跨奇特征值時,還可以通過計算臨界群,得到七個非平凡解,其中三個變號解,這種情形利用1中的方法,不能考慮.而在0點和都共振到偶特征值時,得到六個非平凡解,這樣的共振情形也是1中的方法所不能研究的.1中只能考慮在零點和無窮遠點都是跨偶數(shù)個特征值的情形.從而我們推廣了1的結論,而且得到比1中更好的結果.我們假設以下條件：(f1)f(x,t)t0,(x,t)R1；(f2)存在n02滿足。0n0+1,使得ft(x,0)=n0+1,x.且存在0,使得f(x,t)tn0+1t2,(x,t)-,；(f3)存在b0,使得|f(x,t)|b,(x,t)-bc,bc,其中c=maxxe(x),且e是邊值問題：的解；(f4)存在滿足n1-1n1的正整數(shù)n11及C10,(0,1),使得(?)f(x,t)/t=n1,對x一致成立,|f(x,t)-n1t|C1(1+|t|),(x,t)R1,且(?)1/|t|2(F(x,t)-1/2n1t2)=(-1)n1+1對x一致成立,其中F(x,t)=0tf(x,s)ds,(x,t)R1；(f5)存在n1,R0,使得21-1+f(x,t)/t2n1,x,|t|R,且(?)1/|t|(F(x,t)-1/2n1t2)=-對x一致成立；(f6)存在n1,R0,使得2n1f(x,t)/t2n1+1-,x,|t|R,且(?)1/|t|(F(x,t)-1/2n1t2)=+對x一致成立；(f7)存在n02,使得n0n0+1且n0ft(x,0)n0+1對x一致成立；(f8)存在滿足A2n1入2n1+1的n11,使得(x)=(?)f(x,t)/t存在且2n1(x)2n1+1對x一致成立.定理2.1.1.設條件(f1)-(f3)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一個成立,則邊值問題(2.1.1)至少有七個非平凡解,其中兩個正解,兩個負解,三個變號解.定理2.1.2.設條件(f1),(f3)及(f7)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一個成立,則邊值問題(2.1.1)至少有七個非平凡解,其中兩個正解,兩個負解,三個變號解.在第三章中,我們考慮了RN上半線性橢圓方程-u+u=f(x,x),uH1(RN)的解.在一些假設條件下,我們利用下降流線給出無窮多變號解的存在性.文獻3(Adv.Math.222(2009)2173-2195)中研究的是有界區(qū)域上的半線性橢圓方程的無窮多變號解,這里我們改進到無界區(qū)域.同時,我們也改進了文獻4(Comm.Math.Phys.55(1997)149-162)中只得到無窮多解,而沒有確定出它們的符號的結論.本章中,我們給出以下條件：(A1)存在p(2,2*)及c0,使得|f(x,t)|c(|t|+|t|p-1),(x,t)RNR1；(A2)存在2,R0,使得F(x,t)t,(x,t),(x,t)RNR1,(?)F(x,t)0,其中F(x,t)=0t(x,s)ds,(x,t)RNR1；(A3)limt0f(x,t)/t=0在RN上一致成立；(A4)f(gx,t)=f(x,t),9O(N),(x,t)RNR1；(A5)f(x,-t)=-f(x,t),tf(x,t)0,(x,t)RNR1.那么我們有如下結果：定理3.1.1.假設(A1)-(A5)成立,則方程(3.1.1)有無窮多變號解.第四章中,我們研究Schrodinger-Poisson系統(tǒng)正徑向解的存在性,其中fC(R1,R1).我們假設f滿足limt+f(t)/tp+,利用變分方法,當和p在不同范圍時,給出一些解的存在性與不存在性結果.我們把5(J.Funct.Anal.237(2006)655-674)中非線性項f(u)-up的結果推廣到一般的非線性項.f,而且改進了文獻6(Ann.I.Poincare-AN,27(2010)779-791)中只對很小的參數(shù)得到一個正徑向解的結論.事實上,我們假設以下條件：(H1)存在p(1,5),使得limsuPt+f(t)/tp+；(H2)limt0f(t)/t=0；(H3)f(t)t4F(t),tR1；(H4)存在q(2,5),使得liminft+f(t)/tq0；(H5)limt+f(t)/t=+.其中F(t)=0tf(s)ds.那么我們有下列結論.定理4.1.1.如果條件(H1)中p(1,2),且(H2)及(H5)成立,則存在00,使得對所有的入(0,0),系統(tǒng)(4.1.1)至少有兩個正徑向解.定理4.1.2.如果條件(H1)中p(3,5),且(H2)-(H4)成立,則對所有的0,系統(tǒng)(4.1.1)至少有一個正徑向解.定理4.1.3.如果條件(H1)中p2,3,且(H2)及(H5)成立,則存在A00,使得對所有(0,入0),系統(tǒng)(4.1.1)至少有一個正徑向解.定理4.1.4.如果條件(H1)中p(1,2,且(H2)成立,則存在00,使得對所有A(0,),系統(tǒng)(4.1.1)沒有正解.我們的主要結果可以用下圖表示.第五章中,我們研究了廣義Kadomtsev-Petviashvili方程wt+wxxx+(f(w)x=Dx1-wyy的基態(tài)孤立波,其中我們在一些假設條件下,利用變分方法給出非平凡基態(tài)孤立波的存在性.我們?nèi)サ袅?(Appl.Math.Lett.15(2002)35-39)和8(MinimaxTheorems,1996)中的條件：存在0Y:=gx:gC0(R2),使得lims+F(s0)/s2+.這是研究廣義Kadomtsev-Petviashvili方程經(jīng)常會假設的條件.并且在本章中,相應的泛函不滿足(PS)條件和(c)條件.我們假設(B1)fC(R1,R1),f(0)=0,且對某一p(3,6),(B2)limt0,f(t)/t=0;(B3)存在1,使得G(t)G(st),tR1,s0,1,其中G(t)=f(t)t-2F(t).定理5.1.1.假設(B1)-(B3)成立,那么問題(5.1.1)有一基態(tài)孤立波.另外,我們還研究了變系數(shù)的廣義Kadomtsev-Petviashvili方程的基態(tài)孤立波：(-uxx+Dx-2uyy+a(x,y)u-f(u)x=0,(5.4.1)其中(x,y)R2.我們假設aC(R2,R1)且存在正數(shù),使得Oa(x,y).且a(x,y)滿足以下條件：a(x,y)a=(?)a(x,y),(x,y)R2(a)這里我們同樣也去掉了9(J.Math.Anal.Appl.361(2010)48-58)中研究變系數(shù)p-Laplace方程所作的周期性假設.從而推廣了9中的方法.則我們有下列結論：定理5.4.1.假設對p(3,4,(B1)-(B3)成立,且條件(a)成立,那么問題(5.4.1)有一基態(tài)孤立波.【關鍵詞】：臨界群拓撲度變號解Schr(o|)dinger-Poisson系統(tǒng)廣義Kadomtsev-Petviashvili方程基態(tài)孤立波【學位授予單位】：山西大學【學位級別】：博士【學位授予年份】：2011【分類號】：O175.2【目錄】：中文摘要6-11ABSTRACT11-17第一章引言17-27第二章半線性橢圓方程的多解與變號解27-512.1臨界群、拓撲度以及不動點指數(shù)的轉化27-402.2變號解和解的存在性與多重性40-462.3維數(shù)為一的情形46-51第三章RN上半線性橢圓方程的無窮多變號解51-633.1準備工作51-533.2一些必要的引理53-583.3無窮多變號解的存在性58-63第四章Schrodinger-Poisson系統(tǒng)的正解63-794.1主要結果63-644.2一些必要的引理64-754.3主要