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文檔簡介

,3.4,3. 4. 1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),3. 4. 2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo),第 3 章,3. 4.隱函數(shù)的微分法,設(shè)方程,若存在函數(shù),稱形如,表示的函數(shù)為顯函數(shù) 。,例如:,就確定了一個(gè)顯函數(shù),也確定 y 是 x 的函數(shù) ,,但此隱函數(shù)是不能被顯化的 。,確定了區(qū)間 I,則稱,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,成立,1.隱函數(shù)的概念,使得,里的一個(gè)隱函數(shù) ;,方程,方程,若從方程,中能求解出函數(shù):,或,則稱該隱函數(shù)可以被顯化。,但要提請注意的是:并非隱函數(shù)均可被顯化。,再如:,2. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,設(shè)方程,的方程;,方法:,等式兩邊對自變量求導(dǎo)”,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,“視一個(gè)變量是另一變量的函數(shù),,其結(jié)果可能仍是含導(dǎo)數(shù),方法:,用微分的法則對等式兩邊各變量微分”,“兩個(gè)變量視為同等地位,,的方程,,其結(jié)果是含微分,再從方程中解得,即可。,確定了一個(gè)函數(shù),例 1.,在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù),解:,得,因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求由方程,方程兩邊對 x 求導(dǎo)(視 y 為 x 的函數(shù)),例 2 .,在點(diǎn),處的切線方程。,解:,故切線方程為:,即,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求橢圓,橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)(視 y 為 x 的函數(shù)),例 3.,求,解:,注意 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由此得:,設(shè),利用一階微分形式不變性, 等式兩邊求微分得,例 4.,的導(dǎo)數(shù) 。,解:,兩邊對 x 求導(dǎo),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求函數(shù),兩邊取對數(shù) , 化為隱式:,因此,,1) 對冪指函數(shù),可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :,說明:,注意:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2) 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .,例如:,兩邊取對數(shù),兩邊對 x 求導(dǎo),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,均為常數(shù),又如:,對 x 求導(dǎo),兩邊取對數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3.4.2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)參數(shù)方程,確定了變量 y 與變量x 的函數(shù)關(guān)系,,均可導(dǎo),,則當(dāng),時(shí),,時(shí),,(此時(shí),視 x 為 y 的函數(shù) ),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,且,有:,有,例 5.,確定了函 數(shù),求,解:,故,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)由方程,方程組兩邊對 t 求導(dǎo) , 得, 求,解:,例 6.,方程組兩邊同時(shí)對 t 求導(dǎo), 得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè),例7.,求拋射體在時(shí)刻 t 的運(yùn)動速度的大小和方向?,解:,速度的水平分量為:,垂直分量為:,故拋射體速度大小,再求速度方向,(即軌跡的切線方向):,設(shè) 為切線傾角,,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為:,先求速度大小:,拋射體軌跡的參數(shù)方程:,速度的水平分量:,垂直分量:,在剛射出 (即 t = 0 )時(shí),,達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻:,高度,落地時(shí)刻:,拋射最遠(yuǎn)距離,速度的方向:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,傾角為,求螺旋線,在,時(shí)所對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程?,解:,當(dāng),時(shí)所對應(yīng)點(diǎn)為:,其斜率, 切線方程為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例 8.,化極坐標(biāo)方程為參數(shù)方程:,內(nèi)容小結(jié),1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,直接對方程兩邊求導(dǎo);,2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :,適用于冪指函數(shù)及某些用連乘, 連除表示的函數(shù),3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法,極坐標(biāo)方程求導(dǎo),轉(zhuǎn)化,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,直接對方程兩邊求微分;,?,例7. 設(shè), 且,求,解:,練習(xí): P111 題8(1),解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 設(shè),求,提示: 分別用對數(shù)微分法求,答案:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,3. 設(shè),由方程,確定 ,解:,方程兩邊對 x 求導(dǎo),得,再求導(dǎo), 得,當(dāng),時(shí),故由 得,再代入 得,求,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12,第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) .,解:,方法1,方法2,等式兩邊同時(shí)對

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