三角函數(shù)重心移向函數(shù).ppt

1,三角函數(shù)的重心移向函數(shù),一種經(jīng)典的說法是：三角函數(shù)存在的理由是加法定理.,三角函數(shù)的重心何在？,所謂加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公式、和差化積公式與積化和差公式等.,所有這些，講的都是三角函數(shù)式的恒等變形.,所謂重心的移動，難道三角的重心已經(jīng)不在這里嗎？,請看2007年的三角函數(shù)的考試.,前臺后庫,2,（1）2007年高考數(shù)學(xué)大綱，要求保持平穩(wěn).,2007年考試大綱中的三角函數(shù),（2）試題設(shè)計的創(chuàng)新程度，要符合中學(xué)教學(xué)實際與學(xué)生實際.,（3）三角函數(shù)、立體幾何兩個模塊的具體要求降低,（4）易、中、難三種題型設(shè)計的比例，容易題和中檔題為主體，較難題不超過30%，中檔題和容易題不低于70%.,修訂后的2007年考綱有如下引人關(guān)注的幾點：,這里，明白無誤地聲明，三角函數(shù)的“具體要求降低”.,當(dāng)年的考卷兌現(xiàn)了諾言，三角函數(shù)的要求的確降低了.,3,【例1】 (2007年全國甲卷 理1) sin210=,(A) (B) (C) ( D ),【例2】 (2007年全國甲卷 文1) cos330=,(A) (B) ( C ) (D),【點評】 本題考查函數(shù)，是函數(shù)求值問題. 函數(shù)式為 y = f (x) = sin x ( 或cos x ),求 x =210( 或 x = 330),4,【例1】 (2007年全國甲卷 理1) sin210=,(A) (B) (C) ( D ),【例2】 (2007年全國甲卷 文1) cos330=,(A) (B) ( C ) (D),【說明】 本題對“任意角降低要求”作了解釋：任意角的實際意義是將三角形的內(nèi)角擴大到0到360之間.,這就是考題對考綱的兌現(xiàn).,5,關(guān)于考點要求的四個層次：了解、理解、掌握和應(yīng)用，人們對于“了解”和“理解”，從來就很模糊，因為它們在命題中不具備操作性.,“理解”降成“了解”,“任意角的概念和弧度的意義”降低要求之后，三角函數(shù)的大題也就隨之降低了要求.有的試卷，單一的三角函數(shù)的試題有可能不出現(xiàn)在大題中.,新大綱提出這種變動，只在告訴人們，對此考點降低了要求. 對“弧度意義”降低要求后，人們至少不會在如下問題上大做文章了： 設(shè)x為銳角，求證：sinx x tanx,6,【分析】 求單調(diào)區(qū)間，是在研究函數(shù)的通性. 這里只不過把三角函數(shù)當(dāng)成了一個具體的函數(shù)而已.,【例3】 （2007年 全國乙卷 理12） 函數(shù) f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調(diào)增區(qū)間是,(A) (B) (C) (D),欲求 y = f (x)的一個單調(diào)增區(qū)間，易想到先統(tǒng)一 y = f (x)中的角，這在函數(shù)式的變換中稱作“自變量的集元”.,7,【分析】 為了“集元”，可將 向 x 統(tǒng)一.,這可通過將cos2 降冪來實現(xiàn). 然后將y = f (x)化成二次函數(shù)型，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.,【例3】 （2007年 全國乙卷 理12） 函數(shù) f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調(diào)增區(qū)間是,(A) (B) (C) (D),在這里，把三角函數(shù)的單調(diào)性化為復(fù)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解.,8,【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos2,【例3】 （2007年 全國乙卷 理12） 函數(shù) f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調(diào)增區(qū)間是,(A) (B) (C) (D),9,【解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos2,( 1 t 1).,【插話】 于是三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.,10,只需探求使得 和 ( 1 t 1)單調(diào)性一致的x的范圍即可.,而當(dāng) 時， 單調(diào)遞減，,此時 ，并且存在 上 單調(diào)遞減.,因此時y = f (x)的一個單調(diào)區(qū)間為 ，故選A.,【續(xù)解】 對二次函數(shù) ( 1 t 1).,11,【點評】 此題以三角為載體，重點考查了函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性. 三角函數(shù)的值域等，在這里只作為復(fù)合函數(shù)的一員. 而三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，在這里只充當(dāng)了恒等變換中的一個工具. 盡管本題是一個選擇題，但涉及到的內(nèi)涵十分豐富，特別是函數(shù)思想在解題中的運用.,12,【解1】 抽象思維變式：,【點評】 本題考函數(shù)，正弦函數(shù)與絕對值函數(shù)的復(fù)合,按復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知，本題答案為C.,13,【解2】 直覺思維看圖：,【點評】 本題考函數(shù)的圖象變換. 是數(shù)形結(jié)合的代表作.,看圖易知，本題答案為C.,14,三角函數(shù) 轉(zhuǎn)向“函數(shù)”,【例5】 (全國甲卷 理17) 在 ABC 中，已知內(nèi)角A= ，邊 BC=2 . 設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為y. （）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域； （）求 y 的最大值.,【評說】 本題考函數(shù)函數(shù)建模.,三角函數(shù)只充當(dāng)了一個“載體”將三角函數(shù)納入普通函數(shù)之 列，考查的是函數(shù)的共性：函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則、值域、函數(shù)應(yīng)用等.,本題預(yù)示：三角“專題”，已從大題中淡出.,15,【分析】 本題“大中含小”，小到什么程度呢？連初中生都可拿到不少的分?jǐn)?shù) .,【題5】 (甲卷 理17 題（10分）文18 題（12分）) 在 ABC 中，已知內(nèi)角 A= ，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為 y. （）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域 （）求 y 的最大值.,大中含小的“大題”,【分割】 對題，求函數(shù)的解析式和定義域，而定義域是獨立的，即三角形B角的取值范圍為 0 B ，如果()的滿分是4分，則這位初中生已經(jīng)拿到了2分.,16,【分割 】 由正弦定理,則三角形周長 AB+BC+ C A,【點評】 那位初中生若能寫到此步，則至少再添1分.,【題5】 (甲卷 理17 題（10分）文18 題（12分）) 在 ABC 中，已知內(nèi)角 A= ，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為 y. （）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域 （）求 y 的最大值.,大中含小的“大題”,17,又 B + C =- A =,故有,令 y = AB + BC + CA，B = x,則由（1）得函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域,留給高中生的 僅剩下面1分,18,【題5】 (甲卷 理17 題（10分）文18 題（12分）) 在 ABC 中，已知內(nèi)角 A= ，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為y.（）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域 （）求 y 的最大值.,大中含小 頭重腳輕,實際上，沒有()的結(jié)果，題()是照樣可解的這是解梯式大題的一種迂回策略.,【分析】 用解析式 求其最大值已經(jīng)不是難事了. 命題人將()、()兩小題進行捆綁，看來有“頭重腳輕”之嫌，因為相比之下，第()小題偏重.,19,【單解】 （與題()分離 用平面幾何法求解） 設(shè) y 的最大值對應(yīng)的最大點為 B = x0 .,【題5】 (甲卷 理17 題（10分）文18 題（12分）) 在 ABC 中，已知內(nèi)角 A= ，邊 BC = 2 . 設(shè)內(nèi)角B = x, 周長為y.（）求函數(shù) y = f (x)的解析式和定義域 （）求 y 的最大值.,迂回解 另番天地,內(nèi)角 C 與 B 是對稱關(guān)系，設(shè) y 的最大值對應(yīng)的點 C = x0 則也有B=x0. 又 A= , 故 C =B = ， 從而 ABC 為 正三角形. 所以 y 的最大值為3BC = 6 .,20,三角函數(shù)的重心移向函數(shù),過去的經(jīng)典