線性代數(shù)與空間解析幾何》行列式.ppt

,1,第二節(jié) n階行列式的定義,主要內(nèi)容,1. 問題的提出 2. 二階、三階行列式定義的規(guī)律 3. 排列的逆序數(shù) 4. n階行列式的定義 5. n階行列式的計算 6. 思考與解答,1、排列的逆序數(shù),4、上（下）三角行列式的求法,內(nèi)容回顧,2、逆序數(shù)的計算,3、n 階行列式的定義,3,第三節(jié) 行列式的性質(zhì)及計算,主要內(nèi)容,1. 行列式的性質(zhì) 2. 行列式的計算,一、行列式的性質(zhì),【性質(zhì)1.1】 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,行列式性質(zhì)：,意義 ：行列式中的行與列具有同等的地位；,行列式的性質(zhì)凡是對“行”成立的，對“列”也同樣成立。,【性質(zhì)1.2】 互換行列式的兩行（列），行列式變號.,例如:,證明：,設(shè)行列式D1=det(bij)是由行列式D=det(aij),（不妨設(shè)i j），于是,交換i, j 兩行得到的,(代替),【性質(zhì)1.2】 互換行列式的兩行（列），行列式變號.,證明：,(代替),【推論】如果行列式有兩行（列）完全相同(對應(yīng)元素相 同)，則此行列式為零.,證明,互換相同的兩行，有,為什么？,例如,證明思想 ：,推論 ：,(1)行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到 行列式符號的外面. (2)若行列式中有兩行（列）成比例，則此行列式等于零. (3)若行列式中某一行（列）的元素全為零，則此行列式等于零.,【性質(zhì)1.3】 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一常數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.,8,從定義出發(fā)證，過程略。,很簡單喲！,【性質(zhì)1.4】 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和.,即,【性質(zhì)1.4】 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和.,例如,這并不是唯一的分拆方法！,證明思想 ：,從定義出發(fā)證，過程略。,等價的說法 ：,若兩行列式除了某一行（列）的元素之外其余元素均相同，則此兩行列式之和等于只把該行對應(yīng)元素分別相加、其余各行（列）保持不變所得的行列式之值。,例,【性質(zhì)1.5】 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式不變.,證明：,說明 ：,這實際上是性質(zhì)1.4與性質(zhì)1.3的推論2的直接推論；,這條性質(zhì)也將是我們化簡計算行列式的主要依據(jù)，也被稱為化簡性質(zhì)。,？,【性質(zhì)1.5】 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式不變.,(-2) ,=30,例如,=,運算符號 ：,交換行列式兩行（列），記作,行列式第i行（列）乘以數(shù)k，記作,以數(shù)k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上， 記作:,元素的代數(shù)余子式：,在n 階行列式中，劃去元素 所在的第i行與第j列，剩下的元素按原來的相對位置所排成的n-1階行列式，叫做原行列式中元素 的余子式，記作 ；,例如: 行列式 中，,元素x 的余子式為,代數(shù)余子式為,注意 ：,引理： 一個 n階行列式 D，如果其第 i 行所有元素除 aij 外都為零，那末這行列式 D 就等于aij 與它的代數(shù)余子式 Aij 的乘積，即：,證明 ：,先證 aij 位于第n行第n列處的情形:,此時,只有 時，才可能不為0.,引理： 一個 n階行列式 D，如果其第 i 行所有元素除 aij 外都為零，那末這行列式 D 就等于aij 與它的代數(shù)余子式 Aij 的乘積，即：,證明 ：,再證一般情形:此時,證明 ：,由性質(zhì)1.4與上述引理可以很容易地推得該性質(zhì)定理；,【性質(zhì)1.6】 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其代數(shù)余子式的乘積之和，即:,說明 ：,該性質(zhì)定理又稱為行列式的按行展開定理；,同理也有按列展開定理：,在實際應(yīng)用中,常常選取零元素較多的一行或列,按該行或列施行展開,達到降階、簡化計算的目的。,意義 ：,實現(xiàn)了n 階行列式到n-1階行列式的（降階）轉(zhuǎn)換；,【性質(zhì)1.6】 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其代數(shù)余子式的乘積之和，即:,例,三階行列式：,【性質(zhì)1.6】 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其代數(shù)余子式的乘積之和，即:,【性質(zhì)1.7】行列式的任一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于0，即,舉例：,把行列式 按第 行展開有,證明：,把行列式中的 換成 可得,同理,命題得證,【性質(zhì)1.7】行列式的任一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于0，即,說明：,該性質(zhì)與按行展開定理合并可得公式：,自己乘自己的代數(shù)余子式等于原行列式； 自己乘“別人的”的代數(shù)余子式等于0.,小 結(jié),【性質(zhì)1.1】 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,【性質(zhì)1.2】 互換行列式的兩行（列），行列式變號.,【性質(zhì)1.3】 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一常數(shù) k，等于用數(shù) k乘此行列式.,【性質(zhì)1.5】 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式不變.,【性質(zhì)1.4】 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和.,二.余子式與代數(shù)余子式、行列式展開定理,一.行列式的性質(zhì)(1-5條);,行列式的計算一般有如下方法：,簡單行列式用定義法直接計算； 低階行列式用三角法計算； 高階行列式用三角法、降階法和遞推法計算。,三角法 ：,根據(jù)行列式的特點，利用行列式的性質(zhì)，把它逐步化為三角行列式(上三角行列式)，然后求得其值。,例1 計算,如何將其化成上三角形行列式呢？,一種有效的方法步驟是：從第一列開始，用主對角線上的非零元素將其下方的非零元素消去。,二、行列式的計算,解：,順序不能寫錯,注意：,降階法 ：,利用行列式按行（列）展開法則降階，把它降為較低階的行列式，然后求解；通常此法需結(jié)合化簡性質(zhì)運用。,例1的解法2：,按 列展開,例2 計算,分析：,解：,該行列式的第3行元素可拆成兩數(shù)之和。利用性質(zhì)1.4.,例2 計算,例3 計算,該行列式的特點是每行的和均相等.,分析：,例3 計算,練習： 計算,解：,原式,6,6,6,6,=48,將第2、3、4行分別加到第1行上,作業(yè)：P9、1，2（1），3 P19、1(1)，2，3(1,4)，4(1,2,3),下節(jié)課：第三、四節(jié)，請大家做好預習！,行列式的計算一般有如下方法：,簡單行列式用定義法直接計算； 低階行列式用三角法計算； 高階行列式用三角法、降階法和遞推法計算。,三角法 ：,根據(jù)行列式的特點，利用行列式的性質(zhì)，把它逐步化為三角行列式(上三角行列式)，然后求得其值。,例1 計算,如何將其化成上三角形行列式呢？,一種有效的方法步驟是：從第一列開始，用主對角線上的非零元素將其下方的非零元素消去。,二、行列式的計算,解：,順序不能寫錯,注意：,降階法 ：,利用行列式按行（列）展開法則降階，把它降為較低階的行列式，然后求解；通常此法需結(jié)合化簡性質(zhì)運用。,例1的解法2：,按 列展開,例2 計算,分析：,解：,該行列式的第3行元素可拆成兩數(shù)之和。利用性質(zhì)1.4.,例2 計算,例3 計算,該行列式的特點是每行的和均相等.,分析：,例3 計算,分析：,能否利用主對角線的1，分別將其下方的x 都消去？,后續(xù)步驟很難進行！,例3 計算,分析：,能否利用下行中的x，將上行中的x 消去？且可以看到相鄰兩行之間數(shù)字均差1.,能否再將盡量多的1 消去？,此時再按第一列展開，兩個非零元素的余子式都已是簡單的行列式了。,通過降階法建立起行列式與其同形的較低階的行列式的關(guān)系式-遞推關(guān)系式，然后由遞推關(guān)系式求解其值。,按第一列展開,遞推法 ：,例3. 計算,分析:,對行列式的計算,必須先找到行列式元素的變換規(guī)律。,比如本例中，主對角元中除 a1均為x,而主對角線斜上均為1，且再斜上均為0，故可按最后一行(列)展開，降為 4階行列再尋找規(guī)律,解:,解:,得出一遞推公式,依次遞推,得,而,故,例3. 計算,作業(yè). 計算,分析:,對n階行列式的計算,必須先找到行列式元素的變換規(guī)律。,比如本例中，主對角元中除 a1均為x,而主對角線斜上均為1，且再斜上均為0，故可按最后一行(列)展開，降為 n-1階行列再尋找規(guī)律,解:,例3. 計算,解:,得出一遞推公式,依次遞推,得,而,故,例4 計算,解：,按第一行展開，有,祥略,例5,證明范德蒙（Vandermonde）行列式,舉例：,例5,證明范德蒙（Vandermonde）行列式,證明：,用遞推法結(jié)合數(shù)學歸納法.,當n=2時，,結(jié)論成立.,假設(shè)結(jié)論對于n-1階范德蒙行列式成立，對于n階行列式,按第一列展開,n-1階范德蒙德行列式,例5,證明范德蒙（Vandermonde）行列式,說明 ：,高階行列式的計算有著比較強的技巧，需要大家在練習中不斷總結(jié)、積累經(jīng)驗。,范德蒙（Vandermonde）行列式的結(jié)論是個重要結(jié)論，以后可以直接運用之；,例6、行(列)和相等的行列式 典型題目,將第2、3、4列分別加到第1列上,練習,解,練習,作業(yè)：P9、1，2（1），3 P19、1(1)，2，3(1,4)，4(1,2,3),請大家做好預習！,【性質(zhì)1.7】行列式的任一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于0，即,說明：,由性質(zhì)1.6與性質(zhì)1.2的推論很容易推出該性質(zhì)定理；,三階行列式：,其中,稱為 的余子式，記作 ，即,性質(zhì)1.1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。,推論：如果行列式的兩行（列）完全相等，此行列式為零,性質(zhì)1.2：互換行列式的兩行（列），行列式變號。,推論3：若行列式中某一行(列)的元素全為零，則此行 列式等于零。,性質(zhì)1.4：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和, 則 此行列式等于兩個行列式之和。,性質(zhì)1.3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。,推論2：若行列式中有兩行(列)成比例,則此行列式等于零。,推論1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符號的外邊。,復習