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文檔簡介
專題五 解析幾何 第1講 圓與圓錐曲線的基本問題練習一、選擇題1.已知圓C1:(x2)2(y3)21,圓C2:(x3)2(y4)29,M、N分別是圓C1、C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|PN|的最小值為()A.54 B.54C.53 D.53解析由條件可知,兩圓的圓心均在第一象限,先求|PC1|PC2|的最小值,作點C1關于x軸的對稱點C1(2,3),則(|PC1|PC2|)min|C1C2|5.所以(|PM|PN|)min54.答案B2.(2015全國卷)已知M(x0,y0)是雙曲線C:y21上的一點,F1,F2是C的兩個焦點,若0,則y0的取值范圍是()A. B.C. D.解析由題意知M在雙曲線C:y21上,又在x2y23內部,由得y,所以y0b0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,1),則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析因為直線AB過點F(3,0)和點(1,1),所以直線AB的方程為y(x3),代入橢圓方程1消去y,得x2a2xa2a2b20,所以AB的中點的橫坐標為1,即a22b2,又a2b2c2,所以bc3,選D.答案D4.(2016四川卷)設O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y22px(p0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D.1解析如圖,由題可知F,設P點坐標為,顯然,當y00時,kOM0時,kOM0,要求kOM最大值,不妨設y00.則(),kOM,當且僅當y2p2等號成立.故選C.答案C5.如圖,F1,F2分別是雙曲線C:1(a,b0)的左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若|MF2|F1F2|,則C的離心率是()A. B.C. D.解析不妨設c1,則直線PQ:ybxb,兩漸近線為yx,因此有交點P,Q,設PQ的中點為N,則點N的坐標為,因為線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M,|MF2|F1F2|,所以點M的坐標為(3,0),因此有kMN,所以34a2b21a2,所以a2,所以e.答案B二、填空題6.(2015浙江卷)已知實數x,y滿足x2y21,則|2xy4|6x3y|的最大值是_.解析因為實數x,y滿足x2y21,則2xy40,6x3y0,所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y3x4y10.令z3x4y10,則3x4y10z0.當直線3x4y10z0與圓x2y21相切時,z取最值,故1,z5 或z15,|2xy4|6x3y|的最大值為15.答案157.(2016浙江卷)設雙曲線x21的左、右焦點分別為F1,F2,若點P在雙曲線上,且F1PF2為銳角三角形,則|PF1|PF2|的取值范圍是_.解析如圖,由已知可得a1,b,c2,從而|F1F2|4,由對稱性不妨設P在右支上,設|PF2|m,則|PF1|m2am2,由于PF1F2為銳角三角形,結合實際意義需滿足解得1m3,又|PF1|PF2|2m2,22m28.答案(2,8)8.(2016深圳第二次調研)過拋物線y22px(p0)的焦點F,且傾斜角為的直線與拋物線交于A,B兩點,若弦AB的垂直平分線經過點(0,2),則p等于_.解析由題意知直線AB的方程為yx,垂直線平分線方程為yx2,聯(lián)立上面兩直線方程得y1,x1,即AB的中點坐標為,設A,B,則,1p,p.答案三、解答題9.(2015全國卷)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x2)2(y3)21交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若12,其中O為坐標原點,求|MN|.解(1)由題設,可知直線l的方程為ykx1,因為l與C交于兩點,所以1.解得k.所以k的取值范圍為.(2)設M(x1,y1),N(x2,y2).將ykx1代入方程(x2)2(y3)21,整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2,x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設可得812,解得k1,所以l的方程為yx1.故圓心C在l上,所以|MN|2.10.(2014全國卷)設F1,F2分別是橢圓C:1(ab0)的左,右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|5|F1N|,求a,b.解(1)根據c及題設知M,2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac,解得,2(舍去).故C的離心率為.(2)由題意,原點O為F1F2的中點,MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點,故4,即b24a.由|MN|5|F1N|,得|DF1|2|F1N|.設N(x1,y1),由題意知y10,則即代入C的方程,得1. 將及c代入得1.解得a7,b24a28,故a7,b 2 .11.已知橢圓E:1(ab0)的半焦距為c,原點O到經過兩點(c,0),(0,b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x2)2(y1)2的一條直徑,若橢圓E經過A,B兩點,求橢圓E的方程.解(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bxcybc0,則原點O到該直線的距離d,由dc,得a2b2,解得離心率.(2)法一由(1)知,橢圓E的方程為x24y24b2.依題意,圓心M(2,1)是線段AB的中點,且|AB|.易知,AB與x軸不垂直,設其方程為yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2,由x1x24,得4,解得k,從而x1x282b2.于是|AB|x1x2|,由|AB|,得,解得b23,故橢圓E的方程為1.法二由(1)知,橢圓E的方程為x24y24b2,依題意,點A,B關于圓心M(2,1)對稱,且|AB|,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x4y4b2,x4y4b2,兩式相減并結合x1x24,y1y
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