《重積分詳解》PPT課件.ppt

三三 重重 積積 分分 第二節(jié)第二節(jié) 一、三重積分的概念 三重積分的性質(zhì)與二重積分的類(lèi)似。 特別地， x 0 z y z2(x,y) I = P N M . . D z1(x,y) 二、直角坐標(biāo)系下三重積分的累次積分法 1.先一后二法 x 0 z y z2(x,y) I = D 這就化為一個(gè)定積分和這就化為一個(gè)定積分和 一個(gè)二重積分的運(yùn)算一個(gè)二重積分的運(yùn)算 z1(x,y) . 二、直角坐標(biāo)系下三重積分的累次積分法 1.先一后二法 三重積分化為三次積分的過(guò)程： 得到 注意 得到 解 于是 ， 于是 ， 得到 得到 解 于是 ， 得到 解 解 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 例 x 0 z y ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 例 x 0 z y ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域 z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域 4 2 . x 0 z y 6 6 6 ：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域 例 . . D 0 y x 6 24 D . y 1 4 x+ y = 4 x = 0 x z o . 例 y 1 4 x+ y = 4 x z o 1 . 取第一卦限部分 4 x+ y = 4 y = 0 x y z . D . . o 1 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy .例 例. z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 例 1 1 z =0o z x x+ y=1 y 。 。 z=xy . 例 x 0 z y c1 c2 z Dz 先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） x 0 z y c1 c2 . 先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分 z Dz 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） x 0 z y c1 c2 I = . 先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分 zDz 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） x 0 z y c1 c2 . 先做二重積分，后做定積分先做二重積分，后做定積分 I = 2.2.截面法（先二后一法）截面法（先二后一法） (1) 把積分區(qū)域向某軸（例如軸Z）投影，得投 影區(qū)間 c1,c2 (2) 對(duì)用過(guò)軸且平行xoy平面的平面去截 ，得截面Dz; 截面法的一般步驟： x 0 y z b c 例 計(jì)算 a D0 Dz . . b c . . x 0 y z D0 a . z 0 x z y M(r, z) z r N x y z (x, y, z) (r, , z) 三、柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算 . . 1、柱面坐標(biāo) 簡(jiǎn)單地說(shuō)，柱面坐標(biāo)就是 xoy 面上的極坐標(biāo) + z 坐標(biāo) 柱面坐標(biāo)與 直角坐標(biāo)的 關(guān)系為 z 動(dòng)點(diǎn)M(r, , z) 柱面Sr =常數(shù)： 平面z =常數(shù)： x 0 y z M r S S z 2. 柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面 動(dòng)點(diǎn)M(r, , z) 半平面P 柱面S =常數(shù): r =常數(shù)： 平面z =常數(shù)： z x 0 y z M r S S P P . 2. 柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面 半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr 的圓柱面； 平面 z及 z+dz； x z y 0 dr r rd d z 平面z 元素區(qū)域由六個(gè) 坐標(biāo)面圍成： 3、柱面坐標(biāo)下的體積元素及三重積分計(jì)算公式 x z y 0 dr r rd d z 底面積 ：r drd 元素區(qū)域由六 個(gè)坐標(biāo)面圍成 ： 半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr 的園柱面； 平面 z及 z+dz； dz 平面z+dz . 3、柱面坐標(biāo)下的體積元素及三重積分計(jì)算公式 x z y 0 dr r rd d z 底面積 ：r drd 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成： 半平面及+d ; 半徑為r及 r+dr的園柱面； 平面 z及 z+dz； dz dV = . . dV 3、柱面坐標(biāo)下的體積元素及三重積分計(jì)算公式 再根據(jù) V 中 z，r， 的關(guān)系，化為三次積分。 一般，先對(duì) z 積分，再對(duì) r ，最后對(duì) 積分。 例 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 其中V 解(1) 畫(huà) V 圖 (2) 確定 z，r， 的上下限 將 V 向 xoy 面投影，得 或 過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸 的直線，得 即 過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸 的直線，得 于是 ， 解求交線： 將 向 xoy 面投影，得 或 即 過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸 的直線，得 或 例 計(jì)算三重積分 其中 是由曲 解 將 向 xoy 面投影，得 或 過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸 的直線，得 即 或 過(guò) (r, )D 做平行于 z 軸 的直線，得 即 1 . Dxy: z = 0 . 0 x z y Dxy 例. 計(jì)算 I = 1 0 x z y M(r,) r N y x z . . 四、球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 規(guī)定： 1、球面坐標(biāo) S r M y z x 0 r =常數(shù): =常數(shù): 球面S 動(dòng)點(diǎn)M(r,) 2、球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面 C C r =常數(shù): =常數(shù): S S 球面S 半平面P 動(dòng)點(diǎn)M(r,) M y z x 0 P P =常數(shù):錐面C . 2、球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面 半平面 及+d ； 半徑為r及r+dr的球面； 圓錐面及+d r dr d rsin x z y 0 圓錐面 rd 球面r 圓錐面+d 球面r+d r 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成： d rsind 3、球面坐標(biāo)下的體積元素及三重積分計(jì)算公式 半平面 及+d ； 半徑為r及r+dr的球面； 圓錐面及+d r dr d x z y 0 d rd 元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成： rsind . r 2sin drdd sin drddr 2 dV dV = 3、球面坐標(biāo)下的體積元素及三重積分計(jì)算公式 再根據(jù)再 中 r， ， 的關(guān)系，化為三次積分。 一般，先對(duì) r 積分，再對(duì) ，最后對(duì) 積分。 例 用球面坐標(biāo)計(jì)算其中 解畫(huà) 圖。 確定 r， ， 的上下限。 (1) 將 向 xoy 面投影，得 (2) 任取一過(guò) z 軸作半平面，得 (3) 在半平面上，任取一過(guò)原點(diǎn)作 射線，得 (3) 在半平面上，任取一過(guò)原點(diǎn)作 射線，得 即 z 0 x y a r=2a cos . M . r 例.