基于層次分析法的學生宿舍項目設計方案

1 基于層次分析法的學生宿舍項目設計方案 一、 問題的重述與分析 題的重述 學生宿舍事關學生在校期間的生活品質(zhì) , 直接或間接地影響到學生的生活、學習和健康成長。學生宿舍的使用面積、布局和設施配置等的設計既要讓學生生活舒適，也要方便管理 , 同時要考慮成本和收費的平衡 , 這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經(jīng)濟發(fā)展水平有關。因此，學生宿舍的設計必須考慮經(jīng)濟性、舒適性和安全性等問題。 經(jīng)濟性：建設成本、運行成本和收費標準等。 舒適性：人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風等。 安全性：人員疏散和防盜等。 要求我們用數(shù)學建模的方法對四種學生宿舍的設計方案就它們的經(jīng)濟性、舒適性和安全性等方面作出綜合量化評價和比較。 題的分析 在經(jīng)濟性方面，我們主要考慮建設成本、運行成本和收費標準三個指標。建設成本通過單位面積的墻體長度來刻畫。運行成本通過各種設施的種類和數(shù)量來刻畫。而收費標準則通過人均建筑面積來刻畫。 事實上若墻體長度越長，那么會使得建筑成本增加；在設施的種類和數(shù)量繁多的情況下，宿舍的運行成本也會相應地增加；而在人均建筑面積越小的情況下，相對而言宿舍的收費 標準也會適當?shù)南陆怠?我們對數(shù)據(jù)進行了合理的量化并運用規(guī)范化等方法進行處理。 在舒適性方面，我們主要考慮人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風四個指標。人均面積通過人均寢室面積來刻畫。使用方便通過寢室離盥洗室、開水房等基礎設施的平均距離以及衛(wèi)生間共用指標進行刻畫?；ゲ桓蓴_通過盥洗室共用人數(shù)指標、衛(wèi)生間共用人數(shù)指標及寢室同住人數(shù)指標等來刻畫。采光和通風則通過人均陽臺面積和人均樓道面積來刻畫。我們對數(shù)據(jù)進行了合理的量化并運用規(guī)范化、偏大型柯西分布隸屬度函數(shù)等方法進行處理。 在安全性方面，我們主要考慮人員疏散和防 盜二個指標。人員疏散通過安全疏散寬度及安全疏散距離來刻畫。防盜則通過樓層混亂度來刻畫。我們同樣對數(shù)據(jù)進行了合理的量化并運用規(guī)范化等方法進行處理。 最后，我們對這三方面分別建立了線性加權評價模型及綜合線性加權評價模型。權重的處理上則采用層次分析法。 二、 問題的假設與變量說明 題的假設 1）假設 四種學生宿舍的設計方案中所運用到的材料、價格和設備標準相同。 2）假設不考慮城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經(jīng)濟發(fā)展水平的差異。 2 3）假設所有指標是站在學生的立場定的。 量說明 1）i 方面第 j 個指標的權重； 2）i 方面第 j 個指標的量化值； 3）示對應 4） 表示層次分析法中 B 層元素相對于 A 層的權向量值，且 i 表示 的第 i 個分量； 5）i表示層次分析法中 C 層元素相對于 B 層各元素的權向量值，且 示i的第 j 個分量； 6） Y 表示宿舍設計方案的綜合評價指標； 7） 1Y 表示宿舍設計方案的經(jīng)濟性評價指標； 8） 2Y 表示宿舍設計方案的舒適性評價指標； 9） 3 三、 模型的建立和求解 生宿舍設計方案評價指標 體系的構(gòu)建 學生宿舍設計方案評價指標體系包括三個方面，即經(jīng)濟性、舒適性及安全性。其中，經(jīng)濟性包括建設成本、運行成本和收費標準三個指標；舒適性包括人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風等四個指標；而安全性則包括人員疏散和防盜二個指標。 根據(jù)上述評價指標體系及層次分析法的原理，我們建立如下遞階層次結(jié)構(gòu)圖。 3 圖（ 1） 重的確立 對比較判斷矩陣的建立 以 B 層（準則層）元素 1B , 2B ,3 層（目標層）兩兩比較并按重要程度評定等級建立判斷矩陣。以 C 層（具體指標層）元素 11C 、 12C 、13C、 21C 、22C 、 23C 、 24C 、 31C 、 32C 針對 B 層各指標兩兩比較并按重要程度評定等級建立判斷矩陣。在對同層元素兩兩比較以確定相對重要性時，用 1至 9標度來衡量元素之間的相對重要性，建立矩陣如下所示： A =13221231312311B =13221231312312B =1213221214323233413232311121213A 經(jīng)濟性 1B 舒適性 2B 安 全性 3B 建設成本 11121121222431盜32 重的計算及一次性檢驗 通過軟件 內(nèi)部函數(shù)進行計算（具體程序見附錄），我們得到矩陣 以及 B 層元素相對于 A 層的權向量值為 7 3 9 6 3 。 同理，通過上述方法可分別算出矩陣 1B 、 2B 和3 層元素相對于 B 層各元素的權向量值： B ， 0 4 0 1 9 ； B ， 3 7 7 7 4 9 4 ； B ， 3 6 6 。 在建立兩兩對比矩陣時，由于不同評價者在價值取向、評價方法和對重要性等級賦值的非等比性等原因，可能會出現(xiàn)不協(xié)調(diào)和相互矛盾的情況，因此，要知道計算得出的權向量值是否科學合理，必須通過一致性檢驗。 n (式中 n 為判斷矩陣的階數(shù) )定義為一致性指標，若值越大，則不一致性越嚴重，并取一致性指標（ 對隨機一致性指標（ 的比 一致性比率（ 作為一致性檢驗判別式，如果 驗通過，否則需對判斷矩陣進行調(diào)整，重新計算，直到通過計算使 規(guī)定的容許范圍之內(nèi)。 我們通過計算得到： 說明以上權重值是可以接受的。 接下來我們來計算第 i 方面第 j 個指標的權重體計算公式為： ，其中 i 表示權向量 的第 i 個分量， 表示權向量 i 的第 j 個分量。具體結(jié)果見下表。 具體指標層（ C 層）在目標層 （ A 層）中的權重 ,即2B 1C 5 12C 1C 2C 4C （ 1） 價指標的刻畫、數(shù)據(jù)量化及數(shù)據(jù)處理 濟性方面 經(jīng)濟性方面我們主要考慮建設成本、運行成本和收費標準三個指標。我們分別對這三個指標進行了刻畫、數(shù)據(jù)量化及數(shù)據(jù)處理。 1）建設成本 我們 從 平面形狀對建筑成本的影響 的角度分析， 一般說來，在相同的建筑面積條件下，建筑物的外形越簡單，外墻長度就越短，單位造 價也就越低；相反，建筑平面外形復雜而且不規(guī)則，則外墻周長和建筑面積之間的比例必將增加，這將引起單位造價的提高。 所以我們用單位面積的墻體長度來刻畫建設成本這個指標，由于建設成本越小越好，為了統(tǒng)一指標我們用其倒數(shù)表示， 通過計算 整理得到下表。 11c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 單位面積的墻體長度 11c 位面積的墻體長度的倒數(shù)111c （ 2） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 6 41 111111 11i i 。 11c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 單位面積的墻體長度 11c （ 3） 2）運行 成本 一般情況宿舍的運營成本包括清潔支出、日常維護和垃圾處理等方面。所以我們以設備的種類數(shù)量的多少來評估 運行成本的數(shù)目，即設備越多，其宿舍樓的清潔支出、日常維護和垃圾處理等狀況出現(xiàn)的概率就會越大，反之則越小 ，為了統(tǒng)一指標我們用其倒數(shù)表示 。 12c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 設備種類數(shù)量 12c 3種 7種 5種 4種 設備種類數(shù)量倒數(shù)121c 31 71 51 41 表（ 4） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 41 121212 11i i 。 121c 方案 方案 1 方 案 2 方案 3 方案 4 設備種類數(shù)量121c （ 5） 3）收費標準 影響宿舍收費標準的因素為有 無 室內(nèi)衛(wèi)生間，有 無 書桌、微機桌、衣柜、電話、電扇等設備。 但最主要的因素是宿舍的人均建筑面積。所以我們選用人均建 7 筑面積刻畫收費標準這個指標。 由于收費標準越小越好，為了統(tǒng)一指標我們用其倒數(shù)表示 : 13方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 2m 2m 人均建筑面積的131c （ 6） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 41131313 i 。 13c方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均建筑面積13c（ 7） 適性指標 舒適性方面我們主要考慮 人均面積、使用方便、互不干擾 、 采光和通風 四個指標。我們對這四個指標進行了刻畫、數(shù)據(jù)量化及數(shù)據(jù)處理。 1）人均面積 我們定義人均面積為人均寢室面積，即寢室面積和人 數(shù)的 比 。通過計算整理得如 下表。 21c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均面積 21c 2m 2m 2m 2m 表（ 8） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 41212121 i 。 8 21c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均面積 21c （ 9） 2） 使用方便 我們把使用方便這個因素轉(zhuǎn)化成最遠的寢室離盥洗室、開水房等基礎設施的距離以及衛(wèi)生間共用指標，并對其做量化處理。 22332222221122 其中， 1321 22c 表示使用方便指標數(shù)值； 21c 表示 最遠寢室離盥洗室的距離指標 ， 22c 表示 衛(wèi)生間合用狀況指標 ， 23遠寢室離開水房的距離指標， 根據(jù)各指標以及設計圖的上的數(shù)據(jù)資料，通過計算整理得下 表。 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 離盥洗室最大 距離 生間共用情況 所有人共用 一寢室共用 兩寢室共用 一寢室共用 離開水房最大距離 無開水房（設為 0） 72m 開水房 （設為 0） 表（ 10） 對所確定的主要影響因素進行量化處理 ,從而給出影響因素的量化值 ,不妨設衛(wèi)生間共用情況集合為 一寢室共用 兩寢室共用 所有人共用 ,對應的 5,3,1。 代入計算可得： 方案 衛(wèi)生間 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 衛(wèi)生間 22c （ 11） 同理可得： 方案 開水房 A 方案 B 方案 C 方案 D 方案 開水房23 表（ 12） 由于離盥洗室距離越小越好，為了統(tǒng)一指標我們用其倒數(shù)表示 9 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 離盥洗室最大距離的倒數(shù) 221y （ 13） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對 相應的指標值作規(guī)范化處理： 41221221221 i 方案 盥洗室 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 盥洗室 21c （ 14） 通過計算我們可得使用方便指標 22c ，如下表所示： 22c 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 使用方便 指標 22c （ 15） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作了處理： 方案 22c 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 使用方便指標 22c （ 16） 3）互不干擾 學生的宿舍是日常學習生活的重要場所，更是學校社會主義精神文明的重要窗口和陣地。 在 一天 的 緊張學習 后 ，正要回到溫馨的小天地里小憩一番，卻 被人打擾，這樣便會使得學生們得不到最好的休息，不但會造成學習效率的下降，也會影響到學生的情緒，所以我們以同住人數(shù)和共用設施作為參照指標對其進行量化處理。 23332322231123 其中， 1321 0 23c表示互不干擾指標數(shù)值； 231 232 23 根據(jù)各指標以及設計圖的上的數(shù)據(jù)資料，通過計算整理得下表（ 17） 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 盥洗室共用人數(shù) 184 個人 110 個人 114 個人 6 個人 盥洗室共用人數(shù)倒數(shù) 184110114161衛(wèi)生間共用人數(shù) 184 個人 4 個人 12 個人 6 個人 衛(wèi)生間共用人數(shù)倒數(shù)室同住人數(shù) 8 寢室人 / 4 寢室人 / 6 寢室人 / 6 寢室人 / 寢室同住人數(shù)倒數(shù) 81416161表（ 17） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 41232323 11i i 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 （ 18） 11 由此我們可得互相干擾指標23c，如下表所示： 23方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 （ 19） 為了便于 做 統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 23c方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 互相干擾指標23c（ 20） 4）采光和通風 針對宿舍采光和通風問題，我們從人均陽臺面積與人均樓道面積兩方面進行考慮，若人均陽臺面積和人均樓道面積的數(shù)值越大，那么該宿舍樓的采光以及通風的性能比較好。 2 4 222 4 1124 其 中 121 24c 表示采光和通風指標數(shù)值； 241c 表示 人均陽臺面積 指標數(shù)值； 242c 表示 人均樓道面 指標數(shù)值； 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均陽臺面積 2m 2m 2m 0 人2m 人均樓道面 2m 2m 2m 2m 表（ 21） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 12 41242424i i 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人均陽臺面積 241c 人均樓道面 242c （ 22） 由此我們可得采光和通風的指標 24c ，如下表所示： 方案 24c 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 采光和通風 24c （ 23） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 方案 24c 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 采光和通風 24c （ 24） 全性 指標 安全性方面我們主要考慮 人員疏散情況和防盜二 個指標。我們對這二個指標進行了刻畫、數(shù)據(jù)量化及數(shù)據(jù)處理。 1） 人員疏散 人員疏散的主要問題在于安全疏散距離過長，避難人員不能在安全時間內(nèi) 逃離火場。安全疏散通道寬度設置過窄，火災時人員會大量擁擠在疏散門口和樓梯口處，給人員生命造成嚴重威脅。 所以我們選用安全疏散寬度，安全疏散距離等指標對人員疏散情況進行評價?？紤]實際情況和便于處理我們以樓道使用率（即樓道寬度和樓梯數(shù)量與住宿人數(shù)之比）和最遠的寢室到達樓梯的距離進行量化。 221131 13 其 中 121 1n =1 1c 表示樓道使用率指標數(shù)值； 2c 表示最遠的寢室到達樓梯的距離指標數(shù)值； 根據(jù)各指標以及設計圖的上的數(shù)據(jù)資料，我們計算整理 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 樓道使用率 達樓梯的距離 17m （ 25） 其中到達樓梯的距離是越小越好的，為了統(tǒng)一指標，我們以到達樓梯的距離的倒數(shù)計算，到達樓梯的距離倒數(shù)值如下表所示： 311y 方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 到達樓梯的距離倒數(shù)311y （ 26） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 41 313131 i 方案 指標類別 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 14 表（ 27） 由上我們可得 人員疏散指標31c，如下表所示 ： 31方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 （ 28） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 31c方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 人員疏散31c（ 29） 2）防盜因素 對于防盜因素，我們 建立樓層混亂度（通道面積與人數(shù)的比值）因為人越多越復雜，同用通道越多也會越復雜，所以我們以此來評價防盜因素。 32方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 （ 30） 為了便于 做統(tǒng)一的比較，我們用規(guī)范化方法分別對相應的指標值作規(guī)范化處理： 41323232 i 32c方案 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 樓層混亂度32c15 表（ 31） 最后 ,將各個具體指標用規(guī)范化方法得到的結(jié)果放在同一張表中，如下表所示： 方案 具體指標 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 建筑成本 11c 行成本 12c 費標準13c均面積 21c 用方便 22c 相干擾23c光通風 24c 員疏散31c 盜32c（ 32） 合評價模型的建立 通過以上權重的確定以及具體指標的量化和數(shù)據(jù)處理，我們建立如下線性加權模型： 模型一：綜合評價模型 j i 323231312424232322222121131312121111 其中示第 i 方面第 j 個指標的量化值的規(guī)范化值，i 方面第 模型二：經(jīng)濟性評價模型 1Y i 131 1 16 即： 1Y 1111c 2112c 3113c。 其中 表示 1 的第 i 個分量，且 1 表示前面層次分析法中 C 層元素相對于1B 層元素的權向量值。 模型三：舒適性評價模型 2Y i 241 2 即： 2Y 1221c 2222c 3223c 4224c。 其中 表示 2 的第 i 個分量，且 2 表示前面層次分析法中 C 層元素相對于 2B 層元素的權向量值。 模型四：安全性評價模型 3Y i 321 3 即： 3Y 1331c 2332c。 其中 示3的第 i 個分量，且3表示前面層次分析法中 C 層元素相對于3 通過計算我們得到如下結(jié)果（數(shù)據(jù)越大越好）： 方案 指標 方案 1 方案 2 方案