高中數學選修4-4 1.3簡單曲線的極坐標方程.ppt

1、三簡單曲線的極坐標方程,1.極坐標方程的定義 一般地,在極坐標系中,如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f(,)=0,并且坐標適合方程f(,)=0的點都在曲線C上,那么方程f(,)=0叫做曲線C的極坐標方程. 2.圓的極坐標方程 (1)圓心在C(a,0)(a0),半徑為a的圓的極坐標方程為=2acos (如圖); (2)圓心在極點,半徑為r的圓的極坐標方程為=r(如圖); (3)圓心在點 處且過極點的圓的極坐標方程為=2asin (0)(如圖).,做一做1在極坐標系中,以(3,0)為圓心,半徑等于3的圓的極坐標方程為. 答案：=6cos ,3.直線的極坐標方程 (1)若直線l經

2、過極點,從極軸到直線l的角為(0),則直線l的極坐標方程為=(R)或=+(R); (2)當直線l經過點M(a,0)且垂直于極軸時,直線l的極坐標方程為cos =a; (3)當直線l經過點M 且平行于極軸時,直線l的極坐標方程為sin =b; (4)若直線經過點M(0,0),且從極軸到此直線的角為,則直線l的極坐標方程為sin(-)=0sin(-0).,做一做2過點P 且垂直于極軸的直線的極坐標方程是.,4.若0,我們規(guī)定點M(,)與點P(-,)關于極點對稱. 5.曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化,做一做3直角坐標方程x2+(y-2)2=4化為極坐標方程是. 解析：x2+(y-2)2=4可以

3、化為x2+y2=4y,把 代入,得(cos )2+(sin )2=4sin , 化簡整理得2=4sin . 因為曲線經過極點,所以極坐標方程可簡化為=4sin . 答案：=4sin ,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“”,錯誤的畫“”. (1)在極坐標系中,曲線的極坐標方程是唯一的. () (2)x軸所在的直線在極坐標系中的方程為=0. () (3)極坐標方程=3表示的曲線是圓.() (4)圓x2+y2=1化為極坐標方程一定是=1. () (5)極坐標方程cos = (0)表示的曲線是兩條射線.(),探究一,探究二,探究三,思維辨析,求圓的極坐標方程 【例1】 在極坐標系

4、中,求半徑為r,圓心為C 的圓的極坐標方程. 分析：根據題意畫出草圖,設出點M(,),建立,的方程并化簡,最后進行檢驗. 解：由題意知,圓經過極點O,設OA為其一條直徑,M(,)為圓上除點O,A以外的任意一點,如圖,則|OA|=2r,連接OM,AM,則OMMA. 在RtOAM中,|OM|=|OA|cosAOM,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練1在如圖所示的極坐標系中,以M 為圓心,半徑r=1的圓M的極坐標方程是.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究二求直線的極坐標方程 【例2】 導學號73760008求過點A(1,0)且與極軸所成的角為 的直線的

5、極坐標方程. 分析：本題可用兩種解法: (1)先根據題意畫出草圖,并設點M(,)是直線上除點A外的任意一點,從而由等量關系建立關于,的方程并化簡,最后檢驗是不是所求即可; (2)先由已知條件寫出直線的點斜式的直角坐標方程,然后由公式 化為極坐標方程即可.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解法一如圖,設M(,)(0)為直線上除點A以外的任意一點,連接OM.,化簡,得(cos -sin )=1. 經檢驗點A(1,0)的坐標適合上述方程. 所以滿足條件的直線的極坐標方程為(cos -sin )=1.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解法二以極點O為直角坐標原點,極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標

6、系xOy,直線的斜率k=tan =1, 直線方程為y=x-1.將y=sin ,x=cos 代入上式,得 sin =cos -1,所以(cos -sin )=1.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,極坐標方程與直角坐標方程的互化 【例3】 (1)直角坐標方程y2=4x化為極坐標方程為; (2)直角坐標方程y2+x2-2x-1=0化為極坐標方程為; (3)極坐標方程= (0)化為直角坐標方程為; (4)極坐標方程2cos 2=4化為直角坐標方程為.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析：根據互化公式求解. (1)將x=cos ,y=sin 代入y2=4x, 得(

7、sin )2=4cos .化簡,得2sin2=4cos . 因為極點在曲線上,所以極坐標方程可簡化為sin2=4cos . (2)將x=cos ,y=sin 代入y2+x2-2x-1=0,得(sin )2+(cos )2-2cos -1=0, 化簡,得2-2cos -1=0.,(4)2cos 2=4, 2cos2-2sin2=4,即x2-y2=4. 答案：(1)sin2=4cos (2)2-2cos -1=0 (3)y= x(x0)(4)x2-y2=4,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練3(1)極坐標方程=4asin 化為直角坐標方程為; (2)極坐標

8、方程=9(cos +sin )化為直角坐標方程為. (3)直角坐標方程x+y-2=0化為極坐標方程是; (4)直角坐標方程2x2+2y2-3x+7=0化為極坐標方程是. 解析：(1)兩邊同乘,得2=4asin . 2=x2+y2,sin =y, 直角坐標方程為x2+y2=4ay.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,(2)把方程變形為2=9(cos +sin ), 2=x2+y2,cos =x,sin =y, 直角坐標方程為x2+y2=9(x+y), 即x2+y2-9x-9y=0. (3)把x=cos ,y=sin 代入x+y-2=0, 得cos +sin -2=0. 即(cos +sin )=

9、2. (4)把x=cos ,y=sin 代入2x2+2y2-3x+7=0, 得22cos2+22sin2-3cos +7=0. 化簡得22-3cos +7=0.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,極坐標表述不準確致誤 典例已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為cos =3,=4cos (0),則曲線C1與C2交點的極坐標為.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練極坐標方程= (R)表示的曲線是() A.直線B.射線 C.圓D.半圓,答案：A,1 2 3 4 5,1.在極坐標系中,過點 且平行于極軸的直線的極坐標方程是() A.sin =-2B.cos =-

10、2 C.sin =2D.cos =2,解析：過點 與極軸平行的直線為y=-2, 即sin =-2. 答案：A,1 2 3 4 5,2.極坐標方程為=2cos 的圓的半徑為() A.1B.2 C.D.3 解析：由=2cos ,得2=2cos ,化為直角坐標方程為x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其對應的半徑為1. 答案：A,1 2 3 4 5,3.曲線的極坐標方程=4cos 化成直角坐標方程為. 解析：由已知得2=4cos ,即x2+y2=4x,整理得(x-2)2+y2=4. 答案：(x-2)2+y2=4,1 2 3 4 5,4.在極坐標系中,點 到直線cos =2的距離是. 解析：點 的直角坐標為(0,1),直線cos =2的直角坐標方程為x=2,故點(0,1)到直線x=2的距離d=2. 答案：2,