2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案：等比數(shù)列（解析版）

第42講等比數(shù)列

知識梳理

1、等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫

做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母_q_表示.

2、等比數(shù)列的通項公式

1

一般地，對于等比數(shù)列｛an｝的第n項“，有公式an=aiq^>這就是等比數(shù)列｛a"的通項公式，其中ai

nm

為首項，q為公比.第二通項公式為：an=amq-.

3、等比數(shù)列的前n項和公式

等比數(shù)列｛斯｝的前n項和公式：Sd(qWl)或斗=竿箸(qWl).

注意：(1)當(dāng)q=l時，該數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列，S〃=wi;

⑵有關(guān)等比數(shù)列的求和問題，當(dāng)q不能確定時，應(yīng)分q=l，qWl來討論.

4、等比數(shù)列的性質(zhì)

⑴若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項，則G2=ab.

1

(2)等比數(shù)列｛aj中)若m+n=k+l(m，n，k，1?N*)，則有a?,?an=ak?ai，特別地當(dāng)m+n=2p時>

dm*Clndp-

(3)設(shè)弘是等比數(shù)列｛以｝的前"項和，則sm0m—Sm，53^—52”,滿足關(guān)系式(52,”一%)2=5?,'(S3m-S2m).

(4)等比數(shù)列的單調(diào)性，若首項?1>0，公比q>l或首項?1<0，公比0<4<1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若首

項的>0，公比0<?<1或首項0<0，公比q>l，則數(shù)列為遞減數(shù)列；若公比q=l，則數(shù)列為常數(shù)列；公比

q<0，則數(shù)列為擺動數(shù)列.

(5)若｛〃｝和｛>“｝均為等比數(shù)列,貝UUa/QWO)、｛|a“|｝、(，、｛曷｝、?、｛機(jī)“/"｝(加/0)仍為等比數(shù)列.

真題再現(xiàn)

1、(2022?乙卷(文))已知等比數(shù)列｛4｝的前3項和為168,a2-a5=42,則,=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4，gwO，由題意，qwl.

13

?1,前3項和為q+a2+a3=-^——-168，a2—a5-q—ax-q—ax?^(1-^)42,

i-q

q=；,%=96,

貝%=4,=96x盤=3,

故選：D.

2、(2021?甲卷(文))記S"為等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和.若$2=4,S4=6,則$6=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】S"為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，S2=4,S4=6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知邑，S4-S2,$6-其成等比數(shù)列，

.-.4,2,邑-6成等比數(shù)列，

2

2=4（S6-6）,解得其=7.

故選：A.

3、（2023?甲卷（文））記S“為等比數(shù)列｛%｝的前幾項和.若8s6=7$3，則｛4｝的公比為.

【答案】」.

2

【解析】等比數(shù)列｛〃“｝中，8S6=7S3,

則4w1，

所以8x___=7x-^―")

l-q\-q

解得q=-L

2

故答案為：-1.

2

4、（2021?上海）已知｛凡｝為無窮等比數(shù)列，％=3,%的各項和為9,b“=%”,則數(shù)列電｝的各項和

為.

【答案】--

5

【解析】設(shè)｛凡｝的公比為q,

3

由4=3,處的各項和為9,可得——=9,

i-q

解得q=2,

3

所以%=3x（1尸，

么=%=3xc|）2i,

可得數(shù)列他』是首項為2,公比為芻的等比數(shù)列，

則數(shù)列｛b,,｝的各項和為‘j.

1--5

9

故答案為：

5

5、（2023?乙卷（理））已知｛“"｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,9al（）=—8,則%=.

【答案】—2.

【解析】?.?等比數(shù)列｛見｝，

aa

a2a4a5=0203a6=36，解得2=1,

215553

而09al°=01d=（a2）q=—8,可得q'=（^）=—8,

即q5=—2,

5

%=a2-q=1x（—2）=—2.

故答案為：—2.

6、（2021?甲卷（理））等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項和為S”.設(shè)甲：q>0,乙：｛S“｝是遞增數(shù)列，則（

）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】若4=-1,4=1，則用=嗎=-〃，則｛S“｝是遞減數(shù)列，不滿足充分性；

i-q

貝Us向=4（i-q向），

i-q

：.Sn+l-Sn=^q"-q"^=axq",

i-q

若｛S“｝是遞增數(shù)列，

.■.Sn+l-Sn=aiq">0,

則q>0,q>0,

...滿足必要性，

故甲是乙的必要條件但不是充分條件，

故選：B.

7、（2023?天津）已知｛%｝為等比數(shù)列，S”為數(shù)列伍”｝的前〃項和，an+1=2Sn+2,則%的值為（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【解析】因為｛4｝為等比數(shù)列，an+i=2Sn+2,

所以4=2S]+2=2＜2J+2,%=2S,+2=2（a｝+2a｝+2）+2=6tzi+6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，=%?4，

即（2+2q了=（6q+6）,q,

所以q=2或q=—1（舍），

所以a?=6,q=3,

貝U%=4,I'=2x3’=54.

故選：C.

8、（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列｛4｝中，4=1,S"為｛4｝前〃項和，S5=5S3-4,則邑=（）

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】等比數(shù)列｛4｝中，設(shè)公比為q,

4=1,S”為他”｝前〃項和，55=5S3-4,顯然qw±l,

（如果q=l,可得5=15—4矛盾，如果q=-l,可得—1=—5—4矛盾），

可得匕￡=5?匕/-4,

1-q—q

解得d=4,即q=2或4=-2,

所以當(dāng)夕=2時，S--——=-——=15.

41—q1—2

當(dāng)q=-2時，54=上/=匕電=-5.沒有選項.

41-q1+2

故選：C.

9、（2022?上海）已知等比數(shù)列｛處｝的前〃項和為S“，前〃項積為7；,則下列選項判斷正確的是（）

A.若邑儂＞邑⑼，則數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

B.若瑪22＞寫）21，則數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛S“｝是遞增數(shù)列，則劭如9⑼

D.若數(shù)列區(qū)｝是遞增數(shù)列，則。2022-“021

【答案】D

【解析】如果數(shù)列4=-1，公比為-2,滿足S2M>S?⑼，但是數(shù)列｛%｝不是遞增數(shù)列，所以A不正確；

如果數(shù)列q=l,公比為-g,滿足7M22>4)21，但是數(shù)列｛?！埃皇沁f增數(shù)列，所以3不正確；

1_(1)n

如果數(shù)列4=1，公比為g,S〃=——=2(1-/),數(shù)列｛S〃｝是遞增數(shù)列，但是%)22<。2021，所以。不正

2

確；

數(shù)列｛，｝是遞增數(shù)列，可知7；>7；-,可得4>1,所以d.I,可得的的”2021正確，所以。正確；

故選：D.

10、(2023?新高考II)記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若邑=-5,S6=21S2,則$8=()

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】等比數(shù)列｛%｝中，S4=5,S6=21S2,顯然公比

設(shè)首項為4，則％"力7①,4(1-力=2皿(17)②,

\-q1-qX-q

化簡②得q4+d-20=0,解得/=4或，=-5(不合題意，舍去)，

代入①得」心=!，

1-q3

所以風(fēng)=a'^~q)=—(1-/)(1+/)=-x(-15)x(1+16)=-85.

l-q\-q3

故選：c.

熱身訓(xùn)練

1、若等比數(shù)列｛〃"｝的各項均為正數(shù)，42=3,4曷=4147，則。5等于()

33

A.TB.dC.12D.24

4o

【答案】：D

【解析工數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，各項均為正數(shù)，

4-=。辿7=就,所以爐=崇=4,

所以q=2.

所以<25==3X23=24,

故選D.

2、等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,=32「i+r,則廠的值為（)

A.；B.-gC.D.—

【答案】：B

【解析】：當(dāng)〃=1時，。1=邑=3+廠，

當(dāng)n>2時，a“=S,—SI=32LI—32"-3

=32L3?2_1）=8.32"-3=8.32L2.3—1

81

學(xué)"I,

Q1

所以3+r=g,即廠=一不故選B.

3、已知遞增的等比數(shù)列｛如｝中，公=6,勾+1,政+2,的成等差數(shù)列,則該數(shù)列的前6項和S6等

于（）

189

A.93B.189C.-TZD.378

10

【答案】：B

【解析工設(shè)數(shù)列｛詼｝的公比為夕,由題意可知，q>l,

且2（〃2+2）=〃1+1+〃3，

即2x（6+2）=/+1+6q,

整理可得2爐一54+2=0,

則《=2（4=；舍去），則的=當(dāng)=3,

3x（1—26）

數(shù)列［an］的前6項和S6=\_2=189.

4、（2022年廣州附屬中學(xué)高三模擬試卷）已知等比數(shù)列｛??｝的前n項和為S“，若'=4,￡=微，則無=

【答案】60

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為S=4,S6=12,

所以則，

qwl,S="1(1")=4,S6=%。")=12

3j1-q

所以尸7=3,解得/=2,所以Si2：-。―4)二q(1—4乂1+4)=]2x(l+22)=60；

j121-q1-qI7

故答案為：60

5、(2023?云南紅河?統(tǒng)考一模)在數(shù)列｛4｝中，%=3,6=7,若｛24一”｝為等比數(shù)歹I」，則如=.

【答案】127

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛2%-“｝的公比為q,貝心一=亍;=『3,

所以)(故如

20n-11=(24—3qg=2x3—3/8=3x34=243,y、⑵.

故答案為：127.

典【廁剖】析〕

考向一等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1、(1)設(shè)正項等比數(shù)列｛斯｝的前w項和為S.,若&=3,S4=15,則公比q等于()

A.5B.4C.3D.2

(2)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛念｝的前4項和為15,且〃5=3S+4S,則儂等于()

A.16B.8C.4D.2

(3)(2021?吉林延邊朝鮮族自治州?高三月考(文))已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列｛an｝滿足a3、

3

-a4.2%成等差數(shù)列淇前〃項和為S〃，且Ss=31,則()

4

A3QiB4=2-3S〃=32--5?=2?--16

【答案】?(1)D(2)C(3)C

1。1+〃2=3,

【解析】(1)：因為S2=3,S4=15,S4—S2=12,所以,_

[〃3+〃4=12,

兩個方程左右兩邊分別相除，得d=4,因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以4=2,故選D.

(2)：設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為q,由〃5=3〃3+4〃1得q4=3q2+4,得/=%

因為數(shù)列｛如｝的各項均為正數(shù)，所以4=2,又〃1+42+俏+〃4=。1(1+4+/+43)=41(1+2+4+8)=15,

所以〃1=1,所以〃3=。1"2=4.

3

(3)【解析工由％,—2。4,2%成等差數(shù)列，

得：3a4=a3+2a5,

設(shè)｛4｝的公比為4,則2/_3q+l=0,

解得：q=g或q=l,又Qa“單調(diào)遞減，

解得：4=16,.?.數(shù)列｛a,｝的通項公式為：an=16-

2

故選：C.

方法總結(jié)：(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量ai,〃，q,an,

Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解；

(2)等比數(shù)列的前〃項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q=l時，｛?！ǎ那啊椇蚐〃="的；當(dāng)行1時，

ai—a〃q

｛〃〃｝的前〃項和S〃=1—q=o

考向二等比數(shù)列的性質(zhì)

例2、(1)已知等比數(shù)列｛詼｝的各項為正數(shù)，且〃5〃6+〃4〃7=18,則10g3〃l+10g3〃2+…+log3〃10=()

A.12B.10

C.8D.2+log35

(2)設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝中，前〃項和為S〃，已知513=8,516=7,則〃7+〃8+〃9等于()

AlB--8

一57-55

匚88

(3)已知等比數(shù)列｛斯｝共有2〃項，其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比*.

【答案】(1)B(2)A(3)2

【解析】(1)由。5。6+。4〃7=18,得。5〃6=9,

所以10g3〃l+10g3a2+…+log3〃10=log3m口2…〃10)

=10g3(〃5〃6)5=510g39=10.

(2)因為〃7+〃8+"9=S9-$6，且S3,56-N，-$6也成等比數(shù)列，即8,—1,§9一$6成等比數(shù)列，

所以8(59—36)=1,即89—86=:，

o

所以。7+。8+。9=].

S奇+5偶=—240,

(3)由題意，得，

S奇—S偶=80,

S奇=—80,S偶-160

解得所以Q—---------二2

S偶=—160,S奇-80

變式1、(1)在等比數(shù)列｛斯｝中，若。1。2。3。4=1，。13。14〃15。16=8,則。41。42。43。44=；

【答案】1024

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，依次4項的積為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,乃三2a3a4=1,北=〃13〃14的5〃16

=8,所以北=71/=14=8,即q=2,所以Tii=〃4ia42〃43〃44=Tiqi°=2i°=1024.

(2)已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)歹!J,為其前n項和，〃￡N*,若。1+。2+。3=3,。4+〃5+〃6=6,則Sn=;

【答案】45

。4+〃5+。66

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛念｝的公比為4，則一7—7—=夕3=鼻=2.因為36=。1+。2+。3+〃4+〃5+。6=9,512—

41十〃2十〃3D

S12-5*6〃7+。8+。9+。1。+〃11+02

56=。7+〃8+〃9+〃1()+〃11+。12,所以Q=；ii；；=16=4,所以S12=5S6=45.

+〃2十〃3十。4十〃5十〃6

(3)已知｛斯｝是等比數(shù)列，〃2=2,。5=1，則〃1。2+。2。3+…+斯斯+1=.

32

【答案】y(l-4-?)

【解析】因為“2=2〃5=a，所以0=4,2,所以4142+"2〃3H-----\-anan+

方法總結(jié)：⑴在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+〃=p+

q(m,n,p,q￡N*),則〃"〃〃=他必”，可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.

⑵在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.止匕外，解題時注意設(shè)而

不求思想的運(yùn)用

考向三等比數(shù)列的判定與證明

例3、(1)設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛斯斯+1｝是公比為q的等比數(shù)列

B.數(shù)歹U｛廝+斯+1｝是公比為q的等比數(shù)列

C.數(shù)歹！J｛斯一斯+1｝是公比為q的等比數(shù)列

D.數(shù)列出彳是公比為^■的等比數(shù)列

q

【答案】：D

【解析】：對于A,由也g=q2（論2）知其是公比為爐的等比數(shù)列；對于B,若q=-1,則｛a“+a“+i｝

1

+1

項中有0,不是等比數(shù)列；對于C,若4=1,則數(shù)歹（J｛斯一斯+1｝項中有0,不是等比數(shù)列；對于D,—

=巫=1所以數(shù)歹山!［是公比為3的等比數(shù)列，故選D.

an+iq〔即Jq

（2）（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）（多選）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，等比數(shù)列出｝的前“項積為

T?,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)歹1］｛52“+2-52）是等差數(shù)列

C.數(shù)列［鏟］是等比數(shù)列D.數(shù)歹!J｛lg?；｝是等差數(shù)列

【答案】ABC

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則,'=可+心現(xiàn).

2n2

對于A選項，￡±L—&=［+㈣一%―七電=&,「.［顯］為等差數(shù)歹！J,A正確；

a

對于B選項,令=邑〃+2-S?n=。2”+2+2n+\，

CC

?e-n+1~n=（々2/4+々2…3）一（%〃+2+。2"+1）=4",

故數(shù)歹1」｛52〃+2-52〃｝是等差數(shù)列，B正確；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為9gW0）,

對于C選項，令4=］產(chǎn)=處+2?%用，則爭=."+4?"+3=/,故數(shù)列［冬］是等比數(shù)列，c正確；

T2?dna”+2也用［T2nJ

對于D選項，?.?坨卻「坨?=坨祟=坨％不-定為常數(shù),故數(shù)列｛坨北｝不一定是等差數(shù)列,故D錯誤；

Ln

故選：ABC.

變式1、（1）已知數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”且。"+5”=".若數(shù)列｛》”｝滿足6i=ai,與=斯一斯—1（"22）,求

證：數(shù)列｛勿｝是等比數(shù)列；

⑵已知數(shù)列｛。"｝滿足。1=1,02=2,斯+2=""±）""+［"GN*.

①令b"=a"+i—斯，求證：｛勿｝是等比數(shù)列；

②求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

Tn

【解析】⑴因為由例3（2）知an=\-2

所以當(dāng)時,

1

又。1=41=]也符合上式，所以兒=團(tuán).

bi1

因為n"+[=],所以數(shù)列｛?！ǎ堑缺葦?shù)列.

⑵①由題意,得。1=。2—〃1=1.

an~\+an11bn

當(dāng)"三2時，bn=cin+1―a〃=2—a〃=一一〃〃-1）=一1兒—1,則^

故｛6〃｝是以1為首項，―3為公比的等比數(shù)列.

②由①知。八=〃〃+1—ClnJ

r

當(dāng)"22時，斯=〃1+（。2—41）+（。3—。2）+…+（。及一?！╛1）=1+1++…+1+

1

52（

當(dāng)九=]時，]一-2/=]=。1,

52（

故斯=§_1（一寸（〃￡N*）.

變式2、（2022年河北省高三大聯(lián)考模擬試卷）已知數(shù)列｛4｝,｛2｝滿足我包=巴%，。用=叱&

且。1=2,b]=1

（1）求的,打的值，并證明數(shù)列｛%—2｝是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式.

【解析】

（1）<％=2,々=1

4+4bl2+4x161y八、28

/.b=a=-（5ab）=-.

255-52l+2

=%+坳.1,26an+4b”

,向5?"戶+%）=^^-

26a,+46“。“+4包

%+i-d+i

305

...｛4—包｝是。1—4=1為首項，I為公比的等比數(shù)列

（2）由⑴知｛?！币?｝是白一偽=1為首項，（為公比的等比數(shù)列.

...當(dāng)“22時,bn=bi+(b2-bl)+(Z?3-b2)+L+(/??-^)=l+1x

當(dāng)〃=1時，4=1也適合上式

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為2=1t<tr

數(shù)列｛%,｝的通項公式為

方法總結(jié)：證明一個數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列常用定義法與等差、等比中項法，其他方法只用于選擇、

填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等差或等比數(shù)列即

可.而研究數(shù)列中的取值范圍問題，一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行求解

優(yōu)升

1、（2022年河北省張家口高三模擬試卷）已知等比數(shù)列｛%｝各項均為正數(shù)，且。3=%+%，則4=（）

—

1+A/51A/5布-1n1+A/5或1-

22222

【答案】A

【解析】

【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可知q/=q+qg,4〉。，

所以4—1=0,解得：4=出手或4=qi<o（舍），

故選：A

2、（2022年河北省衡水中學(xué)高三模擬試卷）等比數(shù)列｛斯｝中，每項均為正數(shù)，且a3a8=81,則log3ai+log3a2

H---l-log3aio等于（）

A.5B.10C.20D.40

【答案】C

【解析】

aa

［詳解】｛??｝是等比數(shù)列，則=a2a9=03ag=a4a7=s6>

5

所以log3al+log3a24---卜logsaio=log^a^■--al0）=log3（?3a8）=51og381=20.

故選：C.

3、（2023?吉林長春?統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列｛?｝的公比為q（q>0且qwl）,若4+8%=%+8%，則4

的值為（）

I1

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】C

【詳解】已知等比數(shù)列｛%｝的公比為4（4>0且4/1）,若%+84=4+8%，

則&一%=8%-8%,所以"二幺二/（」一q）=茨=8,解得4=2.

%—4%—%

故選：C.

4、（2023?黑龍江?黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x題）已知工是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，且3=2向+a,

則下列說法正確的是（）

A.（2=-2

B.a=—1

c