2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案:等比數(shù)列(解析版)_第1頁
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文檔簡介

第42講等比數(shù)列

知識梳理

1、等比數(shù)列的定義

一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫

做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母_q_表示.

2、等比數(shù)列的通項公式

1

一般地,對于等比數(shù)列{an}的第n項“,有公式an=aiq^>這就是等比數(shù)列{a"的通項公式,其中ai

nm

為首項,q為公比.第二通項公式為:an=amq-.

3、等比數(shù)列的前n項和公式

等比數(shù)列{斯}的前n項和公式:Sd(qWl)或斗=竿箸(qWl).

注意:(1)當(dāng)q=l時,該數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列,S〃=wi;

⑵有關(guān)等比數(shù)列的求和問題,當(dāng)q不能確定時,應(yīng)分q=l,qWl來討論.

4、等比數(shù)列的性質(zhì)

⑴若a,G,b成等比數(shù)列,則稱G為a和b的等比中項,則G2=ab.

1

(2)等比數(shù)列{aj中)若m+n=k+l(m,n,k,1?N*),則有a?,?an=ak?ai,特別地當(dāng)m+n=2p時>

dm*Clndp-

(3)設(shè)弘是等比數(shù)列{以}的前"項和,則sm0m—Sm,53^—52”,滿足關(guān)系式(52,”一%)2=5?,'(S3m-S2m).

(4)等比數(shù)列的單調(diào)性,若首項?1>0,公比q>l或首項?1<0,公比0<4<1,則數(shù)列為遞增數(shù)列;若首

項的>0,公比0<?<1或首項0<0,公比q>l,則數(shù)列為遞減數(shù)列;若公比q=l,則數(shù)列為常數(shù)列;公比

q<0,則數(shù)列為擺動數(shù)列.

(5)若{〃}和{>“}均為等比數(shù)列,貝UUa/QWO)、{|a“|}、(,、{曷}、?、{機(jī)“/"}(加/0)仍為等比數(shù)列.

真題再現(xiàn)

1、(2022?乙卷(文))已知等比數(shù)列{4}的前3項和為168,a2-a5=42,則,=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列{凡}的公比為4,gwO,由題意,qwl.

13

?1,前3項和為q+a2+a3=-^——-168,a2—a5-q—ax-q—ax?^(1-^)42,

i-q

q=;,%=96,

貝%=4,=96x盤=3,

故選:D.

2、(2021?甲卷(文))記S"為等比數(shù)列{〃〃}的前〃項和.若$2=4,S4=6,則$6=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】S"為等比數(shù)列{4}的前〃項和,S2=4,S4=6,

由等比數(shù)列的性質(zhì),可知邑,S4-S2,$6-其成等比數(shù)列,

.-.4,2,邑-6成等比數(shù)列,

2

2=4(S6-6),解得其=7.

故選:A.

3、(2023?甲卷(文))記S“為等比數(shù)列{%}的前幾項和.若8s6=7$3,則{4}的公比為.

【答案】」.

2

【解析】等比數(shù)列{〃“}中,8S6=7S3,

則4w1,

所以8x___=7x-^―")

l-q\-q

解得q=-L

2

故答案為:-1.

2

4、(2021?上海)已知{凡}為無窮等比數(shù)列,%=3,%的各項和為9,b“=%”,則數(shù)列電}的各項和

為.

【答案】--

5

【解析】設(shè){凡}的公比為q,

3

由4=3,處的各項和為9,可得——=9,

i-q

解得q=2,

3

所以%=3x(1尸,

么=%=3xc|)2i,

可得數(shù)列他』是首項為2,公比為芻的等比數(shù)列,

則數(shù)列{b,,}的各項和為‘j.

1--5

9

故答案為:

5

5、(2023?乙卷(理))已知{“"}為等比數(shù)列,a2a4a5=a3a6,9al()=—8,則%=.

【答案】—2.

【解析】?.?等比數(shù)列{見},

aa

a2a4a5=0203a6=36,解得2=1,

215553

而09al°=01d=(a2)q=—8,可得q'=(^)=—8,

即q5=—2,

5

%=a2-q=1x(—2)=—2.

故答案為:—2.

6、(2021?甲卷(理))等比數(shù)列{%}的公比為q,前〃項和為S”.設(shè)甲:q>0,乙:{S“}是遞增數(shù)列,則(

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】若4=-1,4=1,則用=嗎=-〃,則{S“}是遞減數(shù)列,不滿足充分性;

i-q

貝Us向=4(i-q向),

i-q

:.Sn+l-Sn=^q"-q"^=axq",

i-q

若{S“}是遞增數(shù)列,

.■.Sn+l-Sn=aiq">0,

則q>0,q>0,

...滿足必要性,

故甲是乙的必要條件但不是充分條件,

故選:B.

7、(2023?天津)已知{%}為等比數(shù)列,S”為數(shù)列伍”}的前〃項和,an+1=2Sn+2,則%的值為()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【解析】因為{4}為等比數(shù)列,an+i=2Sn+2,

所以4=2S]+2=2<2J+2,%=2S,+2=2(a}+2a}+2)+2=6tzi+6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,=%?4,

即(2+2q了=(6q+6),q,

所以q=2或q=—1(舍),

所以a?=6,q=3,

貝U%=4,I'=2x3’=54.

故選:C.

8、(2023?甲卷(理))已知等比數(shù)列{4}中,4=1,S"為{4}前〃項和,S5=5S3-4,則邑=()

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】等比數(shù)列{4}中,設(shè)公比為q,

4=1,S”為他”}前〃項和,55=5S3-4,顯然qw±l,

(如果q=l,可得5=15—4矛盾,如果q=-l,可得—1=—5—4矛盾),

可得匕£=5?匕/-4,

1-q—q

解得d=4,即q=2或4=-2,

所以當(dāng)夕=2時,S--——=-——=15.

41—q1—2

當(dāng)q=-2時,54=上/=匕電=-5.沒有選項.

41-q1+2

故選:C.

9、(2022?上海)已知等比數(shù)列{處}的前〃項和為S“,前〃項積為7;,則下列選項判斷正確的是()

A.若邑儂>邑⑼,則數(shù)列{%}是遞增數(shù)列

B.若瑪22>寫)21,則數(shù)列{%}是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列{S“}是遞增數(shù)列,則劭如9⑼

D.若數(shù)列區(qū)}是遞增數(shù)列,則。2022-“021

【答案】D

【解析】如果數(shù)列4=-1,公比為-2,滿足S2M>S?⑼,但是數(shù)列{%}不是遞增數(shù)列,所以A不正確;

如果數(shù)列q=l,公比為-g,滿足7M22>4)21,但是數(shù)列{?!埃皇沁f增數(shù)列,所以3不正確;

1_(1)n

如果數(shù)列4=1,公比為g,S〃=——=2(1-/),數(shù)列{S〃}是遞增數(shù)列,但是%)22<。2021,所以。不正

2

確;

數(shù)列{,}是遞增數(shù)列,可知7;>7;-,可得4>1,所以d.I,可得的的”2021正確,所以。正確;

故選:D.

10、(2023?新高考II)記S“為等比數(shù)列{%}的前〃項和,若邑=-5,S6=21S2,則$8=()

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】等比數(shù)列{%}中,S4=5,S6=21S2,顯然公比

設(shè)首項為4,則%"力7①,4(1-力=2皿(17)②,

\-q1-qX-q

化簡②得q4+d-20=0,解得/=4或,=-5(不合題意,舍去),

代入①得」心=!,

1-q3

所以風(fēng)=a'^~q)=—(1-/)(1+/)=-x(-15)x(1+16)=-85.

l-q\-q3

故選:c.

熱身訓(xùn)練

1、若等比數(shù)列{〃"}的各項均為正數(shù),42=3,4曷=4147,則。5等于()

33

A.TB.dC.12D.24

4o

【答案】:D

【解析工數(shù)列{%}是等比數(shù)列,各項均為正數(shù),

4-=。辿7=就,所以爐=崇=4,

所以q=2.

所以<25==3X23=24,

故選D.

2、等比數(shù)列{%}的前〃項和為S,=32「i+r,則廠的值為()

A.;B.-gC.D.—

【答案】:B

【解析】:當(dāng)〃=1時,。1=邑=3+廠,

當(dāng)n>2時,a“=S,—SI=32LI—32"-3

=32L3?2_1)=8.32"-3=8.32L2.3—1

81

學(xué)"I,

Q1

所以3+r=g,即廠=一不故選B.

3、已知遞增的等比數(shù)列{如}中,公=6,勾+1,政+2,的成等差數(shù)列,則該數(shù)列的前6項和S6等

于()

189

A.93B.189C.-TZD.378

10

【答案】:B

【解析工設(shè)數(shù)列{詼}的公比為夕,由題意可知,q>l,

且2(〃2+2)=〃1+1+〃3,

即2x(6+2)=/+1+6q,

整理可得2爐一54+2=0,

則《=2(4=;舍去),則的=當(dāng)=3,

3x(1—26)

數(shù)列[an]的前6項和S6=\_2=189.

4、(2022年廣州附屬中學(xué)高三模擬試卷)已知等比數(shù)列{??}的前n項和為S“,若'=4,£=微,則無=

【答案】60

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為S=4,S6=12,

所以則,

qwl,S="1(1")=4,S6=%。")=12

3j1-q

所以尸7=3,解得/=2,所以Si2:-。―4)二q(1—4乂1+4)=]2x(l+22)=60;

j121-q1-qI7

故答案為:60

5、(2023?云南紅河?統(tǒng)考一模)在數(shù)列{4}中,%=3,6=7,若{24一”}為等比數(shù)歹I」,則如=.

【答案】127

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{2%-“}的公比為q,貝心一=亍;=『3,

所以)(故如

20n-11=(24—3qg=2x3—3/8=3x34=243,y、⑵.

故答案為:127.

典【廁剖】析〕

考向一等比數(shù)列的基本運(yùn)算

例1、(1)設(shè)正項等比數(shù)列{斯}的前w項和為S.,若&=3,S4=15,則公比q等于()

A.5B.4C.3D.2

(2)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{念}的前4項和為15,且〃5=3S+4S,則儂等于()

A.16B.8C.4D.2

(3)(2021?吉林延邊朝鮮族自治州?高三月考(文))已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}滿足a3、

3

-a4.2%成等差數(shù)列淇前〃項和為S〃,且Ss=31,則()

4

A3QiB4=2-3S〃=32--5?=2?--16

【答案】?(1)D(2)C(3)C

1。1+〃2=3,

【解析】(1):因為S2=3,S4=15,S4—S2=12,所以,_

[〃3+〃4=12,

兩個方程左右兩邊分別相除,得d=4,因為數(shù)列是正項等比數(shù)列,所以4=2,故選D.

(2):設(shè)等比數(shù)列{〃〃}的公比為q,由〃5=3〃3+4〃1得q4=3q2+4,得/=%

因為數(shù)列{如}的各項均為正數(shù),所以4=2,又〃1+42+俏+〃4=。1(1+4+/+43)=41(1+2+4+8)=15,

所以〃1=1,所以〃3=。1"2=4.

3

(3)【解析工由%,—2。4,2%成等差數(shù)列,

得:3a4=a3+2a5,

設(shè){4}的公比為4,則2/_3q+l=0,

解得:q=g或q=l,又Qa“單調(diào)遞減,

解得:4=16,.?.數(shù)列{a,}的通項公式為:an=16-

2

故選:C.

方法總結(jié):(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,等比數(shù)列中有五個量ai,〃,q,an,

Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解;

(2)等比數(shù)列的前〃項和公式涉及對公比q的分類討論,當(dāng)q=l時,{?!ǎ那啊椇蚐〃="的;當(dāng)行1時,

ai—a〃q

{〃〃}的前〃項和S〃=1—q=o

考向二等比數(shù)列的性質(zhì)

例2、(1)已知等比數(shù)列{詼}的各項為正數(shù),且〃5〃6+〃4〃7=18,則10g3〃l+10g3〃2+…+log3〃10=()

A.12B.10

C.8D.2+log35

(2)設(shè)等比數(shù)列{〃〃}中,前〃項和為S〃,已知513=8,516=7,則〃7+〃8+〃9等于()

AlB--8

一57-55

匚88

(3)已知等比數(shù)列{斯}共有2〃項,其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比*.

【答案】(1)B(2)A(3)2

【解析】(1)由。5。6+。4〃7=18,得。5〃6=9,

所以10g3〃l+10g3a2+…+log3〃10=log3m口2…〃10)

=10g3(〃5〃6)5=510g39=10.

(2)因為〃7+〃8+"9=S9-$6,且S3,56-N,-$6也成等比數(shù)列,即8,—1,§9一$6成等比數(shù)列,

所以8(59—36)=1,即89—86=:,

o

所以。7+。8+。9=].

S奇+5偶=—240,

(3)由題意,得,

S奇—S偶=80,

S奇=—80,S偶-160

解得所以Q—---------二2

S偶=—160,S奇-80

變式1、(1)在等比數(shù)列{斯}中,若。1。2。3。4=1,。13。14〃15。16=8,則。41。42。43。44=;

【答案】1024

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,依次4項的積為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,乃三2a3a4=1,北=〃13〃14的5〃16

=8,所以北=71/=14=8,即q=2,所以Tii=〃4ia42〃43〃44=Tiqi°=2i°=1024.

(2)已知數(shù)列{斯}為等比數(shù)歹!J,為其前n項和,〃£N*,若。1+。2+。3=3,。4+〃5+〃6=6,則Sn=;

【答案】45

。4+〃5+。66

【解析】設(shè)等比數(shù)列{念}的公比為4,則一7—7—=夕3=鼻=2.因為36=。1+。2+。3+〃4+〃5+。6=9,512—

41十〃2十〃3D

S12-5*6〃7+。8+。9+。1。+〃11+02

56=。7+〃8+〃9+〃1()+〃11+。12,所以Q=;ii;;=16=4,所以S12=5S6=45.

+〃2十〃3十。4十〃5十〃6

(3)已知{斯}是等比數(shù)列,〃2=2,。5=1,則〃1。2+。2。3+…+斯斯+1=.

32

【答案】y(l-4-?)

【解析】因為“2=2〃5=a,所以0=4,2,所以4142+"2〃3H-----\-anan+

方法總結(jié):⑴在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+〃=p+

q(m,n,p,q£N*),則〃"〃〃=他必”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.

⑵在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.止匕外,解題時注意設(shè)而

不求思想的運(yùn)用

考向三等比數(shù)列的判定與證明

例3、(1)設(shè)等比數(shù)列{〃“}的公比為q,則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列{斯斯+1}是公比為q的等比數(shù)列

B.數(shù)歹U{廝+斯+1}是公比為q的等比數(shù)列

C.數(shù)歹!J{斯一斯+1}是公比為q的等比數(shù)列

D.數(shù)列出彳是公比為^■的等比數(shù)列

q

【答案】:D

【解析】:對于A,由也g=q2(論2)知其是公比為爐的等比數(shù)列;對于B,若q=-1,則{a“+a“+i}

1

+1

項中有0,不是等比數(shù)列;對于C,若4=1,則數(shù)歹(J{斯一斯+1}項中有0,不是等比數(shù)列;對于D,—

=巫=1所以數(shù)歹山![是公比為3的等比數(shù)列,故選D.

an+iq〔即Jq

(2)(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)(多選)已知等差數(shù)列{%}的前〃項和為S“,等比數(shù)列出}的前“項積為

T?,則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)歹1]{52“+2-52)是等差數(shù)列

C.數(shù)列[鏟]是等比數(shù)列D.數(shù)歹!J{lg?;}是等差數(shù)列

【答案】ABC

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d,則,'=可+心現(xiàn).

2n2

對于A選項,£±L—&=[+㈣一%―七電=&,「.[顯]為等差數(shù)歹!J,A正確;

a

對于B選項,令=邑〃+2-S?n=。2”+2+2n+\,

CC

?e-n+1~n=(々2/4+々2…3)一(%〃+2+。2"+1)=4",

故數(shù)歹1」{52〃+2-52〃}是等差數(shù)列,B正確;

設(shè)等比數(shù)列也}的公比為9gW0),

對于C選項,令4=]產(chǎn)=處+2?%用,則爭=."+4?"+3=/,故數(shù)列[冬]是等比數(shù)列,c正確;

T2?dna”+2也用[T2nJ

對于D選項,?.?坨卻「坨?=坨祟=坨%不-定為常數(shù),故數(shù)列{坨北}不一定是等差數(shù)列,故D錯誤;

Ln

故選:ABC.

變式1、(1)已知數(shù)列{斯}的前“項和為S”且。"+5”=".若數(shù)列{》”}滿足6i=ai,與=斯一斯—1("22),求

證:數(shù)列{勿}是等比數(shù)列;

⑵已知數(shù)列{。"}滿足。1=1,02=2,斯+2=""±)""+["GN*.

①令b"=a"+i—斯,求證:{勿}是等比數(shù)列;

②求數(shù)列{斯}的通項公式.

Tn

【解析】⑴因為由例3(2)知an=\-2

所以當(dāng)時,

1

又。1=41=]也符合上式,所以兒=團(tuán).

bi1

因為n"+[=],所以數(shù)列{?!ǎ堑缺葦?shù)列.

⑵①由題意,得。1=。2—〃1=1.

an~\+an11bn

當(dāng)"三2時,bn=cin+1―a〃=2—a〃=一一〃〃-1)=一1兒—1,則^

故{6〃}是以1為首項,―3為公比的等比數(shù)列.

②由①知。八=〃〃+1—ClnJ

r

當(dāng)"22時,斯=〃1+(。2—41)+(。3—。2)+…+(。及一?!╛1)=1+1++…+1+

1

52(

當(dāng)九=]時,]一-2/=]=。1,

52(

故斯=§_1(一寸(〃£N*).

變式2、(2022年河北省高三大聯(lián)考模擬試卷)已知數(shù)列{4},{2}滿足我包=巴%,。用=叱&

且。1=2,b]=1

(1)求的,打的值,并證明數(shù)列{%—2}是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{4},也}的通項公式.

【解析】

(1)<%=2,々=1

4+4bl2+4x161y八、28

/.b=a=-(5ab)=-.

255-52l+2

=%+坳.1,26an+4b”

,向5?"戶+%)=^^-

26a,+46“。“+4包

%+i-d+i

305

...{4—包}是。1—4=1為首項,I為公比的等比數(shù)列

(2)由⑴知{?!币?}是白一偽=1為首項,(為公比的等比數(shù)列.

...當(dāng)“22時,bn=bi+(b2-bl)+(Z?3-b2)+L+(/??-^)=l+1x

當(dāng)〃=1時,4=1也適合上式

所以數(shù)列{%}的通項公式為2=1t<tr

數(shù)列{%,}的通項公式為

方法總結(jié):證明一個數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列常用定義法與等差、等比中項法,其他方法只用于選擇、

填空題中的判定;若證明某數(shù)列不是等差或等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等差或等比數(shù)列即

可.而研究數(shù)列中的取值范圍問題,一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行求解

優(yōu)升

1、(2022年河北省張家口高三模擬試卷)已知等比數(shù)列{%}各項均為正數(shù),且。3=%+%,則4=()

1+A/51A/5布-1n1+A/5或1-

22222

【答案】A

【解析】

【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可知q/=q+qg,4〉。,

所以4—1=0,解得:4=出手或4=qi<o(舍),

故選:A

2、(2022年河北省衡水中學(xué)高三模擬試卷)等比數(shù)列{斯}中,每項均為正數(shù),且a3a8=81,則log3ai+log3a2

H---l-log3aio等于()

A.5B.10C.20D.40

【答案】C

【解析】

aa

[詳解】{??}是等比數(shù)列,則=a2a9=03ag=a4a7=s6>

5

所以log3al+log3a24---卜logsaio=log^a^■--al0)=log3(?3a8)=51og381=20.

故選:C.

3、(2023?吉林長春?統(tǒng)考三模)已知等比數(shù)列{?}的公比為q(q>0且qwl),若4+8%=%+8%,則4

的值為()

I1

A.-B.-C.2D.4

42

【答案】C

【詳解】已知等比數(shù)列{%}的公比為4(4>0且4/1),若%+84=4+8%,

則&一%=8%-8%,所以"二幺二/(」一q)=茨=8,解得4=2.

%—4%—%

故選:C.

4、(2023?黑龍江?黑龍江實驗中學(xué)??家荒#ǘ噙x題)已知工是等比數(shù)列{%}的前〃項和,且3=2向+a,

則下列說法正確的是()

A.(2=-2

B.a=—1

c

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