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文檔簡介
第42講等比數(shù)列
知識梳理
1、等比數(shù)列的定義
一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫
做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母_q_表示.
2、等比數(shù)列的通項公式
1
一般地,對于等比數(shù)列{an}的第n項“,有公式an=aiq^>這就是等比數(shù)列{a"的通項公式,其中ai
nm
為首項,q為公比.第二通項公式為:an=amq-.
3、等比數(shù)列的前n項和公式
等比數(shù)列{斯}的前n項和公式:Sd(qWl)或斗=竿箸(qWl).
注意:(1)當(dāng)q=l時,該數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列,S〃=wi;
⑵有關(guān)等比數(shù)列的求和問題,當(dāng)q不能確定時,應(yīng)分q=l,qWl來討論.
4、等比數(shù)列的性質(zhì)
⑴若a,G,b成等比數(shù)列,則稱G為a和b的等比中項,則G2=ab.
1
(2)等比數(shù)列{aj中)若m+n=k+l(m,n,k,1?N*),則有a?,?an=ak?ai,特別地當(dāng)m+n=2p時>
dm*Clndp-
(3)設(shè)弘是等比數(shù)列{以}的前"項和,則sm0m—Sm,53^—52”,滿足關(guān)系式(52,”一%)2=5?,'(S3m-S2m).
(4)等比數(shù)列的單調(diào)性,若首項?1>0,公比q>l或首項?1<0,公比0<4<1,則數(shù)列為遞增數(shù)列;若首
項的>0,公比0<?<1或首項0<0,公比q>l,則數(shù)列為遞減數(shù)列;若公比q=l,則數(shù)列為常數(shù)列;公比
q<0,則數(shù)列為擺動數(shù)列.
(5)若{〃}和{>“}均為等比數(shù)列,貝UUa/QWO)、{|a“|}、(,、{曷}、?、{機(jī)“/"}(加/0)仍為等比數(shù)列.
真題再現(xiàn)
1、(2022?乙卷(文))已知等比數(shù)列{4}的前3項和為168,a2-a5=42,則,=()
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列{凡}的公比為4,gwO,由題意,qwl.
13
?1,前3項和為q+a2+a3=-^——-168,a2—a5-q—ax-q—ax?^(1-^)42,
i-q
q=;,%=96,
貝%=4,=96x盤=3,
故選:D.
2、(2021?甲卷(文))記S"為等比數(shù)列{〃〃}的前〃項和.若$2=4,S4=6,則$6=()
A.7B.8C.9D.10
【答案】A
【解析】S"為等比數(shù)列{4}的前〃項和,S2=4,S4=6,
由等比數(shù)列的性質(zhì),可知邑,S4-S2,$6-其成等比數(shù)列,
.-.4,2,邑-6成等比數(shù)列,
2
2=4(S6-6),解得其=7.
故選:A.
3、(2023?甲卷(文))記S“為等比數(shù)列{%}的前幾項和.若8s6=7$3,則{4}的公比為.
【答案】」.
2
【解析】等比數(shù)列{〃“}中,8S6=7S3,
則4w1,
所以8x___=7x-^―")
l-q\-q
解得q=-L
2
故答案為:-1.
2
4、(2021?上海)已知{凡}為無窮等比數(shù)列,%=3,%的各項和為9,b“=%”,則數(shù)列電}的各項和
為.
【答案】--
5
【解析】設(shè){凡}的公比為q,
3
由4=3,處的各項和為9,可得——=9,
i-q
解得q=2,
3
所以%=3x(1尸,
么=%=3xc|)2i,
可得數(shù)列他』是首項為2,公比為芻的等比數(shù)列,
則數(shù)列{b,,}的各項和為‘j.
1--5
9
故答案為:
5
5、(2023?乙卷(理))已知{“"}為等比數(shù)列,a2a4a5=a3a6,9al()=—8,則%=.
【答案】—2.
【解析】?.?等比數(shù)列{見},
aa
a2a4a5=0203a6=36,解得2=1,
215553
而09al°=01d=(a2)q=—8,可得q'=(^)=—8,
即q5=—2,
5
%=a2-q=1x(—2)=—2.
故答案為:—2.
6、(2021?甲卷(理))等比數(shù)列{%}的公比為q,前〃項和為S”.設(shè)甲:q>0,乙:{S“}是遞增數(shù)列,則(
)
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】若4=-1,4=1,則用=嗎=-〃,則{S“}是遞減數(shù)列,不滿足充分性;
i-q
貝Us向=4(i-q向),
i-q
:.Sn+l-Sn=^q"-q"^=axq",
i-q
若{S“}是遞增數(shù)列,
.■.Sn+l-Sn=aiq">0,
則q>0,q>0,
...滿足必要性,
故甲是乙的必要條件但不是充分條件,
故選:B.
7、(2023?天津)已知{%}為等比數(shù)列,S”為數(shù)列伍”}的前〃項和,an+1=2Sn+2,則%的值為()
A.3B.18C.54D.152
【答案】C
【解析】因為{4}為等比數(shù)列,an+i=2Sn+2,
所以4=2S]+2=2<2J+2,%=2S,+2=2(a}+2a}+2)+2=6tzi+6,
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,=%?4,
即(2+2q了=(6q+6),q,
所以q=2或q=—1(舍),
所以a?=6,q=3,
貝U%=4,I'=2x3’=54.
故選:C.
8、(2023?甲卷(理))已知等比數(shù)列{4}中,4=1,S"為{4}前〃項和,S5=5S3-4,則邑=()
A.7B.9C.15D.30
【答案】C
【解析】等比數(shù)列{4}中,設(shè)公比為q,
4=1,S”為他”}前〃項和,55=5S3-4,顯然qw±l,
(如果q=l,可得5=15—4矛盾,如果q=-l,可得—1=—5—4矛盾),
可得匕£=5?匕/-4,
1-q—q
解得d=4,即q=2或4=-2,
所以當(dāng)夕=2時,S--——=-——=15.
41—q1—2
當(dāng)q=-2時,54=上/=匕電=-5.沒有選項.
41-q1+2
故選:C.
9、(2022?上海)已知等比數(shù)列{處}的前〃項和為S“,前〃項積為7;,則下列選項判斷正確的是()
A.若邑儂>邑⑼,則數(shù)列{%}是遞增數(shù)列
B.若瑪22>寫)21,則數(shù)列{%}是遞增數(shù)列
C.若數(shù)列{S“}是遞增數(shù)列,則劭如9⑼
D.若數(shù)列區(qū)}是遞增數(shù)列,則。2022-“021
【答案】D
【解析】如果數(shù)列4=-1,公比為-2,滿足S2M>S?⑼,但是數(shù)列{%}不是遞增數(shù)列,所以A不正確;
如果數(shù)列q=l,公比為-g,滿足7M22>4)21,但是數(shù)列{?!埃皇沁f增數(shù)列,所以3不正確;
1_(1)n
如果數(shù)列4=1,公比為g,S〃=——=2(1-/),數(shù)列{S〃}是遞增數(shù)列,但是%)22<。2021,所以。不正
2
確;
數(shù)列{,}是遞增數(shù)列,可知7;>7;-,可得4>1,所以d.I,可得的的”2021正確,所以。正確;
故選:D.
10、(2023?新高考II)記S“為等比數(shù)列{%}的前〃項和,若邑=-5,S6=21S2,則$8=()
A.120B.85C.-85D.-120
【答案】C
【解析】等比數(shù)列{%}中,S4=5,S6=21S2,顯然公比
設(shè)首項為4,則%"力7①,4(1-力=2皿(17)②,
\-q1-qX-q
化簡②得q4+d-20=0,解得/=4或,=-5(不合題意,舍去),
代入①得」心=!,
1-q3
所以風(fēng)=a'^~q)=—(1-/)(1+/)=-x(-15)x(1+16)=-85.
l-q\-q3
故選:c.
熱身訓(xùn)練
1、若等比數(shù)列{〃"}的各項均為正數(shù),42=3,4曷=4147,則。5等于()
33
A.TB.dC.12D.24
4o
【答案】:D
【解析工數(shù)列{%}是等比數(shù)列,各項均為正數(shù),
4-=。辿7=就,所以爐=崇=4,
所以q=2.
所以<25==3X23=24,
故選D.
2、等比數(shù)列{%}的前〃項和為S,=32「i+r,則廠的值為()
A.;B.-gC.D.—
【答案】:B
【解析】:當(dāng)〃=1時,。1=邑=3+廠,
當(dāng)n>2時,a“=S,—SI=32LI—32"-3
=32L3?2_1)=8.32"-3=8.32L2.3—1
81
學(xué)"I,
Q1
所以3+r=g,即廠=一不故選B.
3、已知遞增的等比數(shù)列{如}中,公=6,勾+1,政+2,的成等差數(shù)列,則該數(shù)列的前6項和S6等
于()
189
A.93B.189C.-TZD.378
10
【答案】:B
【解析工設(shè)數(shù)列{詼}的公比為夕,由題意可知,q>l,
且2(〃2+2)=〃1+1+〃3,
即2x(6+2)=/+1+6q,
整理可得2爐一54+2=0,
則《=2(4=;舍去),則的=當(dāng)=3,
3x(1—26)
數(shù)列[an]的前6項和S6=\_2=189.
4、(2022年廣州附屬中學(xué)高三模擬試卷)已知等比數(shù)列{??}的前n項和為S“,若'=4,£=微,則無=
【答案】60
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為S=4,S6=12,
所以則,
qwl,S="1(1")=4,S6=%。")=12
3j1-q
所以尸7=3,解得/=2,所以Si2:-。―4)二q(1—4乂1+4)=]2x(l+22)=60;
j121-q1-qI7
故答案為:60
5、(2023?云南紅河?統(tǒng)考一模)在數(shù)列{4}中,%=3,6=7,若{24一”}為等比數(shù)歹I」,則如=.
【答案】127
【詳解】設(shè)等比數(shù)列{2%-“}的公比為q,貝心一=亍;=『3,
所以)(故如
20n-11=(24—3qg=2x3—3/8=3x34=243,y、⑵.
故答案為:127.
典【廁剖】析〕
考向一等比數(shù)列的基本運(yùn)算
例1、(1)設(shè)正項等比數(shù)列{斯}的前w項和為S.,若&=3,S4=15,則公比q等于()
A.5B.4C.3D.2
(2)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{念}的前4項和為15,且〃5=3S+4S,則儂等于()
A.16B.8C.4D.2
(3)(2021?吉林延邊朝鮮族自治州?高三月考(文))已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}滿足a3、
3
-a4.2%成等差數(shù)列淇前〃項和為S〃,且Ss=31,則()
4
A3QiB4=2-3S〃=32--5?=2?--16
【答案】?(1)D(2)C(3)C
1。1+〃2=3,
【解析】(1):因為S2=3,S4=15,S4—S2=12,所以,_
[〃3+〃4=12,
兩個方程左右兩邊分別相除,得d=4,因為數(shù)列是正項等比數(shù)列,所以4=2,故選D.
(2):設(shè)等比數(shù)列{〃〃}的公比為q,由〃5=3〃3+4〃1得q4=3q2+4,得/=%
因為數(shù)列{如}的各項均為正數(shù),所以4=2,又〃1+42+俏+〃4=。1(1+4+/+43)=41(1+2+4+8)=15,
所以〃1=1,所以〃3=。1"2=4.
3
(3)【解析工由%,—2。4,2%成等差數(shù)列,
得:3a4=a3+2a5,
設(shè){4}的公比為4,則2/_3q+l=0,
解得:q=g或q=l,又Qa“單調(diào)遞減,
解得:4=16,.?.數(shù)列{a,}的通項公式為:an=16-
2
故選:C.
方法總結(jié):(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,等比數(shù)列中有五個量ai,〃,q,an,
Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解;
(2)等比數(shù)列的前〃項和公式涉及對公比q的分類討論,當(dāng)q=l時,{?!ǎ那啊椇蚐〃="的;當(dāng)行1時,
ai—a〃q
{〃〃}的前〃項和S〃=1—q=o
考向二等比數(shù)列的性質(zhì)
例2、(1)已知等比數(shù)列{詼}的各項為正數(shù),且〃5〃6+〃4〃7=18,則10g3〃l+10g3〃2+…+log3〃10=()
A.12B.10
C.8D.2+log35
(2)設(shè)等比數(shù)列{〃〃}中,前〃項和為S〃,已知513=8,516=7,則〃7+〃8+〃9等于()
AlB--8
一57-55
匚88
(3)已知等比數(shù)列{斯}共有2〃項,其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比*.
【答案】(1)B(2)A(3)2
【解析】(1)由。5。6+。4〃7=18,得。5〃6=9,
所以10g3〃l+10g3a2+…+log3〃10=log3m口2…〃10)
=10g3(〃5〃6)5=510g39=10.
(2)因為〃7+〃8+"9=S9-$6,且S3,56-N,-$6也成等比數(shù)列,即8,—1,§9一$6成等比數(shù)列,
所以8(59—36)=1,即89—86=:,
o
所以。7+。8+。9=].
S奇+5偶=—240,
(3)由題意,得,
S奇—S偶=80,
S奇=—80,S偶-160
解得所以Q—---------二2
S偶=—160,S奇-80
變式1、(1)在等比數(shù)列{斯}中,若。1。2。3。4=1,。13。14〃15。16=8,則。41。42。43。44=;
【答案】1024
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,依次4項的積為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,乃三2a3a4=1,北=〃13〃14的5〃16
=8,所以北=71/=14=8,即q=2,所以Tii=〃4ia42〃43〃44=Tiqi°=2i°=1024.
(2)已知數(shù)列{斯}為等比數(shù)歹!J,為其前n項和,〃£N*,若。1+。2+。3=3,。4+〃5+〃6=6,則Sn=;
【答案】45
。4+〃5+。66
【解析】設(shè)等比數(shù)列{念}的公比為4,則一7—7—=夕3=鼻=2.因為36=。1+。2+。3+〃4+〃5+。6=9,512—
41十〃2十〃3D
S12-5*6〃7+。8+。9+。1。+〃11+02
56=。7+〃8+〃9+〃1()+〃11+。12,所以Q=;ii;;=16=4,所以S12=5S6=45.
+〃2十〃3十。4十〃5十〃6
(3)已知{斯}是等比數(shù)列,〃2=2,。5=1,則〃1。2+。2。3+…+斯斯+1=.
32
【答案】y(l-4-?)
【解析】因為“2=2〃5=a,所以0=4,2,所以4142+"2〃3H-----\-anan+
方法總結(jié):⑴在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+〃=p+
q(m,n,p,q£N*),則〃"〃〃=他必”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.
⑵在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)成立的前提條件,有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.止匕外,解題時注意設(shè)而
不求思想的運(yùn)用
考向三等比數(shù)列的判定與證明
例3、(1)設(shè)等比數(shù)列{〃“}的公比為q,則下列結(jié)論正確的是()
A.數(shù)列{斯斯+1}是公比為q的等比數(shù)列
B.數(shù)歹U{廝+斯+1}是公比為q的等比數(shù)列
C.數(shù)歹!J{斯一斯+1}是公比為q的等比數(shù)列
D.數(shù)列出彳是公比為^■的等比數(shù)列
q
【答案】:D
【解析】:對于A,由也g=q2(論2)知其是公比為爐的等比數(shù)列;對于B,若q=-1,則{a“+a“+i}
1
+1
項中有0,不是等比數(shù)列;對于C,若4=1,則數(shù)歹(J{斯一斯+1}項中有0,不是等比數(shù)列;對于D,—
=巫=1所以數(shù)歹山![是公比為3的等比數(shù)列,故選D.
an+iq〔即Jq
(2)(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)(多選)已知等差數(shù)列{%}的前〃項和為S“,等比數(shù)列出}的前“項積為
T?,則下列結(jié)論正確的是()
A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)歹1]{52“+2-52)是等差數(shù)列
C.數(shù)列[鏟]是等比數(shù)列D.數(shù)歹!J{lg?;}是等差數(shù)列
【答案】ABC
【詳解】設(shè)等差數(shù)列{4}的公差為d,則,'=可+心現(xiàn).
2n2
對于A選項,£±L—&=[+㈣一%―七電=&,「.[顯]為等差數(shù)歹!J,A正確;
a
對于B選項,令=邑〃+2-S?n=。2”+2+2n+\,
CC
?e-n+1~n=(々2/4+々2…3)一(%〃+2+。2"+1)=4",
故數(shù)歹1」{52〃+2-52〃}是等差數(shù)列,B正確;
設(shè)等比數(shù)列也}的公比為9gW0),
對于C選項,令4=]產(chǎn)=處+2?%用,則爭=."+4?"+3=/,故數(shù)列[冬]是等比數(shù)列,c正確;
T2?dna”+2也用[T2nJ
對于D選項,?.?坨卻「坨?=坨祟=坨%不-定為常數(shù),故數(shù)列{坨北}不一定是等差數(shù)列,故D錯誤;
Ln
故選:ABC.
變式1、(1)已知數(shù)列{斯}的前“項和為S”且。"+5”=".若數(shù)列{》”}滿足6i=ai,與=斯一斯—1("22),求
證:數(shù)列{勿}是等比數(shù)列;
⑵已知數(shù)列{。"}滿足。1=1,02=2,斯+2=""±)""+["GN*.
①令b"=a"+i—斯,求證:{勿}是等比數(shù)列;
②求數(shù)列{斯}的通項公式.
Tn
【解析】⑴因為由例3(2)知an=\-2
所以當(dāng)時,
1
又。1=41=]也符合上式,所以兒=團(tuán).
bi1
因為n"+[=],所以數(shù)列{?!ǎ堑缺葦?shù)列.
⑵①由題意,得。1=。2—〃1=1.
an~\+an11bn
當(dāng)"三2時,bn=cin+1―a〃=2—a〃=一一〃〃-1)=一1兒—1,則^
故{6〃}是以1為首項,―3為公比的等比數(shù)列.
②由①知。八=〃〃+1—ClnJ
r
當(dāng)"22時,斯=〃1+(。2—41)+(。3—。2)+…+(。及一?!╛1)=1+1++…+1+
1
52(
當(dāng)九=]時,]一-2/=]=。1,
52(
故斯=§_1(一寸(〃£N*).
變式2、(2022年河北省高三大聯(lián)考模擬試卷)已知數(shù)列{4},{2}滿足我包=巴%,。用=叱&
且。1=2,b]=1
(1)求的,打的值,并證明數(shù)列{%—2}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{4},也}的通項公式.
【解析】
(1)<%=2,々=1
4+4bl2+4x161y八、28
/.b=a=-(5ab)=-.
255-52l+2
=%+坳.1,26an+4b”
,向5?"戶+%)=^^-
26a,+46“。“+4包
%+i-d+i
305
...{4—包}是。1—4=1為首項,I為公比的等比數(shù)列
(2)由⑴知{?!币?}是白一偽=1為首項,(為公比的等比數(shù)列.
...當(dāng)“22時,bn=bi+(b2-bl)+(Z?3-b2)+L+(/??-^)=l+1x
當(dāng)〃=1時,4=1也適合上式
所以數(shù)列{%}的通項公式為2=1t<tr
數(shù)列{%,}的通項公式為
方法總結(jié):證明一個數(shù)列為等差數(shù)列或者等比數(shù)列常用定義法與等差、等比中項法,其他方法只用于選擇、
填空題中的判定;若證明某數(shù)列不是等差或等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等差或等比數(shù)列即
可.而研究數(shù)列中的取值范圍問題,一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行求解
優(yōu)升
1、(2022年河北省張家口高三模擬試卷)已知等比數(shù)列{%}各項均為正數(shù),且。3=%+%,則4=()
—
1+A/51A/5布-1n1+A/5或1-
22222
【答案】A
【解析】
【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可知q/=q+qg,4〉。,
所以4—1=0,解得:4=出手或4=qi<o(舍),
故選:A
2、(2022年河北省衡水中學(xué)高三模擬試卷)等比數(shù)列{斯}中,每項均為正數(shù),且a3a8=81,則log3ai+log3a2
H---l-log3aio等于()
A.5B.10C.20D.40
【答案】C
【解析】
aa
[詳解】{??}是等比數(shù)列,則=a2a9=03ag=a4a7=s6>
5
所以log3al+log3a24---卜logsaio=log^a^■--al0)=log3(?3a8)=51og381=20.
故選:C.
3、(2023?吉林長春?統(tǒng)考三模)已知等比數(shù)列{?}的公比為q(q>0且qwl),若4+8%=%+8%,則4
的值為()
I1
A.-B.-C.2D.4
42
【答案】C
【詳解】已知等比數(shù)列{%}的公比為4(4>0且4/1),若%+84=4+8%,
則&一%=8%-8%,所以"二幺二/(」一q)=茨=8,解得4=2.
%—4%—%
故選:C.
4、(2023?黑龍江?黑龍江實驗中學(xué)??家荒#ǘ噙x題)已知工是等比數(shù)列{%}的前〃項和,且3=2向+a,
則下列說法正確的是()
A.(2=-2
B.a=—1
c
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