專題24.5三角形一邊的平行線（第2課時(shí)）（高效培優(yōu)講義）數(shù)學(xué)滬教版九年級(jí)上冊(cè)

專題24.5三角形一邊的平行線（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)掌握三角形一邊的平行線的性質(zhì)中間比代換；學(xué)會(huì)構(gòu)造平行的七種技巧；掌握重心的概念及性質(zhì)；重心性質(zhì)的幾何應(yīng)用。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）常用構(gòu)造平行輔助線的作法；（2）比例線段的化簡(jiǎn)；中間比代換；（3）重心的性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程；重心性質(zhì)的應(yīng)用。2.難點(diǎn)（1）構(gòu)造平行；（2）綜合分析法，比例線段的化簡(jiǎn)與幾何圖形的性質(zhì)綜合分析；（3）分類討論思想。知識(shí)點(diǎn)1三角形的重心及其性質(zhì)證明聯(lián)結(jié)EF.由BE、CF是△ABC的中線，可知EF是△ABC的中位線.∵EF//BC,問(wèn)題：在圖2419中，如果△ABC的另一條中線AD與BE相交于點(diǎn)G',如圖2420所示，那么這個(gè)交點(diǎn)G'與交點(diǎn)G是否同一個(gè)點(diǎn)?2.三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.3.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的二倍.4.重心的畫(huà)法：兩條中線的交點(diǎn).【即學(xué)即練】【答案】6【分析】本題考查重心的性質(zhì)，掌握重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1求解即可．故答案為：6．

【答案】4【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查重心的性質(zhì)，熟練掌握重心到頂點(diǎn)的距離是中心到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，是解題的關(guān)鍵．【答案】【詳解】如圖，連接并延長(zhǎng)，交于H，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了重心的概念和性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，難度中等，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．【答案】2【分析】本題考查了重心的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及重心的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，故答案為：2．∴點(diǎn)O是的中點(diǎn)，【答案】2故答案為：2．（利用三角形一邊的性質(zhì)定理推論也可得）知識(shí)點(diǎn)2三角形一邊的平行線（續(xù)）1.三角形一邊的平行線的六種解題技巧：①中間比代換法證比例式；②等積代換法證比例式；③等比代換法證比例中項(xiàng)；④平行法證比例式；⑤等比過(guò)渡法證線段相等；同分母的中間比代換法。2.構(gòu)造平行..........②作三角形一邊的平行線；③截長(zhǎng)補(bǔ)短法；④構(gòu)造平行四邊形..........【即學(xué)即練】【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定三角形的相似和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系．3．如圖，已知E是AC的中點(diǎn)，C是BD的中點(diǎn)，那么＝．【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，熟練掌握平行線分線段成比例定理并能作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．A．1∶4 B．2∶5 C．1∶5 D．3∶5【答案】C【詳解】解：∵F是上的中點(diǎn)，故選：C5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接CD，交EF于點(diǎn)K，則下列說(shuō)法正確的是(

)【答案】C【分析】利用相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理證明即可；【詳解】∵DE∥CF，∴△DEK∽△CFK，∵EK∥AD，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．題型01在梯子型中構(gòu)造平行【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．【答案】【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AG∥CD交EF于H，交BC于G，∵AD∥BC∥EF，∴四邊形AHFD、AGCD均為平行四邊形，∴CG=HF=AD=3，∴BG=BC﹣CG=2，∴EH=BG=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，將梯形問(wèn)題通過(guò)作輔助平行線轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．題型01連接兩點(diǎn)構(gòu)造平行 B． C． D．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解 決問(wèn)題，屬于中考常考題型．【變式1】．如圖，在△ABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作DE∥AC分別交邊AB、BC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AC于點(diǎn)F，如果DF＝4，那么BE的長(zhǎng)為．【答案】8【詳解】解：連接BG并延長(zhǎng)交AC于H，

∵G為ABC的重心，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形DECF是平行四邊形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴BE＝8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì),平行線分線段成比例定理，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型03作三角形一邊的平行線證法二、連接、，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：平行線分的線段對(duì)應(yīng)成比例，此題具有一定的代表性，但是一定比較容易出錯(cuò)的題目．(2)求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查中線定義，線段和差關(guān)系，平行線分線段成比例等知識(shí)內(nèi)容，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．題型04截長(zhǎng)補(bǔ)短法【答案】4又是中點(diǎn)故答案為：4．【答案】【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)G，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，直接開(kāi)平方法解一元二次方程，兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等等知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型05作三角形的中位線為中點(diǎn)，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．A.3:2:1B.5:3:1C.25;12:5D.51:24:10【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型06構(gòu)造平行四邊形是的中點(diǎn)，【點(diǎn)評(píng)】綜合運(yùn)用了平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．題型07其他輔助線作法【解析】解：如圖，連接、，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比例線段的基本性質(zhì)，根據(jù)共高兩三角形的底邊之比等于面積比將線段 的比轉(zhuǎn)化為面積的比是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）成立．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線分線段成比例定理的運(yùn)用．題型08三角形一邊的平行線—中間比代換【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系．【變式1】．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點(diǎn)E，GF∥AC，且交CD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）

【答案】A【分析】抓住已知條件：GE∥BD，GF∥AC，利用平行線分線段成比例以及中間比代換，對(duì)各選項(xiàng)一一判斷即可求解.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用中間比是解題的關(guān)鍵.【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)，即可解答．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)得到線段的比例關(guān)系．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的定理去求出各個(gè)線段的比例關(guān)系，選出正確選項(xiàng)．【解析】解：A選項(xiàng)錯(cuò)誤，∵點(diǎn)D、點(diǎn)E是AB的三等分點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，無(wú)法證明；C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這個(gè)定理求出線段的比例關(guān)系．題型09三角形的重心概念及性質(zhì)【典例1】．三角形的重心正確的敘述是（）A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)B．三角形三條中垂線的交點(diǎn)C．三角形三條中線的交點(diǎn)D．三角形三條高的交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)三角形重心定義判斷即可得解．【解析】三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形重心，熟記三角形重心的定義是解題的關(guān)鍵．A．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【解析】解：∵是邊上的中線，點(diǎn)是重心，故選：C．【答案】/0.6∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心和平行線對(duì)應(yīng)邊成比例，能夠運(yùn)用三角形的重心將三角形的中線所在的線段分為兩部分是解答本題的關(guān)鍵．題型10：三角形重心的性質(zhì)的幾何應(yīng)用【答案】/【詳解】解：如圖，故答案為：．【答案】【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，故答案為：．

【詳解】解：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，如圖所示：

點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱變換，三角形的重心性質(zhì)，新定義，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系．一、單選題A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，故選：．2．如圖，E是平行四邊形ABCD的BA邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)F，下列各式中，錯(cuò)誤的是(

).【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根據(jù)平行線分線段成比例得到==，用AB等量代換CD，得到==；再利用AF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例得=，由此可判斷A選項(xiàng)中的比例是錯(cuò)誤的．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，∴==，而AB=CD，∴==；又∵AF∥BC，∴=．故選A．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，∵點(diǎn)是重心，故選：B．4．如圖，△ABC中，點(diǎn)D、F在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，如果DE∥，EF∥CD，那么一定有（

）【答案】BA．5 B．6 C． D．7【答案】B【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于G，連接，到、的距離h相等，設(shè)點(diǎn)A到距離為y故選：B．【答案】D【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例，分別求出線段之間的數(shù)量關(guān)系，逐一計(jì)算，比較大小即可．故選D．二、填空題【答案】【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理，看到重心想到證明相似三角形來(lái)得到重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是解題的關(guān)鍵．【答案】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【答案】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．故答案為：．

【答案】2【詳解】解：是重心，故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．【答案】2【詳解】解：∵PE∥AB，PF∥AC，∵BC＝3EF，答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例性質(zhì)定理及等比性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【答案】故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．【答案】1．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DC=AB=BC=1，DC∥AB，BC∥AD，故答案為：1．【答案】/0.6∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心和平行線對(duì)應(yīng)邊成比例，能夠運(yùn)用三角形的重心將三角形的中線所在的線段分為兩部分是解答本題的關(guān)鍵．【答案】或5分別求解即可．故分為以下兩種情況：（1）直線垂直平分，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)折疊可得點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離相等，故答案為：或5．【詳解】解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)Q，∵點(diǎn)F是點(diǎn)A關(guān)于線段的“準(zhǔn)射點(diǎn)”，【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積公式，平行線分線段成比例定理，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，判斷出點(diǎn)F的位置是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題【答案】(1)見(jiàn)解析【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．(1)求與的比值．【答案】(1)(2)（2）解：∵是中線，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，重心的性質(zhì)，三角形的中線，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【答案】見(jiàn)解析【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：中線，交于點(diǎn)，點(diǎn)為重心，點(diǎn)為重心，【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是重心的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握重心的性質(zhì)．若將圖中的垂線改為斜交，如圖，ABCD，AD，BC相交于點(diǎn)E，過(guò)