平面向量試題及答案

平面向量試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(x,-4)\)，且\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(4\)D.\(-4\)2.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec\vert=4\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(6\sqrt{3}\)D.\(12\sqrt{3}\)3.向量\(\vec{a}=(2,1)\)，\(\vec=(1,3)\)，則\(\vec{a}+\vec\)等于（）A.\((3,4)\)B.\((2,4)\)C.\((3,3)\)D.\((1,4)\)4.若\(\vec{e_1}\)，\(\vec{e_2}\)是單位向量，且\(\vec{e_1}\cdot\vec{e_2}=-\frac{1}{2}\)，則\(\vec{e_1}\)與\(\vec{e_2}\)的夾角是（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)5.已知\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(4\)D.\(-4\)6.設(shè)\(M\)是\(\triangleABC\)的重心，則\(\overrightarrow{AM}\)等于（）A.\(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)B.\(\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)C.\(\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)D.\(\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)7.已知向量\(\vec{a}=(3,-4)\)，則與\(\vec{a}\)同向的單位向量\(\vec{e}\)為（）A.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)C.\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)D.\((-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)8.若\(\vert\vec{a}\vert=1\)，\(\vert\vec\vert=2\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(45^{\circ}\)，則\(\vert\vec{a}-\vec\vert\)等于（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(1\)9.已知\(\overrightarrow{AB}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(4,7)\)，則\(\overrightarrow{BC}\)等于（）A.\((-2,-4)\)B.\((2,4)\)C.\((6,10)\)D.\((-6,-10)\)10.若向量\(\vec{a}=(x,1)\)，\(\vec=(4,x)\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線且方向相同，則\(x\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\pm2\)D.\(0\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的是（）A.零向量與任意向量平行B.向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的方向相同或相反C.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)D.向量的模一定是非負(fù)的2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為鈍角，則\(m\)的值可能為（）A.\(-2\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(1\)3.以下向量運(yùn)算正確的是（）A.\(\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})\)C.\(\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）D.\(\vec{a}\cdot(\vec+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec+\vec{a}\cdot\vec{c}\)4.已知\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(-3,4)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(-1,3)\)B.\(\vec{a}-\vec=(5,-5)\)C.\(3\vec{a}=(6,-3)\)D.\(\vec{a}\cdot\vec=-10\)5.若向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)滿足\(\vert\vec{a}\vert=1\)，\(\vert\vec\vert=2\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為\(60^{\circ}\)，則（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=1\)B.\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\sqrt{7}\)C.\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec{a}=2\)D.\(\vec{a}\)在\(\vec\)上的投影向量的模為\(\frac{1}{2}\)6.下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（）A.\(\vec{e_1}=(0,0)\)，\(\vec{e_2}=(1,-2)\)B.\(\vec{e_1}=(-1,2)\)，\(\vec{e_2}=(5,7)\)C.\(\vec{e_1}=(3,5)\)，\(\vec{e_2}=(6,10)\)D.\(\vec{e_1}=(2,-3)\)，\(\vec{e_2}=(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})\)7.已知\(\overrightarrow{OA}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(3,m)\)，若\(\angleAOB\)為鈍角，則實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍是（）A.\(m\gt\frac{3}{2}\)B.\(m\lt\frac{3}{2}\)C.\(m\neq-6\)D.\(m\lt-6\)8.向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(\vec{a}=\vec\)，則\(x_1=x_2\)且\(y_1=y_2\)B.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)C.若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(x_1x_2+y_1y_2=0\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\)9.設(shè)\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題正確的是（）A.\((\vec{a}\cdot\vec)\vec{c}-(\vec{c}\cdot\vec{a})\vec=0\)B.\(\vert\vec{a}\vert-\vert\vec\vert\lt\vert\vec{a}-\vec\vert\)C.\((\vec\cdot\vec{c})\vec{a}-(\vec{c}\cdot\vec{a})\vec\)與\(\vec{c}\)不垂直D.\((3\vec{a}+2\vec)\cdot(3\vec{a}-2\vec)=9\vert\vec{a}\vert^{2}-4\vert\vec\vert^{2}\)10.已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,3)\)，\(\vec{c}=(4,1)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec=(-1,5)\)B.\(\vec{a}\cdot\vec=4\)C.\(\vec{a}\)在\(\vec{c}\)上的投影為\(\frac{6}{\sqrt{17}}\)D.以\(\vec{a}\)，\(\vec\)為鄰邊的平行四邊形面積為\(7\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與向量\(\vec=(0,1)\)垂直。（）2.若\(\vec{a}\cdot\vec\lt0\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角為鈍角。（）3.零向量的長(zhǎng)度為\(0\)，沒(méi)有方向。（）4.若\(\vec{a}\)，\(\vec\)是兩個(gè)非零向量，且\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec\vert\)，則\(\vec{a}=\vec\)。（）5.向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec\)上的投影是一個(gè)向量。（）6.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，\(\vec\parallel\vec{c}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec{c}\)。（）7.\((\vec{a}\cdot\vec)\vec{c}=\vec{a}(\vec\cdot\vec{c})\)。（）8.平面內(nèi)的任意向量都可以用兩個(gè)不共線的向量表示。（）9.若\(\vert\vec{a}+\vec\vert=\vert\vec{a}-\vec\vert\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）10.向量\(\vec{a}=(x,y)\)的模為\(\sqrt{x+y}\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec=(-1,2)\)，求\(\vec{a}+2\vec\)。-答案：先計(jì)算\(2\vec=2(-1,2)=(-2,4)\)，再求\(\vec{a}+2\vec=(2,3)+(-2,4)=(2-2,3+4)=(0,7)\)。2.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec\vert=4\)，\(\vec{a}\)與\(\vec\)夾角為\(120^{\circ}\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)。-答案：根據(jù)向量點(diǎn)積公式\(\vec{a}\cdot\vec=\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為夾角），這里\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec\vert=4\)，\(\theta=120^{\circ}\)，\(\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=3\times4\times(-\frac{1}{2})=-6\)。3.已知\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec=(3,4)\)，求\(\vec{a}\)在\(\vec\)上的投影。-答案：\(\vec{a}\)在\(\vec\)上的投影為\(\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec\vert}\)。\(\vec{a}\cdot\vec=1\times3+(-2)\times4=3-8=-5\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)，所以投影為\(\frac{-5}{5}=-1\)。4.已知\(\overrightarrow{AB}=(2,-1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{BC}\)。-答案：根據(jù)向量減法\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(-3,4)-(2,-1)=(-3-2,4-(-1))=(-5,5)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論向量平行與垂直在平面幾何中的應(yīng)用。-答案：在平面幾何中，向量平行可用于證明線線平行、求相似三角形等。比如通過(guò)向量平行關(guān)系確定對(duì)應(yīng)邊成比例。向量垂直可用于證明直角、計(jì)算三角形面積（利用垂直向量點(diǎn)積