北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題54 分式方程的應(yīng)用-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題5,4分式方程的應(yīng)用.重難點(diǎn)題型

【北師大版】

【知識(shí)點(diǎn)1工程問題】

工程問題，常設(shè)工程總量為單位“1”，然后利用公式：工作效率X工作時(shí)間=工作總量來(lái)列寫等量方程。

【題型1工程問題】

【例I】（2023?羅平縣二模）為了備戰(zhàn)體育中考，某學(xué)校新購(gòu)進(jìn)一批體育器材，需用九年級(jí)兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生

整理體育器材，已知一班單獨(dú)整理需要30分鐘完成，如果一班與二班共同整理15分鐘后，一班另有任

務(wù)需要離開，剩余工作由二班單獨(dú)整理15分鐘才完成，求二班單獨(dú)整理這批體育器材需要多少分鐘？

【變式1-1］（2023秋?黃浦區(qū)期中）一項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)合做共需4天完成，如果中隊(duì)單獨(dú)做共需6天完

成，那么由乙單獨(dú)一天能完成這件工程的（）

【變式1-2］（2023?浙江自主招生）某公司需在一個(gè)月（31天）內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程.如果由甲、

乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成：如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成.又已知請(qǐng)甲

工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用2000元；如果請(qǐng)乙隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用1400元.規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A.請(qǐng)

甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；B.請(qǐng)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程：C.請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程.以上三種

方案中花錢最少的方案為—;需付最少費(fèi)用元.

【變式1-3］（2023?洛江區(qū)模擬）市政府計(jì)劃對(duì)城區(qū)道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成.已知甲

3

隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)工作效率的三倍，甲隊(duì)改造360米的道路比乙隊(duì)改造同樣長(zhǎng)的道路少用4天.

（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天能改造道路的長(zhǎng)度分別是多少米？

（2）若甲隊(duì)工作一天需付費(fèi)用3萬(wàn)元，乙隊(duì)工作一?天需付費(fèi)用2.4萬(wàn)元，如需改造的道路全長(zhǎng)900米，

改造總費(fèi)用不超過(guò)63萬(wàn)元，至少安排甲隊(duì)工作多少天？

【知識(shí)點(diǎn)2行程問題】

行程問題需要注意是相遇問題還是追擊問題

相遇問題：（甲速度+乙速度）X時(shí)間二總路程

追擊問題：（快一慢）X時(shí)間二距離

【題型2行程問題】

【例2】（2023秋?昌平區(qū)期中）為慶祝建黨100周年，學(xué)校組織初二學(xué)生乘車前往距學(xué)校132千米的某革命

根據(jù)地參觀學(xué)習(xí).二班因事耽擱，比一班晚半小時(shí)出發(fā)，為了趕上一班，平均車速是一班平均車速的1.2

倍，結(jié)果和一班同時(shí)到達(dá).求一班的平均車速是多少千米/時(shí)？

【變式2-1］（2023?德州）為響應(yīng)“綠色出行”的號(hào)召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距

上班地點(diǎn)1以利，他乘公交車平均每小時(shí)行駛的路程比他自駕車平均每小時(shí)行駛的路程多1詼/〃.他從家

3

出發(fā)到上班地點(diǎn)，乘公交車所用的時(shí)間是自駕車所用時(shí)間的二.小王乘公交車上班平均每小時(shí)行駛（）

4

A.30kmB.36k"C.40kmD.46h〃

【變式2-21（2023秋?河南期末）一艘輪船在靜水中的最大航速為6（如皿,它以最大航速沿江順流航行240府

所用時(shí)間與以最大航速逆流航吁12必〃?所用時(shí)間相同，則江水的流速為km/h.

【變式2-3］（2023?峨山縣模擬）截至2021年，高速公路己經(jīng)貫通云南16個(gè)州市，云南省正全力推進(jìn)縣域

高速公路“能通全通”“互聯(lián)互通”工程建設(shè).已知甲、乙兩地之間的國(guó)道全長(zhǎng)為22（旭兒經(jīng)過(guò)改修高

速公路后，長(zhǎng)度減少了20km,高速公路通后，一輛長(zhǎng)途汽車的高速行駛速度比國(guó)道行駛速度提高了

45km/h,從甲地到乙地的行駛時(shí)間減少了一半.

（1）求該長(zhǎng)途汽車在國(guó)道上行駛的速度；

（2）若該高速公路規(guī)定長(zhǎng)途汽車限速80k用〃2,那么該長(zhǎng)途汽車從甲地到乙地是否超速？

【知識(shí)點(diǎn)3銷售問題】

銷售問題需要抓住的等量關(guān)系式為：

利潤(rùn):售價(jià)一進(jìn)價(jià)

利潤(rùn)率二二.

【題型3銷售問題】

【例3】某中學(xué)開學(xué)初在商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、8兩種品牌的足球，購(gòu)買A品牌足球花費(fèi)/2500元，購(gòu)買8品牌足

球花費(fèi)了2000元，且購(gòu)買A品牌足球數(shù)量是購(gòu)買8品牌足球數(shù)量的2倍，已知購(gòu)買一個(gè)B品牌足球比

購(gòu)買一個(gè)A品牌足球多花30元.

（1）求購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的足球各需多少元;

（2）該中學(xué)決定再次購(gòu)進(jìn)A、4兩種品牌足球共50個(gè)，恰逢商場(chǎng)對(duì)兩種品牌足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，A

品牌足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%,3品牌足球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9折出售，如果這所中學(xué)此

次購(gòu)買A、3兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)3060元，那么該中學(xué)此次最多可購(gòu)買多少個(gè)3品牌足球？

【變式3-1］（2023?綿陽(yáng)模擬）某店在開學(xué)初用880元購(gòu)進(jìn)若干個(gè)學(xué)生專用科學(xué)計(jì)算器，按每個(gè)50元出售，

很快就銷售一空，據(jù)了解學(xué)生還急需3倍這種計(jì)算器，于是又用2580元購(gòu)進(jìn)所需計(jì)算器，由于量大每個(gè)

進(jìn)價(jià)比上次優(yōu)惠1元，該店仍按每個(gè)50元銷售，最后剩下4個(gè)按九折賣出.這筆生意該店共盈利（）

元.

A.508B.520C.528D.560

【變式3-2］（2023?北暗區(qū)模擬）武漢某超市在疫情前用3000元購(gòu)進(jìn)某種干果銷售，發(fā)生疫情后，為了保障

附近居民的生活需求，又調(diào)撥9000元購(gòu)進(jìn)該種干果.受疫情影響，交通等成本上漲，第二次的進(jìn)價(jià)比第

?次進(jìn)價(jià)提高了20%,但是第二次購(gòu)進(jìn)干果的數(shù)量是第一次的2倍還多300千克，如果超市先按每千克

9元的價(jià)格出售，當(dāng)大部分干果售出后，最后的600千克按原售價(jià)的7折售完.售賣結(jié)束后，超市決定

將盈利的資金捐助給武漢市用于抗擊新冠肺炎疫情.那么該超市可以捐助元.

【變式3-3］（2023?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）某銷售商準(zhǔn)備采購(gòu)一批絲綢，經(jīng)過(guò)調(diào)查得知，用10000元采購(gòu)A型絲

綢的件數(shù)與用8000元采購(gòu)B型絲綢的件數(shù)相等，且一件4型絲綢的進(jìn)價(jià)比一件B型絲綢的進(jìn)價(jià)多100

元.

（1）一件人型、B型絲綢的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

（2）若銷華商購(gòu)進(jìn)A型、4型絲綢共50件，其中4型絲綢的件數(shù)不多于4型絲綢的件數(shù)，且不少于16

件，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型絲綢機(jī)件.

①求機(jī)的取值范圍；

②已知A型絲綢的售價(jià)為800元/件，8型絲綢的售價(jià)為600元/件，求銷售這批絲綢的最大利潤(rùn).

【知識(shí)點(diǎn)4方案問題】

方案問題首先按照一般應(yīng)用題的思路進(jìn)行求解。分別求解出幾種方案各自的情況，然后比較選出最優(yōu)方案。

【題型4方案問題】

【例4】（2023?淄川區(qū)二模）某社區(qū)購(gòu)買甲、乙兩種樹苗進(jìn)行綠化，已知用900元購(gòu)買甲種樹苗的棵數(shù)與用

600元購(gòu)買乙種樹苗的棵樹相同，乙種樹苗每棵比甲種樹苗每棵少10元.

（1）求甲種樹苗每棵多少錢？

（2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共I?？茫傎M(fèi)用不超過(guò)230元，求可能的購(gòu)買

方案？

【變式4-1］（2023?云巖區(qū)模擬）我區(qū)在一項(xiàng)工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，從投標(biāo)書中得

知有三種方案.

4方案：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完成；

B方案：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要的時(shí)間是規(guī)定時(shí)間的2倍；

c方案：**********,剩卜-的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完成.

已知，一個(gè)同學(xué)按照。方案，設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出方程：4（乙+；）+愛=1.

X2x2x

（1）根據(jù)所列方程，C方案中“東水*共百**”部分描述的已知條件應(yīng)該是：；

（2）從投標(biāo)書中得知，甲工程隊(duì)每施工一天所需費(fèi)用1.1萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每施工一天所需費(fèi)用0.5萬(wàn)元,

請(qǐng)你在如期完成的兩種方案中，判斷哪種方案更省錢，說(shuō)明理由.

【變式4-2］（2023嗦州二模）某商店準(zhǔn)備購(gòu)買4、3兩種商品，①購(gòu)買1個(gè)A商品比購(gòu)買1個(gè)8商品多

花10元，并且花費(fèi)300元購(gòu)買A商品和花費(fèi)100元購(gòu)買〃商品的數(shù)量相等.

（1）求購(gòu)買一個(gè)A商品和一個(gè)8商品各需要多少元；

在“①購(gòu)買1個(gè)A商品比購(gòu)買1個(gè)B商品多花10元”，“②A、8兩種商品各購(gòu)買1個(gè)共需20元”這

兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面的問題中，并解答問題.（注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.）

（2）商店準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種商品共80個(gè)，若4商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購(gòu)買A、B

兩種商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元，則該商店有哪幾種購(gòu)買方案？

【變式4-3］（2023?章丘區(qū)二模）某手機(jī)專賣店的一張進(jìn)貨單上有如下信息：A款手機(jī)進(jìn)貨單價(jià)比4款手機(jī)

多80（）元，花38400元購(gòu)進(jìn)4款手機(jī)的數(shù)量與花28800元購(gòu)進(jìn)B款手機(jī)的數(shù)最相同.

（1）求A,8兩款手機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少元？

（2）某周末兩天銷售單上的數(shù)據(jù)，如表所示：

日期A款手機(jī)（部）B款手機(jī)（部）銷售總額（元）

星期六5840100

星期日6741100

求A,8兩款手機(jī)的銷售單價(jià)分別是多少元？

（3）根據(jù)（1）（2）所給的信息，手機(jī)專賣店要花費(fèi)28000元購(gòu)進(jìn)A,B兩款手機(jī)若干部，問有哪幾種

進(jìn)貨方案？根據(jù)計(jì)算說(shuō)明哪種進(jìn)貨方案獲得的總利潤(rùn)最高.

專題5.4分式方程的應(yīng)用?重難點(diǎn)題型

【北師大版】

【知識(shí)點(diǎn)1工程問題】

工程問題，常設(shè)工程總量為單位“1”,然后利用公式：工作效率X工作時(shí)間二工作總量來(lái)

列寫等量方程。

【題型1工程問題】

【例1】（2023?羅平縣二模）為了備戰(zhàn)體育中考，某學(xué)校新購(gòu)進(jìn)一批體育器材，需用九年級(jí)

兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生整理體育器材，已知一班單獨(dú)整理需要30分鐘完成，如果一班與二班共

同整理15分鐘后，一班另有任務(wù)需要離開，剩余工作由二班單獨(dú)整理15分鐘才完成，

求一班單獨(dú)整理這批體育器材需要多少分鐘？

分析?：設(shè)二班單獨(dú)整理這批器材需要x分鐘，由題意：一班單獨(dú)整理需要30分鐘完成，

如果一班與二班共同整理15分鐘后，一班另有任務(wù)需要離開，剩余工作由二班單獨(dú)整理

15分鐘才完成，列出分式方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)二班單獨(dú)整理這批器材需要x分鐘.

依題意得：15（焉+1）+i5q=i,

解得：x=60,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=60是原分式方程的解，且符合題意.

答：二班單獨(dú)整理這批器材需要60分鐘.

【變式1-1］（2023秋?黃浦區(qū)期中）一項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)合做共需4天完成，如果甲隊(duì)單

獨(dú)做共需6天完成，那么由乙單獨(dú)一天能完成這件工程的（）

分析：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)做共需x天完成，根據(jù)甲、乙兩隊(duì)合做共需4天完成，即可得出關(guān)于x

的分式方程，解之經(jīng)檜驗(yàn)后即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)做共需X天完成，

11

依題意，得：4（-+-）=1,

6x

解得：x=12,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原方程的解，且符合題意，

，乙單獨(dú)一天能完成這件工程的古.

12

故選：D.

【變式1-2］（2023?浙江自主招生）某公司需在?個(gè)月（31天）內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工

程.如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙

隊(duì)少用10天完成.乂三知請(qǐng)甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用2000元；如果請(qǐng)乙隊(duì)施

工，公司每日需付費(fèi)用1400元.規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A.請(qǐng)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程：B.請(qǐng)乙隊(duì)

單獨(dú)完成此項(xiàng)工程：C請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程.以上三種方案中花錢最少的方

案為A;需付最少費(fèi)用40000元.

分析：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用（x-10）天.由

題意：由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成，列出分式方程，解方程，再求出三種方

案需要的費(fèi)用，即可求解.

【解答】解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用（X-10）

天.

依題意得：—+-----=1?

xx-10

解這個(gè)方程得川=4,.成=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，知#=4,工2=30都是原方程的解，

??"=4不合題意，

/?x=30?

則10=20,

即單獨(dú)完成此項(xiàng)工程甲隊(duì)需20天，乙隊(duì)需30天；

請(qǐng)中隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的費(fèi)用為：2（X）0X20=40000（元）,

請(qǐng)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程的費(fèi)用為：1400X30=42000（元），

請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程的費(fèi)用為：（2000+1400）X12=40800（元），

???40000V40800V42000,

???單獨(dú)請(qǐng)甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢最少，

故答案為：A;40000元.

【變式1-3］（2023?洛江區(qū)模擬）市政府計(jì)劃對(duì)城區(qū)道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程

隊(duì)完成.已知甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)工作效率的1倍，甲隊(duì)改造360米的道路比乙隊(duì)改造

同樣長(zhǎng)的道路少用4天.

（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天能改造道路的長(zhǎng)度分別是多少米？

（2）若甲隊(duì)工作一天需付費(fèi)用3萬(wàn)元，乙隊(duì)工作一天需付費(fèi)用2.4萬(wàn)元，如需改造的道

路全長(zhǎng)900米，改造總費(fèi)用不超過(guò)63萬(wàn)元，至少安排甲隊(duì)工作多少天？

分析：（I）設(shè)乙工程隊(duì)每天能改造道路x米，則甲工程隊(duì)每天能改造道路|汗米，根據(jù)工

作時(shí)間=總工作量+工作效率結(jié)合甲隊(duì)改造360米的道路比乙隊(duì)改造同樣長(zhǎng)的道路少用

4天，列出分式方程，解方程即可：

（2）設(shè)安排甲隊(duì)工作〃？天，則安排乙隊(duì)工作90°：：，天,根據(jù)總費(fèi)用=每天支付給甲

JU

隊(duì)的費(fèi)用X甲隊(duì)工作時(shí)間+每天支付給乙隊(duì)的費(fèi)用X乙隊(duì)工作時(shí)間結(jié)合改造總費(fèi)用不超

過(guò)63萬(wàn)元，列出一元一次不等式，解之取其最小值即可.

3

【解答】解；（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能改造道路A?米，則甲工程隊(duì)每天能改造道路米，

依題意，得：出一攀二4,

*產(chǎn)

解得：x=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是分式方程的解，且符合題意，

3

；?r=45.

2

答：甲工程隊(duì)每天能改造道路45米，乙工程隊(duì)每天能改造道路30米.

900—45m

（2）設(shè)安排甲隊(duì)工作小天，則安排乙隊(duì)工作--—天,

30

依題意，得：3w+2.4x900^5yn<63,

解得：〃?215,

答：至少安排甲隊(duì)工作15天.

［【知識(shí)點(diǎn)2行程問題】

行程問題需要注意是相遇問題還是追擊問題

相遇問題：（甲速度+乙速度）x時(shí)間=總路程

追擊問題：（快一慢）X時(shí)間二距離

【題型2行程問題】

［例2］（2023秋?昌平區(qū)期中）為慶祝建黨100周年，學(xué)校組織初二學(xué)生乘車前往距學(xué)校

132千米的某革命根據(jù)地參觀學(xué)習(xí).二班因事耽擱，比一班晚半小時(shí)出發(fā)，為了趕上一班,

平均車速是一班平均車速的L2倍，結(jié)果和一班同時(shí)到達(dá).求一班的平均車速是多少千米

/時(shí)？

分析：設(shè)一班的平均車速是X千米/時(shí)，則二班的平均車速是1.女千米/時(shí)，利用時(shí)間=路

程+速度，結(jié)合二班比一班少用半小時(shí)，即可得出關(guān)于K的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即

可得出一班的平均車速.

【解答】解：設(shè)一班的平均車速是x千米/時(shí)，則二班的平均車速是12丫千米/時(shí)，

解得：x=44,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=44是原方程的解，且符合題意.

答：一班的平均車速是44千米/時(shí).

【變式2-1](2023?德州)為響應(yīng)“綠色出行:"的號(hào)召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已

知小王家距上班地點(diǎn)I弘m,他乘公交車平均每小時(shí)行駛的路程比他自駕車平均每小時(shí)行

駛的路程多10切?.他從家出發(fā)到上班地點(diǎn)，乘公交車所用的時(shí)間是自駕車所用時(shí)間的

;小千乘公交車卜班平均每小時(shí)行駛()

A.30kmB.36切?C.40制?D.46km

分析：設(shè)小王用自駕車方式上班平均每小時(shí)行駛文切?，則乘公交車平均每小時(shí)行駛G+10)

3

km,由題意：小王家距上班地點(diǎn)18如?，乘公交車所用的時(shí)間是自駕車所用時(shí)間的列

4

出分式方程，解方程跳可.

【解答】解：設(shè)小王用自駕車方式上班平均每小時(shí)行駛口〃?，則乘公交車平均每小時(shí)行

駛(x+10)km,

解得：x=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解，

則x+10=40,

即小王乘公交車上班平均每小時(shí)行駛4(場(chǎng)〃，

故選：C.

【變式2-2](2023秋?河南期末)一艘輪船在靜水中的最大航速為605W?,它以最大航速沿

江順流航行240km所用時(shí)間與以最大航速逆流航行120酎〃所用時(shí)間相同，則江水的流速

20km/h.

分析：直接利用順?biāo)?靜水速+水速，逆水速=靜水速■水速，進(jìn)而得出等式求出答案.

【解答】解：設(shè)江水的流速為〃小，根據(jù)題意可得：

240120

60+x60-X*

解得：x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)得：x=20是原方程的根，

答：江水的流速為20h〃小.

故答案為：20.

【變式2-3］（2023?峨山縣模擬）截至2021年，高速公路已經(jīng)貫通云南16個(gè)州市，云南省

正全力推進(jìn)縣域高速公路“能通全通”“互聯(lián)互通”工程建設(shè).已知甲、乙兩地之間的

國(guó)道全長(zhǎng)為220公〃，經(jīng)過(guò)改修高速公路后，長(zhǎng)度減少了20切?，高速公路通后，一輛長(zhǎng)途

汽車的高速行駛速度比國(guó)道行駛速度提高了45km/h,從甲地到乙地的行駛時(shí)間減少了一

半.

（1）求該長(zhǎng)途汽車在國(guó)道上行駛的速度；

（2）若該高速公路規(guī)定長(zhǎng)途汽車限速80S湖，那么該長(zhǎng)途汽車從甲地到乙地是否超速？

分析：（1）設(shè)該長(zhǎng)途汽車在國(guó)道上行駛的速度為由題意：甲、乙兩地之間的國(guó)

道全長(zhǎng)為220公〃，經(jīng)過(guò)改修高速公路后，長(zhǎng)度減少了20加?，高速公路通后，一輛長(zhǎng)途汽

車的高速行駛速度比國(guó)道行駛速度提高了45kmh從甲地到乙地的行駛時(shí)間減少了一

半.列出分式方程，解方程即可；

（2）由55+45=100>80,即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)該長(zhǎng)途汽車在國(guó)道上行駛的速度為以切〃?，

解得：x=55,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=55是原分式方程的解，

答：該長(zhǎng)途汽車在國(guó)道上行駛的速度為55包

（2）???55+45=100>80,

???該長(zhǎng)途汽車從甲地到乙地超速.

【知識(shí)點(diǎn)3銷售問題】

銷售問題需要抓住的等量關(guān)系式為：

利澗二售價(jià)一進(jìn)價(jià)

拿”?一三斤

利潤(rùn)率=三?…

【題型3銷售問題】

【例3】某中學(xué)開學(xué)初在商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、8兩種品牌的足球，購(gòu)買A品牌足球花費(fèi)了250。元,

購(gòu)買B品牌足球花費(fèi)了2000元，且購(gòu)買A品牌足球數(shù)量是購(gòu)買B品牌足球數(shù)量的2倍,

已知購(gòu)買一個(gè)B品牌足球比購(gòu)買一個(gè)A品牌足球多花30元.

（1）求購(gòu)買一個(gè)A品牌、一個(gè)B品牌的足球各需多少元；

（2）該中學(xué)決定再次購(gòu)進(jìn)A、8兩種品牌足球共5。個(gè)，恰逢商場(chǎng)對(duì)兩種品牌足球的售價(jià)

進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%,6品牌足球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)

的9折出售，如果這所中學(xué)此次購(gòu)買人8兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)3060元，那么

該中學(xué)此次最多可購(gòu)買多少個(gè)B品牌足球？

分析：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)A品牌的足球需要x元，則購(gòu)買一個(gè)B品牌的足球需要（A-+30）

元，由題意：購(gòu)買A品牌足球花費(fèi)了250（）元，購(gòu)買B品牌足球花費(fèi)了2000元，旦購(gòu)買

A品牌足球數(shù)量是購(gòu)買8品牌足球數(shù)量的2倍，列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)該中學(xué)此次可以購(gòu)買，〃個(gè)8品牌足球，則可以購(gòu)買（50-m）個(gè)A品牌足球，由

題意：A品牌足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高了8%,8品牌足球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9

折出售，如果這所中學(xué)此次購(gòu)買A、B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)3060元，列出不等

式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可.

【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買一個(gè)A品牌的足球需要x元，則購(gòu)買一個(gè)B品牌的足球需要G+30）

元,

〃?助苔俎250°r-2000

依題忘得：一以——2xx+30，

解得：x=50,

經(jīng)檢驗(yàn)，工=50是原方程的解，且符合題意,

/?x+30=80.

答：購(gòu)買一個(gè)A品牌的足球需要50元，購(gòu)買一個(gè)8品牌的足球需要80元.

（2）設(shè)該中學(xué)此次可以購(gòu)買6個(gè)8品牌足球，則可以購(gòu)買（50-〃?）個(gè)A品牌足球，

依題意得：50X（1+8%）（50-〃?）+80X0.9〃W3060,

解得：〃W20.

答：該中學(xué)此次最多可購(gòu)買20個(gè)3品牌足球.

【變式3-1］（2023?綿陽(yáng)模擬）某店在開學(xué)初用880元購(gòu)進(jìn)若干個(gè)學(xué)生專用科學(xué)計(jì)算器，按

每個(gè)50元出售，很快就銷售一空，據(jù)了解學(xué)生還急需3倍這種計(jì)算器，于是又用2580

元購(gòu)進(jìn)所需計(jì)算器，由于量大每個(gè)進(jìn)價(jià)比上次優(yōu)惠1元，該店仍按每個(gè)50元俏售，最后

剩下4個(gè)按九折賣出.這筆生意該店共盈利（）元.

A.508B.520C.528D.560

分析：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)計(jì)算器％個(gè)，則第二次購(gòu)進(jìn)計(jì)算器3x個(gè)，根據(jù)每個(gè)進(jìn)價(jià)比上次優(yōu)惠

1元，求出購(gòu)進(jìn)計(jì)算器的個(gè)數(shù)，再根據(jù)總售價(jià)-成本=利潤(rùn)，即可得出答案.

【解答】解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)計(jì)算器x個(gè)，則第二次購(gòu)進(jìn)計(jì)算器力個(gè)，根據(jù)題意得：

8802580

---=-----+1,

x3x

解得：x=2（）,

經(jīng)檢驗(yàn)戈=20是原方程的解，

則這筆生意該店共盈利:[50X(20+60-4)+4X50X90%]-(880+2580)=520(元)；

故選:B.

【變式3-2]（2023?北需區(qū)模擬）武漢某超市在疫情前用3000元購(gòu)進(jìn)某種干果銷售，發(fā)生疫

情后，為了保障附近居民的生活需求，又調(diào)撥9000元購(gòu)進(jìn)該種干果.受疫情影響，交通

等成本上漲，第二次的進(jìn)價(jià)比第?次進(jìn)價(jià)提高了20%,但是第二次購(gòu)進(jìn)干果的數(shù)量是第

一次的2倍還多300千克，如果超市先按每千克9元的價(jià)格出售，當(dāng)大部分干果售出后,

最后的600千克按原售價(jià)的7折售完.售賣結(jié)束后，超市決定將盈利的資金捐助給武漢

市用于抗擊新冠肺炎疫情.那么該超市.可以捐助5280元.

分析：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)干果的單價(jià)為工元/千克，則第二次購(gòu)進(jìn)干果的單價(jià)為1?21元/千克，

根據(jù)數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)結(jié)合第二次購(gòu)進(jìn)干果數(shù)量比第一次的2倍還多300千克，即可得

出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出工的值，進(jìn)而即可求出第一、二次購(gòu)進(jìn)干果的數(shù)量,

再利用利潤(rùn)=銷售收入-成本即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)干果的單價(jià)為x元/千克，則第二次購(gòu)進(jìn)干果的單價(jià)為121元

/千克,

3000,9000

根據(jù)題意得：2x+30°=T27,

X

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，彳=5是原方程的解,

30003000

則-------=---------=600?

x5

90009000

-------=----------=1500,

1.2%1.2X5

1500X9+600X9X0.7-3000-9000=5280(元).

答：該超市可以捐助5280元.

故答案為:5280.

【變式3-3]（2023?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）某銷售商準(zhǔn)備采購(gòu)-?批絲綢，經(jīng)過(guò)調(diào)查得知，用10000

元采購(gòu)A型絲綢的件數(shù)與用8000元采購(gòu)B型絲綢的件數(shù)相等，且一件A型絲綢的進(jìn)價(jià)

比一件B型絲綢的進(jìn)價(jià)多100元.

（1）一件八型、8型絲綢的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

（2）若銷售商購(gòu)進(jìn)A型、8型絲綢共50件，其中A型絲綢的件數(shù)不多于8型絲綢的件

數(shù)，且不少于16件，設(shè)購(gòu)進(jìn)人型絲綢〃?件.

①求，〃的取值范圍；

②已知A型絲綢的售價(jià)為800元/件，8型絲綢的售價(jià)為600元/件，求銷售這批絲綢的最

大利潤(rùn).

分析：（1）設(shè)一件8型絲綢的進(jìn)價(jià)為x元，則一件,4型絲綢的進(jìn)價(jià)為（x+100）元，由

題意：用10000元采購(gòu)A型絲綢的件數(shù)與用8000元采購(gòu)6型絲綢的件數(shù)相等，列出分式

方程，解方程即可;

（2）①由題意：銷售商購(gòu)進(jìn)A型、4型絲綢共50件，其中A型絲綢的件數(shù)不多于4型

絲綢的件數(shù)，且不少于16件，列出不等式組，即可求解;

②設(shè)銷售這批絲綢的利潤(rùn)為），元，求出銷售這批絲綢的利潤(rùn)），（元）與m（件）的函數(shù)關(guān)

系式，再由?次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：（I）設(shè)一件8型絲綢的進(jìn)價(jià)為x元，則一件人型絲綢的進(jìn)價(jià)為（x+100）

元,

100008000

根據(jù)題意得：.=—

解得：x=400,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=400為原方程的解,

.\x+100=500,

答：一件4型絲綢的逆價(jià)為500元，一件8型絲綢的進(jìn)價(jià)為400元.

（2）①根據(jù)題意得：｛血手??一血，

解得：l6WmW25,

???〃？的取值范圍為：16W〃iW25且，〃為整數(shù).

②設(shè)銷售這批絲綢的利潤(rùn)為y元，

根據(jù)題意得：y=（80C-500）m+（600-4（30）?（50-w）=100/〃+1000（）,

V100>0,

???），隨機(jī)的增大而增大，

???當(dāng)加=25時(shí)，>最大=12500（元），

答：銷售這批絲綢的最大利潤(rùn)為12500元.

【知識(shí)點(diǎn)4方案問題】

方案問題首先按照一般應(yīng)用題的思路進(jìn)行求解。分別求解出幾種方案各自的情況，然后比較

選出最優(yōu)方案。

【題型4方案問題】

【例4】（2023?淄川區(qū)二模）某社區(qū)購(gòu)買甲、乙兩種樹苗進(jìn)行綠化，已知用900元購(gòu)買甲種

樹苗的棵數(shù)與用600元購(gòu)買乙種樹苗的棵樹相同，乙種樹苗每棵比甲種樹苗每棵少1。元.

（1）求甲種樹苗每棵多少錢？

（2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共10棵，總費(fèi)用不超過(guò)230元,

求可能的購(gòu)買方案？

分析：⑴設(shè)甲種樹苗每棵x元，則乙種樹苗每棵（X-10）元，根據(jù)“用900元購(gòu)買

甲種樹苗的棵數(shù)與用600元購(gòu)買乙種樹苗的棵樹相同”列出方程并解答：

（2）設(shè)再購(gòu)買甲種樹由用棵，則購(gòu)買乙種樹苗（1（）-/?）棵，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，

結(jié)合總費(fèi)用不超過(guò)230元，即可得出關(guān)于小的一元一次不等式，解之即可得出川的取值

范圍，再結(jié)合〃，為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案.

【解答】解：（1）設(shè)甲種樹苗每棵x元，則乙種樹苗每棵（.1-10）元，

900_600

依題意得:

X-X-10

解得：.1=30,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原方程的根，且符合題意；

答：甲種樹苗每棵30元;

（2）設(shè)再次購(gòu)買甲種樹苗，〃棵，則購(gòu)買乙種樹苗（10-〃?）棵,

依題意得:3O/7/+2O（10-w）<230,

解得：〃?<3.

又???〃?為非負(fù)整數(shù)，

???〃?可以為0,1,2,3,

???共有4種購(gòu)買方案，

方案I：購(gòu)買1（）棵乙種樹苗；

方案2：購(gòu)買1棵甲種樹苗，9棵乙種樹苗；

方案3：購(gòu)買2棵甲種樹苗，8棵乙種樹苗：

方案4：購(gòu)買3棵甲種樹苗，7棵乙種樹苗.

【變式4-1］（2023?云巖區(qū)模擬）我區(qū)在一項(xiàng)工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，

從投標(biāo)書中得知有三種方案.

A方案：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完成：

B方案：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要的時(shí)間是規(guī)定時(shí)間的2倍；

。方案：**********,剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完成.

已知，一個(gè)同學(xué)按照C方案，設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出方程：4（三+:）

X2X

+2x-L

（I）根據(jù)所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知條件應(yīng)該是：甲、乙兩

隊(duì)合作4天：

（2）從投標(biāo)書中得知，甲工程隊(duì)每施工一?天所需費(fèi)月11萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每施工一天所

需費(fèi)用0.5萬(wàn)元，請(qǐng)你在如期完成的兩種方案中，判斷哪種方案更省錢，說(shuō)明理由.

分析：（1）設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意得出的方程為：4（工+=）+受=1，可

x2x2工

知方案C中“星號(hào)”部分為：若甲、乙兩隊(duì)合作4天；

（2）根據(jù)題意先求得規(guī)定的天數(shù)，然后算出A、C兩方案的價(jià)錢之后，再根據(jù)題意選擇

節(jié)省工程款的方案.

【解答】解:：（1）根據(jù)題意及所列的方程可知被損毀的部分為：甲、乙兩隊(duì)合作4天;

故答案為：甲、乙兩隊(duì)合作4天；

（2）解：解方程4（［+=）+與9=1，得：K=8,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=8是原分式方程的解，

所以規(guī)定的工期為8天.

如期完成的兩種施工方案需要的費(fèi)用分別為：

A方案：1.1X8=8.8（萬(wàn)兀）；

。方案：4X1.1+8X0.5=84（萬(wàn)元），

V8.8>8.4,

???c方案更省錢.

【變式4-2］（2023?泰州二模）某商店準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種商品，①購(gòu)買1個(gè)A商品比購(gòu)

買1個(gè)8商品多花10元，并且花費(fèi)300元購(gòu)買4商品和花費(fèi)100元購(gòu)買B商品的數(shù)

量相等.

（1）求購(gòu)買一個(gè)A商品和一個(gè)B商品各需要多少元；

在“①購(gòu)買1個(gè)A商品比購(gòu)買1個(gè)3商品多花10元”，“②A、8兩種商品各購(gòu)買1個(gè)

共需20元”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面的問題中，并解答問題.（注：如果選

擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）

（2）商店準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種商品共80個(gè)，若A商品的數(shù)量不少于8商品數(shù)量的4倍，

并且購(gòu)買A、3兩種商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于105（）元，則該商店有哪幾種購(gòu)

買方案？

分析：（1）選①，設(shè)購(gòu)買一個(gè)8商品需要x元，則購(gòu)買1個(gè)A商品需要（x+10）元，根

據(jù)題意列出分式方程，解方程，檢驗(yàn)后即可求出答案；

（2）設(shè)購(gòu)買B商品機(jī)個(gè)，則購(gòu)買4商品（80-〃。個(gè)，根據(jù)題意得出一元一次不等式組，

求出〃?的取值范圍，由〃?為整數(shù)，即可求出購(gòu)買方案.

【解答】解:（1）選①，設(shè)購(gòu)買一個(gè)8商品需要x元，則購(gòu)買1個(gè)A商品需要（A+10）

元，

300_100

根據(jù)題意得:

X+10-X'

解得：4=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的解，且符合題意，

/.x+10=15（元），

答：A商品每個(gè)15元，B商品每個(gè)5元;

選②，設(shè)購(gòu)買一個(gè)8商品需要x元，則購(gòu)買1個(gè)A商品需要（20-x）元,

300100

根據(jù)題意得:

20-Xx

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的解，且符合題意，