56　第七章　第4課時(shí)　空間直線、平面的平行

第4課時(shí)空間直線、平面的平行[考試要求]從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明．1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b[常用結(jié)論]1．平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.2．與平行關(guān)系有關(guān)的性質(zhì)(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長度相等．(2)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．(3)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線．(×)(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(×)(3)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(4)若直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊P142練習(xí)T2改編)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD[若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，排除A．若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，排除B．若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，排除C．故選D.]2．(人教A版必修第二冊P139練習(xí)T3改編)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，則a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，則a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD[A錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交．故選D.]3．(人教A版必修第二冊P170復(fù)習(xí)參考題8T7改編)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________.平行四邊形[因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．]4．(人教A版必修第二冊P134例1改編)如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件______時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD[(1)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為菱形，所以EF＝EH.因?yàn)镋F∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，所以AC＝BD.(2)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH.因?yàn)镋F∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.]考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定[典例1]如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PCE.證明：法一(應(yīng)用線面平行的判定定理)：如圖，設(shè)M為PC的中點(diǎn)，連接EM，MF.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以AE∥CD，且AE＝eq\f(1,2)CD.又因?yàn)镸F∥CD，且MF＝eq\f(1,2)CD，所以AE綉FM，所以四邊形AEMF是平行四邊形，所以AF∥EM.又因?yàn)锳F?平面PCE，EM?平面PCE，所以AF∥平面PCE.法二(應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理)：如圖，設(shè)G為CD的中點(diǎn)，連接FG，AG.因?yàn)镕，G分別為PD，CD的中點(diǎn)，所以FG∥PC．又E為AB的中點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，所以AE綉GC，所以四邊形AECG為平行四邊形，AG∥EC．又FG?平面PCE，AG?平面PCE，PC?平面PCE，EC?平面PCE，所以FG∥平面PCE，AG∥平面PCE.又FG，AG?平面AFG，F(xiàn)G∩AG＝G，所以平面AFG∥平面PCE.又AF?平面AFG，所以AF∥平面PCE.線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例2](2025·威海模擬)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.證明：FG∥平面AA1B1B．證明：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．提醒：應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：(1)證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE.又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)[典例3]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.又因?yàn)锽1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)樵凇鰽BC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC．因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因?yàn)锳1G綉EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB．因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因?yàn)锳1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.[拓展變式]1．在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解：如圖，連接A1B，AB1交于點(diǎn)O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.又易知eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.2．在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM.因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綉B(tài)D，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1.又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定義．(2)利用面面平行的判定定理．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”．(4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，證明：B1D1∥l.證明：(1)由題設(shè)知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因?yàn)锳1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C．又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD.由(1)知四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[典例4](2025·臨沂模擬)如圖，在正三棱臺ABC-A1B1C1中，BC＝3B1C1，TB＝2TC，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1的中點(diǎn)，M為AC上一點(diǎn)．(1)若M是AC的中點(diǎn)，求證：ME∥平面AB1C1；(2)若AB1∥平面TMF，求點(diǎn)M的位置，并說明理由．解：(1)證明：如圖，取AB的中點(diǎn)N，連接MN，NE，在正三棱臺ABC-A1B1C1中，M是AC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，可得MN∥BC．又BC∥B1C1，所以MN∥B1C1.因?yàn)镸N?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以MN∥平面AB1C1.又N，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，所以NE∥AB1.又NE?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以NE∥平面AB1C1.又MN∩NE＝N，MN?平面MNE，NE?平面MNE，所以平面MNE∥平面AB1C1.又ME?平面MNE，所以ME∥平面AB1C1.(2)在等腰梯形BCC1B1中，BC＝3B1C1，TB＝2TC，所以FT∥B1B．又B1B?平面TMF，F(xiàn)T?平面TMF，故B1B∥平面TMF.又AB1∥平面TMF，AB1∩B1B＝B1，B1B?平面AB1B，AB1?平面AB1B，所以平面AB1B∥平面TMF.因?yàn)槠矫鍭B1B∩平面ABC＝AB，平面TMF∩平面ABC＝MT，所以AB∥MT.在△ABC中，TB＝2TC，所以MA＝2MC，即M在AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)處．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化提醒：解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再證明．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAD.(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：如圖，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB，又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四邊形DCEH為平行四邊形，所以CE∥DH，又DH?平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD.(2)存在點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，使平面PAD∥平面CEF.證明如下：如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，則AF＝eq\f(1,2)AB，因?yàn)镃D＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD，又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CF∥AD.又AD?平面PAD，CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD.由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，CE，CF?平面CEF，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中點(diǎn)F滿足要求．課時(shí)分層作業(yè)(四十四)(本試卷共77分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．(2025·青島模擬)已知直線a，b和平面α，a?α，b?α，則“a∥α”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[根據(jù)線面平行的判定定理可得，若a∥b，則a∥α，即必要性成立，若a∥α，則a∥b不一定成立，故充分性不成立．所以“a∥α”是“a∥b”的必要不充分條件．故選B．]2．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點(diǎn)，則必有()A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1D[由中位線定理可知GH∥D1C，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，A錯(cuò)誤；由中位線定理可知EF∥A1B，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD，EF不可能互相平行，B錯(cuò)誤；由中位線定理可知EF∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，故平面EFGH與平面ABCD相交，C錯(cuò)誤；由三角形中位線定理可知EF∥A1B，EH∥A1D1，且EF，EH?平面A1BCD1，A1B，A1D1?平面A1BCD1，所以EF∥平面A1BCD1，EH∥平面A1BCD1，而EF∩EH＝E，EF，EH?平面EFGH，因此平面EFGH∥平面A1BCD1.故選D.]3．如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，eq\f(PF,FC)＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)D[連接AC交BE于點(diǎn)G，連接FG，因?yàn)镻A∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E為AD的中點(diǎn)，所以△AEG∽△CBG，即eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).]4．已知平面α∥平面β，P?α，P?β，過點(diǎn)P的兩直線分別交α，β于A，B和C，D四點(diǎn)，A，C∈α，B，D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，則AC的長為()A．10或18 B．9C．9或18 D．6C[①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BA延長線上，即點(diǎn)P在平面α的上方時(shí)，因?yàn)棣痢桅?，平面PAC∩α＝AC，平面PBD∩β＝BD，所以AC∥BD，所以eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD).因?yàn)镻A＝6，AB＝2，BD＝12，所以eq\f(6,8)＝eq\f(AC,12)，解得AC＝9.②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB延長線上，即點(diǎn)P在平面β的上方時(shí)，類比①中的證明方法，可得eq\f(PB,PA)＝eq\f(BD,AC)，因?yàn)镻A＝6，AB＝2，BD＝12，所以eq\f(4,6)＝eq\f(12,AC)，解得AC＝18.綜上可得，AC的長為9或18.故選C．]5．(2025·昆明期中)如圖是一個(gè)棱長為3的正四面體形狀的木塊，點(diǎn)P是△ABC的重心，過點(diǎn)P將木塊鋸開，并使得截面平行于AD和BC，則截面的面積為()A．1 B．2C．3 D．4B[由題意可知，點(diǎn)P是△ABC的重心，如圖，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，作FG∥AD交CD于點(diǎn)G，設(shè)平面EFG與BD交于點(diǎn)H.因?yàn)镋F∥BC，BC?平面EFG，EF?平面EFG，所以BC∥平面EFG.因?yàn)镕G∥AD，AD?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，所以AD∥平面EFG，即四邊形EFGH即為截面．由于BC∥平面EFG，平面EFG∩平面BCD＝HG，BC?平面BCD，所以BC∥HG，故HG∥EF.同理EH∥AD，所以FG∥EH，故四邊形EFGH為平行四邊形．設(shè)M為BC的中點(diǎn)，連接AM，DM，則AM⊥BC，DM⊥BC，AM∩DM＝M，AM，DM?平面ADM，故BC⊥平面ADM，AD?平面ADM，故BC⊥AD，而EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，故EF⊥FG，即平行四邊形EFGH為矩形．因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC的重心，所以AP＝eq\f(2,3)AM，AF＝eq\f(2,3)AC，故EF＝eq\f(2,3)BC＝2，F(xiàn)G＝eq\f(1,3)AD＝1，故矩形EFGH的面積為EF×FG＝2，即截面的面積為2.故選B．]二、多項(xiàng)選擇題6．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中，下列判斷錯(cuò)誤的是()A．平面BME∥平面CANB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE與AN相交BCD[依題意，標(biāo)出各點(diǎn)位置如圖所示．A選項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知EM∥AC，由于EM?平面CAN，AC?平面CAN，所以EM∥平面CAN.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知BM∥AN，同理可證得BM∥平面CAN.由于EM，BM?平面BME，EM∩BM＝M，所以平面BME∥平面CAN，A選項(xiàng)正確．B選項(xiàng)，根據(jù)異面直線的知識及上圖可知AF與CN異面，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．C選項(xiàng)，平面EFD即平面EFCD，由圖可知，BM與平面EFCD相交，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，根據(jù)異面直線的知識及上圖可知BE與AN異面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BCD.]7．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知點(diǎn)G，H分別在A1B1，A1C1上，且GH經(jīng)過△A1B1C1的重心，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，且B，C，G，H四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是()A．EF∥GHB．GH∥平面A1EFC．eq\f(GH,EF)＝eq\f(4,3)D．平面A1EF∥平面BCC1B1ABC[因?yàn)槠矫鍭1B1C1∥平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG＝HG，平面ABC∩平面BCHG＝BC，所以HG∥BC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，所以EF∥GH，A正確；由選項(xiàng)A可知EF∥GH，因?yàn)镚H?平面A1EF，EF?平面A1EF，所以GH∥平面A1EF，B正確；因?yàn)镠G∥BC，B1C1∥BC，所以HG∥B1C1，因?yàn)镚H經(jīng)過△A1B1C1的重心，所以eq\f(GH,B1C1)＝eq\f(2,3)，因?yàn)锽1C1＝BC，所以eq\f(GH,BC)＝eq\f(2,3)，因?yàn)閑q\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(GH,EF)＝eq\f(4,3)，C正確；因?yàn)镕C＝eq\f(1,2)AC，AC＝A1C1，所以FC＝eq\f(1,2)A1C1，因?yàn)镕C∥A1C1，所以四邊形A1FCC1為梯形，且A1F與CC1為腰，所以A1F與CC1必相交，因?yàn)锳1F?平面A1EF，CC1?平面BCC1B1，所以平面A1EF與平面BCC1B1相交，D錯(cuò)誤．故選ABC．]三、填空題8．設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且__________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________.(填序號)①或③[由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；通過畫圖(圖略)知②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以n∥m，③正確．]9．(2025·泰安模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1cm，過AC作平行于對角線BD1的截面，則截面面積為______cm2；其周長為______cm.eq\f(\r(6),4)(eq\r(2)＋eq\r(5))[如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC∩BD＝F，則F為BD的中點(diǎn)，過AC平行于對角線BD1的截面交DD1于E，即平面BDD1∩平面ACE＝EF.由BD1∥平面ACE，BD1?平面BDD1，得EF∥BD1，則E為DD1的中點(diǎn)，于是EF＝eq\f(1,2)BD1＝eq\f(1,2)eq\r(DD\o\al(2,1)＋BD2)＝eq\f(1,2)eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\f(\r(3),2)，而AC＝eq\r(2)，所以截面面積S△ACE＝eq\f(1,2)AC·EF＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)(cm2)．又AE＝CE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，所以截面周長l＝AC＋AE＋EC＝(eq\r(2)＋eq\r(5))(cm)．]四、解答題10．(15分)(2025·茂名期中)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長AB＝2，M為DD1的中點(diǎn)．(1)求三棱錐D-AMC的體積．(2)求證：BD1∥平面AMC．(3)若E為線段BD1上的動點(diǎn)，則線段CC1上是否存在點(diǎn)N，使EN∥平面AMC？說明理由．解：(1)因?yàn)閂三棱錐D-AMC＝V三棱錐M-ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3)，所以三棱錐D-AMC的體積為eq\f(2,3).(2)證明：如圖，連接DB，設(shè)DB∩AC＝O，連接MO，因?yàn)镸，O分別是DD1和DB的中點(diǎn)，所以BD1∥MO.MO?平面AMC，BD1?平面AMC．所以BD1∥平面AMC．(3)存在點(diǎn)N為CC1的中點(diǎn)時(shí)，使EN∥平面AMC．理由如下：如圖，因?yàn)镈1M＝NC，且D1M∥NC，所以四邊形CND1M是平行四邊形，所以D1N∥MC．MC?平面AMC，D1N?平面AMC，所以D1N∥平面AMC，又BD1∥平面AMC，且BD1∩D1N＝D1，BD1，D1N?平面BND1，所以平面BND1∥平面AMC．若E∈BD1，則EN?平面BND1，所以EN∥平面AMC．所以線段CC1上存在中點(diǎn)N，使EN∥平面AMC．11．(15分)如圖是一個(gè)正三棱臺木塊ABC-A1B1C1，已知2AC＝3A1C1＝6，AA1＝2，點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)且為△ABC的重心．(1)過點(diǎn)O將木塊鋸開，使截面經(jīng)過A1C1且平行于直線AC，在木塊表面應(yīng)該怎樣畫線？說明理由．(2)求該三棱臺木塊被問題(1)中的截面分成的兩個(gè)幾何體的體積之比．(3)在棱臺的底面A1B1C1上(包括邊界)是否存在點(diǎn)M，使得直線OM∥平面ACC1A1？若存在，求出OM長度的取值范圍；若不存在，說明理由．解：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)O作直線DE∥AC交BA于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接DA1，EC1，則DE，DA1，EC1為截面與各木塊表面的交線．理由如下：由于DE∥AC∥A1C1，故D，E，A1，C1四點(diǎn)共面，又DE∥AC，DE?平面A1C1ED，AC?平面A1C1ED，所以AC∥平面A1C1ED，且平面BCC1B1∩平面A1C1ED＝C1E，平面ABB1A1∩平面A1C1ED＝A1D，平面ABC∩平面A1C1ED＝DE，則DE，DA1，EC1為截面與各木塊表面的交線．(2)由于點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)且為