41　第五章　第1課時(shí)　平面向量的概念及線性運(yùn)算

第五章平面向量、復(fù)數(shù)第1課時(shí)平面向量的概念及線性運(yùn)算[考試要求]

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．鏈接教材·夯基固本1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有______的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度(或稱___)．(2)零向量：長(zhǎng)度為_(kāi)__的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于__________長(zhǎng)度的向量．方向模01個(gè)單位(4)平行向量(共線向量)：方向______或______的非零向量．規(guī)定：零向量與任意向量______.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向______的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向______的向量．相同相反平行相同相反2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法幾何意義a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λ

a|＝|λ||a|；當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向______；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向______；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μ

a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb提醒：λ，μ為實(shí)數(shù)．相同相反3．向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使______.提醒：當(dāng)a≠0時(shí)，定理中的實(shí)數(shù)λ才唯一．b＝λa[常用結(jié)論]一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無(wú)關(guān)．(

)(2)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反．(

)(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(

)√×××√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊(cè)P10練習(xí)T4改編)下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是(

)A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形√3．(人教A版必修第二冊(cè)P16例8改編)設(shè)向量a，b不共線，向量λa＋b與a＋2b共線，則實(shí)數(shù)λ＝________.4．(人教A版必修第二冊(cè)P23習(xí)題6.2T10(1)改編)若a，b滿足|a|＝3，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______.8

2

[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a，b同向時(shí)取等號(hào)，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時(shí)取等號(hào)，所以|a＋b|min＝2.]典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一平面向量的概念[典例1](1)(2025·菏澤模擬)下列說(shuō)法正確的是(

)A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>b√√(2)(多選)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)√√(1)C

(2)ABC

[(1)對(duì)于A，單位向量的模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若a，b同向共線，則|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b反向共線，則|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及三角形中兩邊之和大于第三邊，知|a＋b|<|a|＋|b|，所以對(duì)于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤．故選C．

向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的．(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量不可以比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．提醒：注意零向量在概念辨析問(wèn)題的特殊性．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√[跟進(jìn)訓(xùn)練]

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

向量的線性運(yùn)算√√√

根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

平面向量線性運(yùn)算的求解策略(1)共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用向量減法的幾何意義，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的線性運(yùn)算將目標(biāo)向量表示出來(lái)，再進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知單位向量e1，e2，…，e2025，則|e1＋e2＋…＋e2025|的最大值是________，最小值是____________.(1)2025

0

(2)2

[(1)當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2025方向相同時(shí)，|e1＋e2＋…＋e2025|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2025|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2025|＝2025；當(dāng)單位向量e1，e2，…，e2025滿足e1＋e2＋…＋e2025＝0時(shí)，|e1＋e2＋…＋e2025|的最小值為0.A．A，B，D三點(diǎn)共線

B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線

D．A，C，D三點(diǎn)共線√

考點(diǎn)三向量共線定理的應(yīng)用

利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量