2025年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建：專題06 全等、等腰及相似有關(guān)解答題的模型構(gòu)建(6大類型)(解析版)VIP

專題06全等、等腰及相似有關(guān)解答題的模型構(gòu)建（6大類型）

題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練

1.三角形全等的判定及應(yīng)用

（1）全等三角形的定義：

全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。

注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。

（2）全等三角形的性質(zhì)：

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等。

（3）全等三角形的判定：

（1）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）

（2）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）

（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）

（4）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

2.等腰三角形的性質(zhì)與判定

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性質(zhì)

1

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】

（3）等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】

說明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；

④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．

3.等邊三角形的性質(zhì)與判定

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對(duì)而言的．

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線

是對(duì)稱軸．

（3）等邊三角形的判定：

由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．

判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．

判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

4三角形相似的判定及綜合應(yīng)用

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)

要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．

（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；

（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．

5三角形折疊問題探究

三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）

2

∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=（∠1+∠2）2∠C=∠2-∠1或∠C=（∠2-∠1）

??

??

6三角形旋轉(zhuǎn)問題探究（手拉手、半角模型）

該模型重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)

典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。

（1）手拉手模型：

將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，

也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左

手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。

手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。

（2）半角模型：

1、半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

2、模型特征：等線段，共端點(diǎn)，含半角

3、思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

4、解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然

后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)

角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論。

模型01全等三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

三角形全等的判定及應(yīng)用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)

鍵是準(zhǔn)確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已

知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，

且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊。

答｜題｜技｜巧

3

解決全等三角形的問題認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段

或角之間的聯(lián)系。在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)

輔助線構(gòu)造三角形；最后把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，

把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．

如圖，點(diǎn)C在線段上，，，．

????=??∠?=∠???=??

(1)求證：；

(2)若△???≌，△求???的度數(shù)．

【答案∠?】?(?1)=見6解0°析∠???

(2)

【分∠?析??】本=題60考°查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明是等邊三角形是解答的

關(guān)鍵．△???

（1）直接根據(jù)全等三角形的判定證明結(jié)論即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊

三角形的性質(zhì)求解即可．??=??∠???=∠???=60°△???

【詳解】（1）證明：在與中，

△???△???

，

??=??

∠?=∠?

所以；

??=??

（2）△解?：??因≌為△???SAS，，

所以，△???≌△???∠??，?=60°

所以??=?是?等∠邊?三??角=形∠．???=60°

所以△???．

∠???=60°

1．（2025·陜西西安·二模）如圖，是上一點(diǎn)，，，平分，求證：．

?????=????=????∠???∠?=∠?

4

【答案】見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由角平分線的定義

和等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而由可得，據(jù)此即可求證，掌握全等三角形

的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵∠?．??=∠?SAS△???≌△???

【詳解】證明：∵，

∴，??=??

∵∠?平=分∠???，

∴??∠???，

∴∠???=∠??，?

在∠???=和∠?中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠?

∴，

??=??

∴△???≌．△???SAS

2．（∠?20=25∠·陜?西咸陽·一模）如圖；在中，延長(zhǎng)到點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，，

求證：．△?????????∥??????=??,???=??

??=??

【答案】見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理

與性質(zhì)．由，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，又，利用即可證明

??∥?，?從而得到．∠???=∠?????=??,??=??SAS

△【詳??解?】≌證△明??：?∵，??=??

??∥??

∴在∠???=與∠???中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

，

??=??

∴△???≌△．???(SAS)

∴??=??

5

3．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，過點(diǎn)A作，垂足為D，延長(zhǎng)

至E．使得．在邊上截△取???∠，?連=結(jié)40°．∠?=25°??⊥??

????=??????=????

(1)求的度數(shù)．

(2)求∠證?：??．

【答案】(?1?)=??

(2)見解析115°

【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理：

（1）由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；

（2）證明，得出．

【詳解】（1△）?解??：≌∵△???SA．S??=??

∴．??⊥??

∵∠???=9，0°

∴∠?=25°；

（∠2）??證?明=：∠?在??+∠?中=，115°，，

∴△???∠?=40°．∠?=25°

∴∠???=180°?．∠??∠?=115°

在∠???=和∠???中，

△???△???

，

??=??

∠???=∠???

∴，

??=??

∴△???≌．△???SAS

4．?（?2=024?·?廣東揭陽·一模）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別是，

上的點(diǎn)，連接，，，且???．?∠?=∠?=90°??=????????

??????∠???=∠???

(1)求證：；

(2)若△???≌△，???，求的長(zhǎng)．

【答案??】=(12)見??解=析4；??∥????

6

(2)．

【分6析】根據(jù)可證，利用可證；

根據(jù)1∠，???=∠??可?知∠???=∠，???ASA，根據(jù)△???≌可△知???，根據(jù)

2∠?=90可°證??=2??、∠???=30°，∠所??以?可=證60°，?所?以∥?四?邊形∠?=∠是?平??行=四6邊0°形，根據(jù)

△平行??四?邊≌△形的??性?質(zhì)可∠知???=60°?，?=所以??=2．??∥??????

【詳解】（1）證明：??=??=4，??=6

∵∠???=∠?，??

∴∠????∠???，=∠????∠???

∴∠???=∠???

在和中，，

∠???=∠???

△???△?????=??

；

∠?=∠?

∴（△2）??解?：≌△???ASA，，

∴∵??，=2??=4∠?=90°

1

sin∠???=2，，

∴∠???=30°??=2，

∴∠???=，90°?∠???=90°?30°=60°

∵??∥??，

∴由∠?得=：∠???=60°，

1△??，?≌△???，

∴??=??=2，∠???=∠???=60°

∴∠???=，∠?

∴又??∥??，

四∵邊??形∥??是平行四邊形，

∴????，

∴??=??=4，

∴即??的=長(zhǎng)??為+?．?=4+2=6

【點(diǎn)??睛】本題6主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行

線的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)找到邊和角之間的關(guān)系．

模型02等腰三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

等腰三角形的性質(zhì)與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結(jié)合在各類考

試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定，選用合適的方法，靈活應(yīng)用等

腰三角形的性質(zhì)和有關(guān)的輔助線問題，利用等腰三角形來解決有關(guān)三角形的線段和角的問題

7

答｜題｜技｜巧

等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相

等的重要手段．在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的

高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)

不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．

等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角

形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來解決．

如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連

接，R．t△?????=??=32????????90°??

????

(1)求證：；

(2)若△?時(shí)??，≌求△?的??長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)??在=2上運(yùn)動(dòng)時(shí)?，?試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，

22

請(qǐng)說明?理?由?．??+??

【答案】(1)見解析

(2)

(3)存1在0，

【分析】（118）由即可證明；

（2）證明SAS（△）?，??勾≌股△定?理??得到，在中，勾股定理即可求解；

（3）證明△???≌△???S，AS即可求解．??Rt△???

222

【詳解】（1?）?解+：?由?題=意2，??可知，，．

∠?．??=∠???=90°??=????=??

∴即∠????∠???．=∠????∠???

∠???=∠???．

∴（△2）???在≌△???(SA中S，)，

∵Rt△?????=??=32．

∴∠???=∠???=45°,??=．2??=6

∴??=?????，=6?2=4

∵△???≌△???8

，．

∴??=??=2∠???=∠???．=45°

∴∠???=∠???+∠???=．90°

22

∴在??=??中+，??=25．

??

∴（3）Rt由△（?2?）?可知?，?=??=2=10．

222222

當(dāng)最小時(shí)，有??+?的?值=最?小?，+此?時(shí)?=??=．2??

22

∴??為等腰直角??三角+形??，??⊥??

∵△???．

11

∴??=2??=2×6=3．

2222

∴即??+??的=最2?小?值≥為2×．3=18

22

【點(diǎn)??睛+】?本?題主要考查了1圖8形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

1．（2025·陜西西安·一模）如圖，與均為等腰直角三角形，．求證：

．△???△???∠???=∠???=90°

△???≌△???

【答案】見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，，再證證，根據(jù)，即得結(jié)論．

【詳解】證明：∵與??=均?為?等?腰?直=角?三?角形，∠???=∠???SAS

∴，△??，?△???

∴??=????=??．

即∠???+∠???．=∠???+∠???

在∠???=與∠???中，

△???△???

??=??

∴∠???=∠???．

??=??

2．（△2?02?5?·≌上△海松??江?·一模）如圖，在中，，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．，

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．△?????=????⊥????⊥??????∥??

???

9

(1)求證：；

????

(2)求證：??=??．

【答案】(21?)見?解??析?=?????

(2)見解析

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)題意證明，即可求解；

（2）設(shè)與交于△點(diǎn)??，?可∽證△???，得到，再證，得到，則有

????????

???，?由?，△代?入?計(jì)?算∽△即?可?求?解．??=??△???∽△?????=?????

1

?【?詳=解?】?（?1?）?證明?：?如=圖2?所?示，

，，

，∵??⊥????⊥??

°

∴∠???=，∠???=90

∵??∥??，

∴∠1=∠?，

∴△???∽，△???

????

∴??=??；

????

∴（?2?）=證?明?：設(shè)與交于點(diǎn)，

?????

，

，∵??∥??，

°°

∴∠???=，∠???=90∠1+∠2=∠1+∠?=90

∴∠2=∠?，，

∵??=????⊥??10

∴，，

∠2=∠3，??=2??

∴又∠3=∠??，

∠???=∠???，

∴△???∽，△???

????

∴??=??，，

∵∠3=∠?∠???，=∠???

∴△???∽，△???

????

∴??=??即，

????

∴??=???，????=?????

1

∵??=2??．

∴3．2（?2?0?2?5·?上=海?松?江??·一?模）如圖，在中，，，．

△???∠?=60°??=6?△???=63

(1)求的長(zhǎng)；

(2)在??邊上取一點(diǎn)，使，連接，求的正切值．

【答案??】(1)???=2??∠???

(2)4

3

【分5析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，由面積法求得，進(jìn)而解直角三角形即可得解；

（2）過點(diǎn)作??，?垂⊥足?為?，由（?）得，解直??角=三2角3形得，證是等邊三角形，

得???⊥??，?1，??=4，從而求得??=，2△，???，

利用∠?正??切=定∠義?即=可∠得??解?．=60°??=??=4∠???=30°??=1??=3??=??+??=5

【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，垂足為，

???⊥???

，．

∵??=6?△???=63

11

∴?△???=?????=×6???=63

22

∴??=23

∵∠?=60°

??

?∴sin?=

??

11

23

∴（??）=解：過點(diǎn)=作4，垂足為

2sin60°

???⊥???

由（）得，

∴1??=4，，

??=??cos60°=2??=2，

∴??=????，????=6?2?2=2=??

∴∵??=4=，??

∴∠?=6是0°等邊三角形，

∴△???，

∴∠???=∠?=∠???=6，0°??=??=4

∠???=，90°?60°，=30°

∴??=1??=3，

??=??+??=5．

??3

∴【t點(diǎn)an睛∠?】?本?題=考??查=了5解直角三角形，勾股定理，度直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練

掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30

4．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足為，點(diǎn)

是線段上一點(diǎn)（不與、重合Rt）△，?過?點(diǎn)?作∠???=交90°的?延?長(zhǎng)=線6于?點(diǎn)?=8與??⊥交?于?點(diǎn)，連接?．?

???????⊥?????,???????

(1)求證：；

????

(2)當(dāng)??=時(shí)?，?求的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)??∥??是等腰三?角?形時(shí)，求的長(zhǎng)．

【答案△】??(1?)見解析??

(2)

14

(3)?或?=5

97

【分2析4】（1）根據(jù)題意，，證明即可求證；

∠???=∠???∠???=∠???△???∽△???

12

（2）根據(jù)題意可得，則有，由，得到，如圖所示，作，

垂足是，由勾股定△理?、??三∽角△函?數(shù)??的計(jì)算得∠?到??=∠?????∥??，在??=??中，??⊥，?則?

4??

有?，得到，再根據(jù)，即可??求=解1；0,cos∠???=5Rt△???cos∠???=??

5425????

（3??）=根5據(jù)等腰三??角=形的4判定和性?質(zhì)?=分?類?討論：第一種情況：當(dāng)時(shí)，可證平分，根據(jù)

角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)即的計(jì)算可解得；第二種情∠況?：??當(dāng)=∠???時(shí)?，?可得∠???

，則，即，即可求解；第三?種?情況：當(dāng)∠???時(shí)=，∠結(jié)?合??（2）的計(jì)算tan即∠可??求?解=．

????68

t【an詳∠解??】?（1）?解?：=????=，6∠???=∠???

，∵??⊥??

∴∠???=90°，

∵∠???=90°，

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴△???∽即△???；

????????

（∴?2?）=解?：???=??，

????

∵??=?，?,∠???=∠???

∴△???∽△???，

∴∠???=，∠???

∵??∥??，

∴∠???=∠???，

∴∠???=∠，???

∴如?圖?所=示?，?作，垂足是，

??⊥???

，

，∵??⊥??

1

∴在??=2??中，，

Rt△?????=6,，??=8

4

∴??=10，,cos∠???=5

∴在??=5中，，

??

Rt△?，??cos∠???=??

54

∴??=5，

25

∴??=4，

7

∴??=?????=4

13

，

∵??∥??

，即7，

??????4

25

∴??=??10=4

；

14

∴（?3?）=解：5若是等腰三角形，那么或或，

第一種情況：△當(dāng)???時(shí)，∠???=∠???∠???=∠???∠???=∠???

∠，???=∠???

∵∠???=∠???，

∴又∠???=∠???，

∵∠???+∠??，?=∠???+∠???=90°

∴∠???=∠??，?即，

∵∠???=9，0°??⊥????⊥??

∴∵??=??，

∴??=??,??=??，

∴△???≌△?，??HL

??=??=6，

∴在??=???中?，?=4，

??

R?△???，tan即∠???=??

3

∴第?二?種=情4況×：4=當(dāng)3??=3時(shí)

∠，???=∠???

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???，

∴tan∠??，?即=tan∠?，??

????68

∴??=??；??=6

9

∴第?三?種=情2況：當(dāng)時(shí)，

∠，???=∠???

∵∠???=∠???，

∴又∠???=∠???，

∠???+∠???=∠???+∠???=90°

∴∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴∠???=，∠???

∴由?（?2∥）?可?知，在中，，

??

，Rt△???cos∠???=??

54

∴??=5

14

，

25

∴??=4，即；

77

綜∴?上?所=述?，????=或4或?．?=4

97

【點(diǎn)睛】本題??主=要3考查2相4似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形

的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．

模型03等邊三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

等邊三角形的性質(zhì)與判定在近年考試中綜合性較高，通常與全等三角形、相似三角形相結(jié)合在各類考

試中以解答題為主。解這類問題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，選用合適的方法，靈活應(yīng)用等

邊三角形的性質(zhì)和有關(guān)的輔助線問題，利用等邊三角形來解決有關(guān)三角形的線段和角的問題

答｜題｜技｜巧

等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角

性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合

一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．

等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角

的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．

如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．

?????????=????????=??

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，

，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．??=??

∠【?詳??解=】∠證?明??∶=∵60°是等邊三S角AS形，△???≌△???

∴，△???，

??=??∠???=∠???=60°

15

又，

∴??=??，

∴△???≌．△???SAS

??=??

1．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，

．△????????=??∠???=∠???∠???=

∠???

(1)求證：；

(2)若平?分?=??，，求的長(zhǎng)．

【答案??】(1)見∠?解?析???=2??

(2)

【分2析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定；

（1）根據(jù)已知得出，進(jìn)而根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得

證；∠???=∠???ASA△???≌△???

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義，得出，進(jìn)而得出，

即可證明是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，∠即??可?求=解∠．???=∠???∠???=60°

【詳解】（△1）??證?明：，

∵∠???=∠?，??即：，

∴在∠???+和∠???=中∠，???+∠???∠???=∠???

△???△???

，

∠???=∠???

??=??

，

∠???=∠???

∴△???≌△．???

∴（?2?）=解?：?平分，

∵??，∠???

∴又∠???=∠???，

∵∠???=∠???，

∴∠???=∠???=∠???，

∵∠???+∠???，+∠???=180，°

∴3∠???=，180°∠???=60°

∵??=?是?等邊三角形，

∴△???

16

．

∴2．?（?2=023?·?浙=江2寧波·一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，中

間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變的大小（菱形的邊長(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋?、之間

的距離）．經(jīng)測(cè)量，可在和∠???之間發(fā)生變化（包含和），．??

∠???20°160°20°160°??=40cm

(1)當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)∠???從=120變°為時(shí)，?這?個(gè)千斤頂升高了多少？（精確到，，，

∠???2）0°160°cm0.1cmsin80°=0.98cos80°=0.17

t【an答80案°】=(51.)67

(2)40cm

【分64析.8c】m本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定：

（1）連接交于點(diǎn)E，由四邊形是菱形得到，當(dāng)時(shí)，，

1

由?得?到??是等邊三角形?，?則??∠???；=2∠???∠???=120°∠???=60°

（2?）?當(dāng)=??△??時(shí)?，在中，??=??=40cm，則，則，

1

當(dāng)∠???=時(shí)2，0°Rt中△???∠?，??則=可2得∠到???=10°，得??到=6.8??=2??=，13即.6可cm得到

答案∠???=160°Rt△???∠???=80°??=39.2??=2??=78.4cm

【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于點(diǎn)E，

????

∵四邊形是菱形，

∴????，

1

當(dāng)∠???=2∠??時(shí)?，??=??，

1

∴∠???=是1等20邊°三角∠形?，??=2∠???=60°

∴△???；

（?2）?解=：??∵=四4邊0形cm是菱形，

∴，???，?，

1

當(dāng)??=2???時(shí)?，⊥??∠???=2∠???

在∠???=2中0°，，

1

∴Rt△???∠???=2∠?，??=10°

∴∠???=90°?∠???=80°，

??=??cos80°=40×0.17=6.8cm

17

∴，

當(dāng)??=2??=1時(shí)3.，6cm

在∠???=1中60，°，

1

∴Rt△???∠???=2∠???=80°，

∴??=??sin80°=40×0.98=39.2cm

∴?這?個(gè)=千2斤??頂=升7高8.4了cm，

答：這個(gè)千斤頂升高了78.4?13．.6=64.8cm

3．（2023·貴州黔東南·一6模4.）8c問m題提出：

已知：在中，，以為邊作等邊三角形．探究下列問題：

△?????=?,??=??????

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線的兩側(cè)時(shí)，，且，則____________；

問題探究：???=?=3∠???=60°??=

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線的同側(cè)時(shí)，，且，則____________；

問題拓展：???=?=6∠???=90°??=

（3）如圖3，當(dāng)變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線的兩側(cè)時(shí)，求的最大值及相應(yīng)的的度數(shù)．

【答案】（1）∠；?（??2）；（3），????∠???

【分析】本題主3要3考查了3等邊6?三3角形2的性質(zhì)?，+勾?股∠定?理??，=以1及20軸°對(duì)稱的性質(zhì)，正確理解有最大值的條件，

是解題的關(guān)鍵．??

（1），且，是等邊三角形，且是等邊三角形的高線的2倍，據(jù)此即可求解；

（2）?=?=3，且∠???=60°，△???是等腰直角三角形?，?且是邊長(zhǎng)是6的等邊三角形的高長(zhǎng)與等腰

直角三?角=形?的=斜6邊上∠的?高??的=差9；0°△?????

（3）以點(diǎn)為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)落在點(diǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)．連接，，當(dāng)點(diǎn)、、

在一條直線?上時(shí)，有△最?大?值?，60°．???????????

【詳解】解：（1）??，且??=??=?+，?

是等邊三角∵形?，=?=3∠???=60°

∴△???，

33

∴∵?等?邊=三2角形，

，???

33

∴??=2；

∴??=3318

（2）作，垂足為，連接，

??⊥?????

∵等邊三角形，

∴是的垂??直?平分線，

∴????，

∵??=??，，

∴??=??，=6??=??

∴??，⊥，??在同一直線上，

∵???，，

∴??=??=6∠，???=90°

∴??=62=??，

∴??=32=??，

22

∴??=?????=36；

（?3）?以=點(diǎn)???為?中?心=，3將6?32逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

則點(diǎn)落在?點(diǎn)，點(diǎn)落在△點(diǎn)??．?連接，6，0°

?，??，????，?

∴??=?為?等邊∠?三?角?形=，60°??=??=?

∴△???．

∴當(dāng)?點(diǎn)?=、??、不在一條直線上時(shí)，

???

有；

當(dāng)點(diǎn)??=、??、<在??一+條?直?線=上?時(shí)+，?

???

19

有最大值，；

只有當(dāng)時(shí)，???，?=??=?+?

即、∠、??在?=一1條2直0°線上，∠?此??時(shí)=1最80大°

???，??

∴因∠此?當(dāng)??=120°時(shí)，有最大值是．

4．（202∠4?·貴??州=黔1東20南°·二模?）?如圖，等邊?三+角?形的邊長(zhǎng)為2，是邊的中線，點(diǎn)E在線段上，連

接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段?，??連接．??????

????60°????

(1)【動(dòng)手操作】

在圖①中畫出線段，，并寫出一對(duì)全等的三角形：；

(2)【問題探究】????

如圖②，若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，試探究點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑并求出它的長(zhǎng)度；

(3)【拓展延伸】

連接，在（2）的條件下，試求周長(zhǎng)的最小值．

【答案??】(1)畫圖見解析，△???

(2)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為線段△，?其?長(zhǎng)?為≌△???

(3)3

【分1+析】（31）先根據(jù)題意作圖，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，再證明，即可

證明；??=??∠???=60°∠???=∠???

（2）△利?用??全≌等△三?角??形S的AS性質(zhì)得到，，再由等邊三角形的性質(zhì)得到，則

點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)F的運(yùn)??動(dòng)=路?徑?長(zhǎng)等∠?于??點(diǎn)=E∠的?運(yùn)??動(dòng)路徑長(zhǎng)，即為的長(zhǎng)，據(jù)此利∠?用?勾?股=定30理°求解

即可；????

（3）如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，設(shè)與直線交于G，連接，則，

，，，證??明是等邊三?角?形；?再?證明當(dāng)?D?、F、H三點(diǎn)共?線?時(shí)，??=??的??值=最

?小?，即∠?此?時(shí)?=90°?的?值=最?小?，最小△值?為??的長(zhǎng)，利用勾股定理得到??，+則??

22

的最小值為??，+可??得的周長(zhǎng)的最小?值?為．??=?????=3??+??

3△???1+3

20

【詳解】（1）解：如圖所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，

∵是等邊三角形，??=??∠???=60°

∴△???，，

∴??=??∠??，?=60°

∴∠???=∠???；

△???≌△???SAS

故答案為：；

（2）解：∵△???≌△???，

∴，△???≌△???，

∵?等?邊=三?角?形∠???的=邊∠長(zhǎng)?為??2，是邊的中線，

∴??，?，????，

11

∴??=2??=，1??⊥??∠???=2∠???=30°

∴∠點(diǎn)?F??在=射3線0°上運(yùn)動(dòng)，

∵，??

∴?點(diǎn)?F=的?運(yùn)?動(dòng)路徑長(zhǎng)等于點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，即為的長(zhǎng)，

在中，由勾股定理得??，

22

∴點(diǎn)RtF△的??運(yùn)?動(dòng)路徑為線段，其長(zhǎng)?為?=；?????=3

（3）解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線3的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，設(shè)與直線交于G，連接，

∴，，，??，????????

∵??=???，?=??∠???=90°??=??

∴∠???=30°，

1

∴??=2??=1，

∴??=2是??等=邊2三=角?形?；=??

∵△???，

∴?當(dāng)?D+、?F?、=H?三?點(diǎn)+共??線時(shí)，的值最小，即此時(shí)的值最小，最小值為的長(zhǎng)；

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，??+????+????

∴此時(shí)??，

∴??⊥??，

22

∴??=?的?最?小?值?為=，3

∴??+?的?周長(zhǎng)的最小值3為．

△???1+3

21

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，

軸對(duì)稱最短路徑問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．

模型04相似三角形的性質(zhì)與判定

考｜向｜預(yù)｜測(cè)

三角形相似的判定及綜合應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或

者利用相似求長(zhǎng)度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形的

判定方法，兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組

邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結(jié)合和方程

思想的應(yīng)用．

答｜題｜技｜巧

相似三角形在求線段的長(zhǎng)度和線段的比中經(jīng)常使用，解決問題要分清問題中已知的線段和角與所證明

的線段或角之間的聯(lián)系；在應(yīng)用三角形相似的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添

加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；

如圖，在四邊形中，，連接，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，．

????∠?=90°?????⊥????????∠1=∠???

(1)求證：；

(2)若∠2=．∠3

①請(qǐng)∠判4斷=線45段°，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若，????，求的長(zhǎng)．

??=13??=5??22

【答案】(1)見解析

(2)①，理由見解析；②

25

【分析?】?=本題??是三角形綜合題，考?查?了=全12等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．

（1）由余角的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得；

（2）①設(shè)，∠1可+求∠3=90°∠2+∠???=9，0°可求∠1=∠???∠2=，∠根3據(jù)等腰三角形

的判定可得∠2=∠3=；?∠???=90°??=∠???∠???=∠???=45°+?

②由勾股定?理?可=求??，由“”可證，可得，通過證明，

可得，即可求??解=．12AAS△???≌△?????=??=5△???∽△???

????

【詳解??】=（?1?）證明：，

，∵??⊥??

∴∠???=90°=，∠?，

∴∠1+∠3=9，0°∠2+∠???=90°

∵∠1=∠?；??

∴（∠2）2=解∠：3①，理由如下：

設(shè)??，=??

∠2=∠3=?，

∴∠???=9，0°??=∠???

∵∠4=45°，

∴∠???=180°?45°?(90°?，?)=45°+?

∵∠???=∠4+∠，2=45°+?

∴∠???=∠；???

∴②??=??，，

∵??=??=13??=5，

22

∴??=??，???=1，69?25=，12

∵??=??∠?=∠??，?∠2