福建省龍巖市2024~2025學(xué)年 高二下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/福建省龍巖市2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C．1 D．22．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．-2025 C．2025 D．40503．曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)是正四面體底面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，其中，當(dāng)最小時(shí)，的值為（

）A． B． C．2 D．15．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．C．

D．

6．若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（

）A． B．C． D．7．若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍（

）A． B． C． D．8．若，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量共面10．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)C．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則D．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，在平行六面體中，，，若為中點(diǎn)，則.

13．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在處的切線(xiàn)垂直于軸．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求函數(shù)的極小值．16．如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：：(2)求證：平面.17．將一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正六邊形鐵皮的六個(gè)角截去六個(gè)全等的四邊形，再把它沿虛線(xiàn)折起（如圖），做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱鐵皮盒.

(1)試把這個(gè)正六棱柱鐵皮盒的容積表示為盒底邊長(zhǎng)的函數(shù)；(2)多大時(shí)，盒子的容積最大？并求出最大值.18．已知函數(shù)（，且）.(1)討論的值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時(shí)，.19．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在上有極小值0，對(duì)于某點(diǎn)，在P點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，若對(duì)于，都有，則稱(chēng)P為好點(diǎn)．①求a值；②求所有的好點(diǎn)．

答案1．【正確答案】B【詳解】，故選B.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，則，故.故選B.3．【正確答案】B【詳解】，令，則，故，當(dāng)時(shí)，，即的坐標(biāo)為.故選B.4．【正確答案】C【詳解】當(dāng)最小時(shí)，此時(shí)平面，故為等邊三角形的中心，記的中點(diǎn)為，則，故，故，因此，故選C.

5．【正確答案】C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，排除D．故選C.6．【正確答案】B【詳解】所以時(shí)遞減，時(shí)，遞增，是極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，即，故選B.7．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A.8．【正確答案】B【詳解】由，，令且，則，故上，此時(shí)單調(diào)遞增，故，所以，令且，則，即此時(shí)單調(diào)遞增，所以，則，令得：，故，則，綜上．故選B.9．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，，則，而，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，，B正確；對(duì)于C，向量在向量上的投影向量為：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由向量，得，向量與向量共面，D正確.故選BD.10．【正確答案】ABC【詳解】因?yàn)殛P(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以，令，得，所以A正確；由得到，所以，所以，令2024，則，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即，所以，即，所以函數(shù)的周期為，所以，所以C正確；由，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以D錯(cuò)誤，B正確.故選ABC.11．【正確答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷單調(diào)性和極值點(diǎn)，而極值點(diǎn)可以利用導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)來(lái)研究，對(duì)于，可用極值點(diǎn)偏移來(lái)證明即可.【詳解】對(duì)于A，由得：，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由，則，再令，則，由此可知：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，即，可得：在上也單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，即，可得：在上也單調(diào)遞增，則判斷是單調(diào)遞增函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，即，則等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：當(dāng)直線(xiàn)與切線(xiàn)重合時(shí)可知：，解得，再結(jié)合圖象，可知：當(dāng)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)一定有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)滿(mǎn)足原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，故，故C正確；對(duì)于D，由有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，則，要證明，只需要證明，即證明，由上面可知，則，而當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以只需要證明，由，所以只需要證明，即證：，構(gòu)造函數(shù)，則又令，則，則在上單調(diào)遞減，即，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)樗?，則得證，即，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】在平行六面體中，，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，同理可得，且為中點(diǎn)，則，所以，因此，.13．【正確答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)?，在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，又，則是奇函數(shù)，由，可得，即，，即在上有解，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．【正確答案】【詳解】設(shè)，則在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，對(duì)恒成立.由已知可得，對(duì)恒成立，等價(jià)于.設(shè)，顯然單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，所以有解.當(dāng)時(shí)，有成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，有，由可知，當(dāng)時(shí)，有，，所以，不恒成立.綜上所述，.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得，則，由于，故，（2），當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，

由，

可得，得證.（2）設(shè)平面的法向量為，因，

則，令，可得，

因，故得，

又平面，所以，平面.17．【正確答案】(1)(2)當(dāng)米時(shí)，盒子的容積最大為立方米【詳解】（1）如圖，，則盒子的高，所以盒子的底面積，所以盒子的容積，

（2）由（1）可得，所以，令，解得（舍去），所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極大值，即最大值，所以當(dāng)米時(shí)，盒子的容積最大為立方米.18．【正確答案】(1)見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由知函數(shù)定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，若，則，若，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，若，則，若，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令，則，所以，由（1）可知在上單調(diào)遞減，故，（當(dāng)時(shí)取等號(hào))，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即，即令，則，所以，故當(dāng)時(shí)，.19．【正確答案】（1）（2）①；②【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，只要存在兩個(gè)根即可，即存在兩個(gè)根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，因此的取值范圍是；(2)①，，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，得，②設(shè)為好點(diǎn)，對(duì)于任意，都有，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，因?yàn)樵邳c(diǎn)的切線(xiàn)方程為，所以，設(shè)，即，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故分情況討論，（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉楹命c(diǎn)，所以恒成立，若，在上單調(diào)遞增，，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，，滿(mǎn)足