江西省新余市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）VIP

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省新余市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.一個(gè)容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.9 B.10 C.13 D.16【答案】C【解析】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，21，由，有，故該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故選：C.2.已知點(diǎn)在拋物線C：上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，，解得，故拋物線的方程為，,，則的面積．故選：A．3.已知，，若與的夾角為，則（）A.-1 B.1 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)椋郑?，解得或，因?yàn)?，所以，解得，所?故選：.4.兩個(gè)大人和4個(gè)小孩站成一排合影，若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，則不同的站法有（）種.A.240 B.360 C.420 D.480【答案】D【解析】若兩個(gè)大人之間至少有1個(gè)小孩，即兩個(gè)大人不相鄰，故共有種.故選：D.5.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則（）①若，，且∥，則∥；②若，∥，且∥，則；③若∥，，且，則∥；④若，，且，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由且，可得，而垂直同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，故①正確；由于，，所以，則，故②正確；若與平面的交線平行，則，故不一定有，故③錯(cuò)誤；設(shè)，在平面內(nèi)作直線，，則，又，所以，，所以，從而有，故④正確.因此，真命題的個(gè)數(shù)是.故選：B6.已知直線交圓C：于M，N兩點(diǎn)，則“為正三角形”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由C：可得其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，若為正三角形，則有，即，即，解得或，故“為正三角形”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.12 B. C. D.【答案】C【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.8.如圖，已知為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過作雙曲線的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，令，則，故，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，由，軸，故與相似，故，及，即.又，所以，所以，即，則．其中雙曲線上一點(diǎn)的切線方程證明如下：不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對(duì)稱性同理可得）．由，得，所以，則在的切線斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，又有，化簡即可得切線方程為：．故選：B.二、選擇題9.已知是兩個(gè)虛數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則與均為實(shí)數(shù) B.若與均為實(shí)數(shù)，則C.若均為純虛數(shù)，則為實(shí)數(shù) D.若為實(shí)數(shù)，則均為純虛數(shù)【答案】ABC【解析】設(shè)，．，．若，則，，所以，，所以A正確；若與均為實(shí)數(shù)，則，且，又，，所以，所以B正確；若，均為純虛數(shù)，則，所以，所以C正確；取，，則為實(shí)數(shù)，但，不是純虛數(shù)，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的值域?yàn)锽.的對(duì)稱中心為，C.在上的單減區(qū)間為D.在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【答案】AD【解析】，對(duì)A：由，則，故A正確；對(duì)B：令，，解得，，故的對(duì)稱中心為，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，，解得，，則在上的單減區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，，即，，則在上的極值點(diǎn)有一個(gè)，故D正確.

故選：AD.11.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A.的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱B.C.D.【答案】BCD【解析】對(duì)A：令，則有，即，令，則有，又，故，不關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則有，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，則有，故B正確；對(duì)C：令，則有，即，則，故C正確；對(duì)D：令，則有，即，則，即，又，故，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則的值為__________.【答案】【解析】由題意可得，則.故答案為：.13.在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為____________.【答案】165【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，因公差大于零，解得，（舍），所以，故答案為：165.14.如圖1，在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，且，.將四邊形沿折起，如圖2，使得平面平面，點(diǎn)M是四邊形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，則當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】60π【解析】翻折前，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，同理可得，即為直線與平面所成的角，因?yàn)橹本€與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，所以，而，，所以，即，設(shè)，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槿忮F的體積，且為定值，所以要使三棱錐的體積取得最大值，則需取得最大值，設(shè)，，則，由勾股定理知，，，所以，，消去整理得，，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值12，即取得最大值，此時(shí)點(diǎn)在線段上，且，所以，，兩兩垂直，所以三棱錐的外接球就是以，，為鄰邊構(gòu)成的長方體的外接球，所以，所以外接球的半徑，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．四、解答題15.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積.（1）求角B；（2）若的平分線交于點(diǎn)D，，，求的長.解：（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）在中，由等面積法得，即，即所以.16.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最小值；（2）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解：（1）因?yàn)椋?，定義域?yàn)?，可得，令，顯然在上單調(diào)遞增且，因此當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，則，于是有當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.（2）化簡得，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，由，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，要想在上恒成立，只需，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)符合題意，因此a的取值范圍為.17.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）若，，線段上的點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.（1）證明：取中點(diǎn)為，由條件可得為梯形的中位線，則，又，則，且，平面，平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，得平面，平面，.由，則，又，為梯形的兩腰，則與相交，平面，又平面，所以平面平面.（2）解：取的中點(diǎn)為Q，由，，則，，因此△為等邊三角形，.由（1）知平面，，，兩兩垂直，如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，則，，，，，由，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，即平面的一個(gè)法向量為.記平面與平面夾角的大小為，所以，化簡得，即，所以實(shí)數(shù)的值為.18.近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開放了A，B兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.（1）該校學(xué)生甲、乙、丙三人某周均從A，B兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲、乙、丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為，，，求這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率；（2）該校學(xué)生丁每周六、日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心其中一個(gè)，其中周六選擇A健身中心的概率為.若丁周六選擇A健身中心，則周日仍選擇A健身中心的概率為；若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的概率為.求丁周日選擇B健身中心健身的概率；（3）現(xiàn)用健身指數(shù)來衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定k值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其k值低于1分的概率為，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過（足夠大），求抽取次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率為：；（2）記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件D：丁周日選擇B健身中心，則，，，，由全概率公式得，故丁周日選擇B健身中心健身的概率為；（3）已知從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為，則的可能取值為，，，，，，，則X的分布列為：123……故，又，兩式相減得，所以.19.通過研究，已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P，（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.解：（1）由已知可得，則，設(shè)，