特殊的四邊形與圓的綜合二次函數(shù)的綜合解答題-2025年中考數(shù)學(xué)沖刺搶分押題秘籍（廣州專用）

PAGE1猜押06廣東廣州卷中考數(shù)學(xué)24-25題（解答題）猜押考點(diǎn)1年廣州真題考情分析押題依據(jù)難度特殊的四邊形與圓的綜合2024年廣東廣州卷第24題2022年考面積問題，2023年考軌跡問題，2024年考存在性問題，2025年可能考查路徑最值或幾何變換。動(dòng)態(tài)幾何題注重創(chuàng)新，2024年第24題以菱形軸對稱問題為載體，強(qiáng)調(diào)自主探究難二次函數(shù)的綜合2024年廣東廣州卷第25題2022年考二次函數(shù)與三角形，2023年考二次函數(shù)與四邊形，2024年考函數(shù)與圓綜合，2025年可能考查含參二次函數(shù)與坐標(biāo)系的綜合。。壓軸題注重思維深度，2024年第25題考查推理與運(yùn)算能力，強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)難題型一特殊的四邊形與圓的綜合1．（2025·廣東佛山·一模）如圖，在矩形中，，連接，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、、、，與交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求的值；(3)如圖3，、分別交于點(diǎn)、，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)(3)，證明見解析【知識點(diǎn)】利用矩形的性質(zhì)證明、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進(jìn)行求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】（1）根據(jù)矩形、軸對稱及圓的性質(zhì)證明，，進(jìn)而可證得；（2）根據(jù)矩形、軸對稱得，則，進(jìn)而可知，連接，可知，則，再證，由，得，，結(jié)合，，得，可知，進(jìn)而得，即可求解；（3）連接，交于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，，可知，由軸對稱可知，，，再證，得，可知，再證是的中位線，得，可知，得，進(jìn)而可知，得，即可證得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)、關(guān)于對稱，∴，∵點(diǎn)在上，∴，∴，∴，∴，則，在與中，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)、關(guān)于對稱，∴，∴，，∴，則，，，∴，連接，∵點(diǎn)在上，∴，則，，∴，∵，∴，，∵，則，，則，∴；（3），證明如下：連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵點(diǎn)、關(guān)于對稱，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2025·廣東廣州·一模）在矩形中，，，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．(1)如圖，點(diǎn)在線段上，求證：；(2)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在使、、、四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為軸對稱圖形，若存在，求出相應(yīng)的長，若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同角的余角相等得到，即可得出；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長線上時(shí)，則，時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別利用相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得的長．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，；（2）解：存在，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長線上時(shí)，則，時(shí)，使D、F、G、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為軸對稱圖形，如圖3，同理得出，∴；②當(dāng)點(diǎn)在線段上（不與重合）時(shí)，不存在；綜上所述，的長為．3．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在菱形中，對角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上，，連接，并延長交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【知識點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求面積、利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值、根據(jù)三線合一證明【分析】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)找邊、角之間的關(guān)系．（1）由菱形的性質(zhì)得出，，，，再證明，然后由等腰三角形的三線合一定理即可得出結(jié)論；（2）證明，再由平行線的性質(zhì)得，然后由銳角三角函數(shù)定義求出，則，根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，平分，，，，平分，∴；（2）解：由可知，，，，，，，，，，，，即菱形的面積為．4．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：是等邊三角形；(2)當(dāng)與矩形的邊平行時(shí)，求線段的長；(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)或(3)存在；【知識點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形【分析】（1）由題易得，進(jìn)而可得，從而得證；（2）分類討論：當(dāng)或，然后利用勾股定理和特殊角求解即可；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用勾股定理可得，進(jìn)而據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證：在矩形中，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)∴∵∴∴是等邊三角形;（2）①當(dāng)時(shí)∴∴∴∴是等邊三角形∴②當(dāng)時(shí)在中，，，∴∵∴∴∴∴∴綜上，線段的長為或．（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)∵，設(shè)∴，∴∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為∵當(dāng)最小時(shí)，最小∴最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、等邊三角形的判定等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為斜邊作等腰直角三角形（點(diǎn)在上方）．(1)若，求的長；(2)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中，的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到邊的距離的最大值．(3)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，①四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是求出函數(shù)解析式，如果不是說明理由；②求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長．【答案】(1)(2)(3)①，②【知識點(diǎn)】y=ax2+bx+c的最值、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，結(jié)合得，可證明，即可求得；（2）找中點(diǎn)，作于，則由題意知，的外接圓的圓心在線段的中點(diǎn)處，圓心到邊的距離為，則是的中位線，設(shè)，則，結(jié)合（1）可知，利用，求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，即可知的最大值；（3）①過點(diǎn)作，于點(diǎn)，，連接，則有四邊形為矩形，，，，結(jié)合題意證明，有，，即可知四邊形為正方形，那么，四邊形的面積，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求得；②由①知，四邊形為正方形，則點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑在線段的長，即是當(dāng)線段最大時(shí)的的值，由（1）可知，，，，設(shè)，則，結(jié)合正方形的性質(zhì)有，化簡并利用二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可，注意由小變大后再變小，分和和討論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，故答案為：．（2）解：如圖，找中點(diǎn)，作于，由題意知，的外接圓的圓心在線段的中點(diǎn)處，圓心到邊的距離為，∵，∴是的中位線，∴，設(shè)，則，由（1）可知，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，∴的最大值為，∴圓心到邊的距離的最大值為；（3）解：①過點(diǎn)作，于點(diǎn)，，連接，如圖，∴，∵，∴四邊形為矩形，，∴，，∵以為斜邊作等腰直角三角形，∴，，則，∴，∴，∴，，則四邊形為正方形，∵，∴四邊形的面積，∵線段的長，∴，那么，，②由①知，四邊形為正方形，則點(diǎn)在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑在線段的長，即是當(dāng)線段最大時(shí)的的值，由（1）可知，，，，設(shè)，則，∵，∴，化簡得當(dāng)時(shí)，，，∵∴點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)∵當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿射線向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，，此時(shí)最大，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿射線向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合∴點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對動(dòng)點(diǎn)知識的理解，并熟練掌握與靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．6．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知菱形，以為直徑的與對角線交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，連接，，為上一點(diǎn)，連接．(1)求證：點(diǎn)，，三點(diǎn)共線；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：是的切線；(3)若的半徑長為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【知識點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)證明、圓周角定理、用勾股定理解三角形、證明某直線是圓的切線【分析】（1）通過圓周角定理的推論得，結(jié)合菱形的性質(zhì)得即可求解；（2）連接、，利用菱形的性質(zhì)得，；利用圓周角定理可得；為的中點(diǎn)，通過等腰三角形的性質(zhì)——三線合一得，結(jié)合，推出即可得證結(jié)論；（3）連接、，由（2）得，推出，，設(shè)，利用勾股定理，在和中，，得，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接．為的直徑。，即．四邊形是菱形，，即．點(diǎn)，，三點(diǎn)共線．（2）證明：如圖，連接、．由（1）得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，四邊形是菱形，，，又，，．，．又為的中點(diǎn)，．，．又，．，．又為的半徑，為的切線．（3）解：如圖，連接，．由（2）得，，．的半徑長為，．四邊形是菱形，．為的直徑，，．設(shè)，則，在中，，在中，，，解得．的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、切線的判定以及勾股定理，熟練掌握以上基礎(chǔ)知識，作出合適的輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2025·廣東廣州·一模）在中，，為邊上的一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，，為上的中點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，求的值．(2)如圖2，，，在上且，連接，交于點(diǎn)．已知，求點(diǎn)到的距離．(3)如圖3，，為上的中點(diǎn)，在上，，連接交于點(diǎn)．連接，當(dāng)最小時(shí)，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、圓周角定理、已知圓內(nèi)接四邊形求角度【分析】（1）求出，同角的余角相等，得到，設(shè)設(shè)，則，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，求出的值，進(jìn)而求出的值即可；（2）證明，得到，證明，列出代數(shù)式，得出，進(jìn)而求出的值，過作交于點(diǎn)，求出的值即可；（3）先求出，定弦定角，得到三點(diǎn)共圓，進(jìn)而得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，取中點(diǎn)，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，求出圓心角的度數(shù)，等邊對等角，求出的度數(shù)，垂徑定理求出長，求出，進(jìn)而求出的長，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求出的長，再利用面積公式求出面積即可．【詳解】（1）為上的中點(diǎn)，；∵，，∵，，，，，，設(shè)，則．，，，解得，．（2），是等邊三角形，，，，，，，；，即，解得，；過作交于點(diǎn)，到的距離為；（3）由（2）可得，，過三點(diǎn)作圓，連接，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最?。堑冗吶切?，為弦，取中點(diǎn)，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，，，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，，；過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，四邊形是矩形，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識的，第（3）問中確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，是解題的關(guān)鍵．8．（2025·廣東廣州·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊的延長線上，過點(diǎn)D作且，連接，點(diǎn)P為的中點(diǎn)．(1)求的長；(2)連接，，，請判斷是否為等邊三角形？若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由；(3)以點(diǎn)C為圓心，3為半徑作，交邊于點(diǎn)M，點(diǎn)Q是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的最小值．【答案】(1)24(2)是，理由見解析(3)18【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定、線段問題(軸對稱綜合題)、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的最值問題【分析】（1）在中，解直角三角形即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到，根據(jù)得到，因此，從而點(diǎn)A，B，E，D四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)P為該圓的圓心，根據(jù)圓周角定理有，得到是等邊三角形．（3）取的中點(diǎn)H，連接，延長交于點(diǎn)N，根據(jù)中位線定理得到，因此點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)．作點(diǎn)M關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)G，連接，，則，連接，交于點(diǎn)，則，由點(diǎn)H是的中點(diǎn)，，得到，證明四邊形是矩形，得到，根據(jù)勾股定理在中，求得，即可得出，即可解答．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴．（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴在中，，在中，，∴∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)A，B，E，D四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)P為該圓的圓心，∴，∵，∴是等邊三角形．（3）解：取的中點(diǎn)H，連接，延長交于點(diǎn)N，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)．作點(diǎn)M關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)G，連接，，則，∴，連接，交于點(diǎn)，則，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．∵點(diǎn)M與點(diǎn)關(guān)于對稱，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，即的最小值為18．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理，等邊三角形的判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，最短路徑問題等，綜合運(yùn)用相關(guān)知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2025·廣東廣州·一模）如圖，邊長為的正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，點(diǎn)在邊的上方，，，連接、、．(1)求證：；(2)延長交所在直線于點(diǎn)；①若，時(shí)，求的面積；②若，當(dāng)從到的變化過程中，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長．【答案】(1)見解析(2)①；②【知識點(diǎn)】求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用SAS證明三角形全等（SAS）、圓周角定理【分析】（1）利用四邊形是正方形，得出，，再證明，即可證明；（2）①設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先證明證明，再證明和是等腰直角三角形，求出，，求出，再證明，得出，結(jié)合，即可求解；②連接，取的中點(diǎn)，連接、．先證明，得出在以為圓心，為半徑的上，過作于，當(dāng)時(shí)，求出、，利用，判定，則可求出，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，求出，利用弧長公式即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，∵，∴，，在和中，，；（2）解：①如圖，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，∴，，，∴，又，；②如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接、．四邊形是正方形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，同①可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴在以為圓心，為半徑的上，如圖，過作于，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，又，，，，，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角從變化到時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，，，，，∴點(diǎn)經(jīng)過路線的長度為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，圓周角定理，弧長公式，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．（2025·廣東·一模）如圖1，以的邊為直徑作交于點(diǎn)，連接，其中(1)求證：與相切；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，若求的長；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的長．【答案】(1)見詳解(2)(3)【知識點(diǎn)】切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了切線的判定，直徑定理，解直角三角形，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并準(zhǔn)確作出輔助線．（1）利用直徑定理得出，利用給出的三角函數(shù)比可得，進(jìn)而可得相切；（2）根據(jù)三角函數(shù)比得出，假設(shè)半徑為，表示出相關(guān)線段，根據(jù)求出的值即可得出答案；（3）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)比得出，，根據(jù)平行的性質(zhì)得出，，根據(jù)相似比得出，求得，進(jìn)而可求的長度．【詳解】（1）證明：為的直徑，，，在中，，，，，與相切；（2）解：在中，，，，，，，設(shè)，在中，，，∴，∴，，∴在Rt△中，；（3）解：如圖3，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．∵，∴為的中點(diǎn)，∴，在Rt△中，，∴，又∵，∴，，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．題型二二次函數(shù)的綜合11．（2025·廣東廣州·一模）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為實(shí)數(shù)）．(1)求拋物線的對稱軸；(2)已知和是拋物線上的兩點(diǎn)，若對于，，都有，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)且），拋物線的圖象總在直線的下方，求的最大值．【答案】(1)(2)或(3)9【知識點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）由拋物線對稱軸公式求解即可；（2）分三種情況討論，或或，分別畫出圖形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析即可；（3）聯(lián)立，消得，結(jié)合圖象知關(guān)于的方程的兩個(gè)根為，，將代入方程得，解得，，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，方程為，解得，，故．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線；（2）解：點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為，①當(dāng)時(shí)，，∴在對稱軸右側(cè)，∵對于，，都有，∴或，∴或，②當(dāng)時(shí)，，∴在對稱軸左側(cè)，在對稱軸右軸，在對稱軸右側(cè)，∵∴恒成立；③當(dāng)時(shí)，，成立，綜上，或；（3）解：聯(lián)立，消得，∵當(dāng)時(shí)（其中為實(shí)數(shù)且），拋物線的圖象總在直線的下方，且最大，結(jié)合圖象知關(guān)于的方程的兩個(gè)根為，，將代入方程得，，解得，，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，∵，∴不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，方程為，解得，，∴；綜上，的最大值為9．12．（2025·廣東廣州·一模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線G的解析式；(2)已知直線交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線G上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)在（2）的條件下，將拋物線G向左平移t個(gè)單位得到拋物線，頂點(diǎn)為D，問拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)C、D、M組成的三角形與相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【知識點(diǎn)】線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、相似三角形問題(二次函數(shù)綜合)、二次函數(shù)圖象的平移、解直角三角形的相關(guān)計(jì)算【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）平移直線l至，使與拋物線唯一交點(diǎn)，令唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作，交l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作軸，與直線l相交于點(diǎn)，此時(shí)有最小值，先求出，則；再求出，，得到，證明，解直角三角形可得，；（3）可得，平移后的拋物線對稱軸為直線則；再分，且時(shí)，有，，且時(shí)，有，時(shí)，三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：如圖所示：平移直線l至，使與拋物線有唯一交點(diǎn)，令唯一交點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作，交l于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作軸，與直線l相交于點(diǎn)，此時(shí)有最小值，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得①，當(dāng)，得，把代入①解得，，∴，把代入直線l解析式得：，即，把代入直線l解析式得：，即，∴，∵軸，∴，，即，，解得，；（3）解：∵原拋物線解析式為，原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線G向左平移t個(gè)單位得到拋物線，頂點(diǎn)為D，∴，平移后的拋物線對稱軸為直線，∴；∵，，∴當(dāng)，且時(shí)，有，∵，∴，∴，解得或；當(dāng)，且時(shí)，有，∵，∴，∴，解得或（舍去）；如圖所示，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與y軸交于H，∴此時(shí)有，∵，∴，∴，∴此時(shí)與相似，即有或，∴或，即此時(shí)情形與時(shí)t的值相同．綜上所述：當(dāng)與相似時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解（2）的關(guān)鍵在于確定什么情形下有最小值，解（3）的關(guān)鍵在于利用分類討論的思想求解即可．13．（2025·廣東廣州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，若二次函數(shù)的圖象與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)直線與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，若，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、其他問題(二次函數(shù)綜合)【分析】（1）將代入即可直接得解；（2）令，解得或，由，得，然后分類討論求解即可；（3）先求出直線的解析式為，可得，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為點(diǎn)t，則，，證即可得解．【詳解】（1）解：把代入中得：，令，則，解得或，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴，；（2）解：二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)又∵，∴，∴二次函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，若拋物線與線段有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，①當(dāng)且時(shí)，不等式組無解，舍去；②當(dāng)且時(shí)，解得，又∵，所以；③當(dāng)且時(shí)，符合．綜上，；（3）解：直線與二次函數(shù)的圖象交于．把代入，解得．拋物線的解析式為，，，將、代入，得：，解得．直線的解析式為，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)．則，∴，∵，∴，點(diǎn)是軸上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)，，，，，，，軸，，，∴，即，∴，，，當(dāng)時(shí)，有最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問題、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14．（2025·廣東廣州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)（為常數(shù)）的圖象記為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)當(dāng)點(diǎn)在圖象上時(shí)，試解答以下問題：①求函數(shù)的解析式；②將拋物線在的那部分函數(shù)圖象沿直線翻折得到新的函數(shù)圖象，翻折前后的兩部分合記為圖象，若函數(shù)與圖象至少有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)，連結(jié)，以為邊向上方作矩形，使．當(dāng)圖象與矩形只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)【知識點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、特殊四邊形(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】（1）①將代入，利用待定系數(shù)法即可求解；②，當(dāng)時(shí)，，解得或，作出圖象，如圖，由軸對稱可知，圖象最高點(diǎn)的函數(shù)值為1，此時(shí)或2，可知直線與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由此可得答案；（2）由題意可得，，，圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，分情況：當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)在重合時(shí)，當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)，且點(diǎn)在圖象下方時(shí)，當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)，且點(diǎn)在圖象上及下方時(shí)，結(jié)合圖形即可求得答案．【詳解】（1）解：①將代入，得，解得，∴函數(shù)的解析式為；②，當(dāng)時(shí)，，解得或，將拋物線在的那部分函數(shù)圖象沿直線翻折得到新的函數(shù)圖象，翻折前后的兩部分合記為圖象，如圖，由軸對稱可知，圖象最高點(diǎn)的函數(shù)值為1，此時(shí)或2，∴直線與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)；∵函數(shù)與圖象至少有三個(gè)交點(diǎn)，∴；（2）∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長度得到點(diǎn)，連結(jié)，以為邊向上方作矩形，使，∴，，，∵，∴則圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，當(dāng)在線段上時(shí)，，即，此時(shí)，圖象與矩形有三個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)在重合時(shí)，，即，此時(shí)，圖象與矩形有兩個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)，且點(diǎn)在圖象下方時(shí)，，即，此時(shí)，圖象與矩形有兩個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)，且點(diǎn)在圖象上及下方時(shí)，，即，此時(shí)，圖象與矩形最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意；綜上，圖象與矩形有兩個(gè)公共點(diǎn)，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，特別是考查了含參數(shù)的二次函數(shù)的最值，以及含參數(shù)的二次函數(shù)圖像與幾何圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用二次函數(shù)圖像解不等式問題，掌握數(shù)型結(jié)合是解題的核心關(guān)鍵．15．（2025·廣東廣州·一模）已知拋物線與拋物線相交于點(diǎn)．(1)求出p的值；(2)設(shè)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．①當(dāng)時(shí)，求n的取值范圍；②當(dāng)M，A，N三點(diǎn)共線時(shí)，求m的值．【答案】(1)(2)①；②【知識點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法代入即可得出結(jié)果；（2）由（1）得，將點(diǎn)M代入得，且；①根據(jù)題意得出，然后代入函數(shù)解析式確定，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出n的取值范圍；②根據(jù)題意得出，再利用一次函數(shù)的待定系數(shù)法及三點(diǎn)共線得出方程求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得，解得：；（2）由（1）得，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴；①∵，，∴，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，整理得：，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴；②∵，∴，∵，，∴設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，代入得：，解得，∵，∴；設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，代入得：，解得，即，∵M(jìn)，A，N三點(diǎn)共線，∴，解得：．16．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．(1)求的取值范圍及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若的面積為8，①當(dāng)時(shí)，拋物線與直線能有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；②點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，求此時(shí)的值．【答案】(1)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)①；②【知識點(diǎn)】求角的正弦值、拋物線與x軸的交點(diǎn)問題、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值【分析】（1）由拋物線軸有2個(gè)交點(diǎn)可得，求出的取值范圍，再利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）①令，表示出的長，再利用三角形的面積公式求出的值，得出拋物線的解析式為，根據(jù)直線得出恒過定點(diǎn)，再分和兩種情況討論的取值范圍即可求解；②先求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的長，作的外接圓，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、、，利用外接圓的性質(zhì)得出圓心在拋物線的對稱軸上，即點(diǎn)到軸的距離為3，再利用直線與圓的位置關(guān)系得出，再利用圓周角定理證出，分析得到當(dāng)最大時(shí)，有最大值，再利用正弦的定義求出的最大值即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，解得：，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述，的取值范圍為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：①由（1）得，，令，則，解得：，，的面積為8，，解得：，拋物線；直線，當(dāng)時(shí)，，直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得：或，拋物線與直線的交點(diǎn)為和，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線能有兩個(gè)公共點(diǎn)，即符合題意；當(dāng)時(shí)，則，直線中的隨增大而增大，由圖象可得，此時(shí)拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)在點(diǎn)的下方，另一個(gè)在點(diǎn)的上方，又當(dāng)時(shí)，拋物線與直線能有兩個(gè)公共點(diǎn)，；綜上所述，的取值范圍為．②由①中的結(jié)論得，拋物線，拋物線的對稱軸為，令，則，解得：，，設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則，，，如圖，作的外接圓，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、、，，點(diǎn)在的垂直平分線上，即拋物線的對稱軸上，點(diǎn)到軸的距離為3，點(diǎn)在軸上，與軸至少有1個(gè)交點(diǎn)，的半徑點(diǎn)到軸的距離，即，軸，，，，又，當(dāng)最大時(shí)，也最大，即有最大值，在中，，，，，的最大值為，此時(shí)最大，當(dāng)最大時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、三角形外接圓的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．本題屬于函數(shù)綜合題，需要較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，適合有能力解決難題的學(xué)生．17．（2025·廣東深圳·一模）已知二次函數(shù)．(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，解決下列問題：①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；②若將平面內(nèi)一點(diǎn)向左平移個(gè)單位，到達(dá)圖象上的點(diǎn)；若將點(diǎn)向右平移個(gè)單位，則到達(dá)圖象上的點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)點(diǎn)，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，若，求證：．【答案】(1)①；②(2)見解析【知識點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、配方法的應(yīng)用【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、配方法的應(yīng)用等知識點(diǎn)，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）①直接將代入求得a即可解得；②先根據(jù)平移表示出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性和二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（2）由可得，則有，，再用表示出可得，然后運(yùn)用配方法解答即可．【詳解】（1）解：①將代入可得，解得：，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為；②∵將平面內(nèi)一點(diǎn)向左平移個(gè)單位，則與圖象上的點(diǎn)重合；若將點(diǎn)A向右平移個(gè)單位，則與圖象上的點(diǎn)重合，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為：，∴，解得：，把代入，得，即．（2）證明：∵設(shè)點(diǎn)，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，∴∴，，∴，∵，∴，即．18．（2024·廣東廣州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線的解析式為：（、為常數(shù)且），當(dāng)直線與一條曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們稱直線與這條曲線“相切”，這個(gè)公共點(diǎn)叫做“切點(diǎn)”．(1)求直線與雙曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，使得直線與，都相切于同一點(diǎn)？若存在，求出的解析式；若不存在，請說明理由；(3)在（2）的條件下，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)存在點(diǎn)，使，且這樣的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】(1)(2)(3)【知識點(diǎn)】求一次函數(shù)解析式、已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離、其他問題(二次函數(shù)綜合)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題【分析】（1）聯(lián)立直線和雙曲線的解析式得到關(guān)于的一元二次方程，解方程求出的值，即可求解；（2）聯(lián)立直線與得到關(guān)于的一元二次方程，解方程求出的值，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的表達(dá)式為：，聯(lián)立直線與得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)方程有唯一解，得出根的判別式，據(jù)此列出關(guān)于的一元二次方程，求出的值，即可得出拋物線的解析式；（3）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出點(diǎn)是與軸的切點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，確定的中點(diǎn)，連接，求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線的解析式，據(jù)此設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，求出的值，即可求解．【詳解】（1）解：聯(lián)立，得：，整理得：，解得：，當(dāng)時(shí)，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為：．（2）解：存在，理由：∵與相切，聯(lián)立，得，整理得：解得：，當(dāng)時(shí)，，則切點(diǎn)為：；∵直線與，都相切于同一點(diǎn)，即與的切點(diǎn)在圖象上，將、代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：，∵與相切，聯(lián)立，得，整理得：，則該一元二次方程有唯一解，即，整理得：解得：，故拋物線的表達(dá)式為：．（3）解：由（2）知，拋物線的表達(dá)式為：，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，在平面內(nèi)存在點(diǎn)，使，即點(diǎn)、、在同一個(gè)上，又∵點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且這樣的點(diǎn)有且只有一個(gè)，故點(diǎn)是與軸的切點(diǎn)，如圖：過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，確定的中點(diǎn)，連接，∵，，故中點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，即直線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)在直線上，故設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，∵，，∴，解得：，（舍去）故點(diǎn)故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，圓周角定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式等，確定出點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．19．（2024·廣東廣州·二模）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且A在B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求c的值；(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)拋物線的對稱軸與x軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸下方的拋物線上任意一點(diǎn)，直線與拋物線的對稱軸分別交于E，F(xiàn)