2025年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)重難點練習(xí)《相似三角形》含答案解析VIP

初中初中2025年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《相似三角形》部分重難點專項練習(xí)一、單選題1．（2025·廣東深圳·一模）已知，，，成比例線段．若，，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，直線，分別交直線m，n于點A，B，C，D，E，F(xiàn)．若，，則的長為（

）A．4 B．5 C．6 D．103．（2025·廣東深圳·一模）兩千四百多年前，我國學(xué)者墨子就在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實驗的做法與成因，茗茗同學(xué)從中得到啟發(fā)，在活動課上做“小孔成像”實驗，他認(rèn)為小孔成像是光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播形成的一種物理現(xiàn)象，也可以利用數(shù)學(xué)知識解決隱藏在其中的問題．如圖，若，，蠟燭火焰倒立像，則下列說法中，錯誤的是（

）A．蠟燭火焰和蠟燭火焰倒立像可以看成是位似圖形B．C．蠟燭火焰長D．線段的中點與線段的中點的連線不一定經(jīng)過點O4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）在矩形中，已知，點E為上一點，連接并延長交的延長線于點F，連接，若，則的長為（

）A． B． C．3 D．55．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，為上一點，為上一點，若，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2024·廣東深圳·三模）如圖，中，，，，以點C為頂點在外部作，連接，若，則長為（

）A． B． C． D．7．（2024·廣東深圳·三模）黃金分割比被稱之為比例之王，在藝術(shù)創(chuàng)作和建筑設(shè)計上有很多例子．不過，事實上黃金分割符合的是西方美學(xué)，而東方美學(xué)更鐘愛于白銀分割．其中愛國品牌紅旗汽車的設(shè)計中應(yīng)用了白銀分割（圖；福州華林寺大殿——現(xiàn)存最古老木構(gòu)建筑物中也大量運用了白銀比例．東方人之所以喜歡白銀分割比，因為在日常生活中隨處都可以見到白銀分割的身影，比如常用到的紙，對折后得到兩個全等的紙、紙折疊后得到兩個全等的紙等等（圖，紙，紙、紙等的長與寬的比都等于白銀比，這樣的矩形稱為白銀矩形．如圖3，若菱形的邊長與高之比為白銀比，則稱這個菱形為白銀菱形，以白銀菱形作為平面鑲嵌圖形從而構(gòu)造出具有對稱美的圖形，則這個矩形地毯的長寬比為A． B． C． D．8．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在菱形中，，E是對角線上一點，連接，作交邊于點F，若，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2024·廣東深圳·三模）如圖，在等腰中，，，為的中點，為上一點，且，是上兩動點，且，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．1010．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在四邊形中，，，是線段上一點(不與點重合)，，連接，交于點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．11．（2024·廣東深圳·三模）如圖，中，，，，點P是上一動點，于D，于E，在點P的運動過程中，線段的最小值為（）A． B． C． D．12．（2024·廣東深圳·一模）如圖，在正方形中，是等邊三角形，，的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，，與相交于點H．給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題13．（2025·廣東深圳·一模）若，其中，則的值為．14．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，，D為上一點，且滿足，過D作交延長線于點E，則．15．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）在等腰中，，D是上一點，過點D作交延長線于點E，若，，則的值為．16．（2022·廣東深圳·中考真題）已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點，連接和且則長為．

17．（2025·廣東深圳·一模）在菱形中，，將沿翻折至，，的延長線分別交于，兩點，若，則的值為．18．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，點為邊上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，交于點，連接，交于點，已知，，，則=．19．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，菱形中，點分別在邊，上，，，若，，則．20．（2023·廣東深圳·三模）如圖，在中，，邊上有一點，使，點是線段的延長線上的一點，連接，，且，若，，則的長為．

三、解答題21．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點，請畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關(guān)于直線對稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點，連接，請直接寫出的值．22．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點，連接，①若，過作交于點，求證：；②若時，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點在上，且，點為上一點，連接，過作交平行四邊形的邊于點，若時，請直接寫出的長．

23．（2022·廣東深圳·中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點，將沿翻折到處，延長交邊于點．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點，且將沿翻折到處，延長交邊于點延長交邊于點且求的長．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點，將沿翻折得到，直線交于點求的長．24．（2025·廣東深圳·一模）【問題背景】：如圖1，在矩形中，，點E是邊的中點，過點E作交于點F．【實驗探究】：（1）在一次數(shù)學(xué)活動中，小明在圖1中發(fā)現(xiàn)；將圖1中的繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖2所示，發(fā)現(xiàn)；（2）小亮同學(xué)繼續(xù)將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；【拓展延伸】：（3）在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點共線時，的長為．25．（2025·廣東深圳·一模）為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，廣東新農(nóng)村建設(shè)把主要村道道路上安裝了太陽能路燈．如圖（a）所示是行人在某村村道路燈下的影子，圖（b）是該村村道上安裝的兩盞高度不同的太陽能路燈的示意圖，其中電線桿的高度為，電線桿的高度為，的長為．身高的聰聰同學(xué)（）在兩盞路燈之間走動，他在B，D兩盞路燈下形成的影長分別記作和．（A，E，C，M，N在同一直線上，電線桿和人均垂直于地面）(1)請在圖（b）中畫出聰聰同學(xué)在路燈D照射下形成的影長；(2)當(dāng)聰聰同學(xué)站在兩盞路燈的中間（即E為的中點）時，請求出影長；(3)若影長端點N處有一個竹竿，它在路燈B的照射下其影長端點恰好與點M重合，同時影長端點M處也有一個竹竿，它在路燈D的照射下其影長端點恰好與點N重合．（竹竿，均垂直于地面）請回答下列問題：①設(shè)的長為，則的長為_______（請用含有x的代數(shù)式來表示）；②請判斷的值是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．26．（2025·廣東深圳·一模）如圖，在菱形中，，，點，分別在邊，上，連接，．(1)如圖（），若，分別是邊，的中點，連接，則______(2)當(dāng)時，請回答下列問題：①如圖（），求的值；②如圖（），若平分時，求的值；③如圖（），若時，求的值．27．（2025·廣東深圳·一模）綜合與探究在正方形中，，點是邊上的動點，連接．(1)【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，過點作，求證：；(2)【類比探究】如圖2，過點作于點，連接，當(dāng)是等腰三角形時，求此時的長度與的面積；(3)【拓展延伸】如圖3，過點作于點，連接，將沿翻折得到，交于點，請直接寫出線段的最小值．28．（2025·廣東深圳·三模）【問題提出】（1）如圖，在矩形中，點，分別是邊，上的點，連接與交于點，若，求證：；【遷移應(yīng)用】（2）如圖，在中，，，點，分別是邊，上的點，連接交于點，且，求的值；【拓展提高】（3）如圖，在四邊形中，點是邊上的一點，連接與交于點，，，，請直接寫出的值．29．（2025·廣東深圳·一模）（1）如圖1，在正方形中，E為邊上一點，F(xiàn)為延長線上一點，且，①與之間的數(shù)量關(guān)系為．②G，H分別是中點，連接，請證明：．（2）如圖2，在矩形中，，E為邊上一點，F(xiàn)為延長線上一點，，G，H分別是中點，連接，已知，求的長．（3）如圖3，在平行四邊形中，，E為邊上一點，F(xiàn)為延長線上一點，且，G，H分別是中點，連接，當(dāng)時，請直接寫出的長．30．（2023·廣東深圳·三模）【問題】（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）如圖，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，【探究】①如圖2，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接、，求證：；【拓展】②如圖3，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則面積的最小值為．參考答案題號12345678910答案BCDABABDBC題號1112答案DC1．B【分析】本題考查成比例線段，解題的關(guān)鍵是掌握：若四條線段，，，成比例，則（或），是有順序的，位置不能隨意顛倒．據(jù)此列式解答即可．【詳解】解：∵，，，成比例線段，且，，，∴，即，∴．故選：B．2．C【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，利用平行線分線段成比例定理列出比例式解答即可．【詳解】解：，，∵，∴，，．故選：C．3．D【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意可得，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】解：蠟燭火焰和蠟燭火焰倒立像可以看成是位似圖形，A選項正確；由題意得：，∴，∵，∴，B選項正確；∴，∴，解得：，∴蠟燭火焰長，C選項正確；線段的中點與線段的中點的連線一定經(jīng)過點O，D選項錯誤．故選：D．4．A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，作于，則，由平行可得，結(jié)合可得，則，由勾股定理得到，再由平行得到，代入計算即可．【詳解】∵矩形中，已知，∴，，，，作于，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴,∴，∵，∴,∴，∴，解得，故選：A．5．B【分析】本題考查了相似的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．過點C作交的延長線于點，過點C作于點，證明推出，，得到和，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，過點C作交的延長線于點，過點C作于點，．，，，，．，，．設(shè)，，，，．，，．，，，．故選：B．6．A【分析】本題主要考查判斷圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知求得，即可判定A、B、C和D四點共圓，且以中點為圓心，連接，求得，，進(jìn)一步可證明，有，設(shè)，則，求得x和y，再證明，有，即可求得．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴A、B、C和D四點共圓，且以中點為圓心，連接，如圖，∵，，，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，則，解得，∵，∴，∴，即，解得，故選：A．7．B【詳解】解：由題意得，白銀矩形四邊形白銀矩形四邊形，，即，，，，（負(fù)值舍去）即白銀矩形的長與寬的比為．如下圖，作于點,于，于，在上截取,連接,由題可知：,,,,,同理可得,,,,,,,設(shè),,,,,故選：．【點睛】本題考查的時候相似多邊形的性質(zhì)、平面鑲嵌（密鋪）、菱形的判定與性質(zhì)、翻折變換（折疊問題）、比例的性質(zhì)、黃金分割，解決本題的關(guān)鍵是理解白銀矩形的定義．8．D【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)推出，，判定，是等邊三角形，得到，，求出，而，得到，即可證明，推出，令，則，得出，得到，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴令，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．9．B【分析】過點作于點，過點作交于，連接，首先解得，，結(jié)合，可得，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可解得，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形，可得；作點關(guān)于直線的對稱點，連接，過點作于點，由對稱的性質(zhì)可得，故當(dāng)點在同一直線上時，取最小值，最小值等于的長度，結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理分別解得，，，的值，由軸對稱的性質(zhì)可得的值，證明，由相似三角形的性質(zhì)解得，進(jìn)而可得，理由勾股定理分別解得，的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過點作于點，過點作交于，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，過點作于點，如圖，由對稱的性質(zhì)可得，∴，∴當(dāng)點在同一直線上時，取最小值，最小值等于的長度，∵為的中點，∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴在中，，∴，由軸對稱的性質(zhì)可得，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴在和中，，，∴∴的最小值為．故選：B．【點睛】本題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，垂線段最短，作于點，證明，得到，即得，推導(dǎo)出是等邊三角形，得到，，由得，即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作于點，則，

∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：．11．D【分析】根據(jù)可以確定A，D，P，E四點共圓，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定，進(jìn)而確定當(dāng)時，線段取得最小值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理的推論確定，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)可，設(shè)，根據(jù)等角對等邊和勾股定理表示出和，根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半，圓周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中計算即可．【詳解】解：∵于D，于E，∴，∴，∴A、D、P、E四點共圓，且直徑為，∵，是定值，所以直徑最小時，所對的弦最小，此時，在中，∴是等腰直角三角形，，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，則，∵，∴，過D作于M，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，則線段的最小值為故選：D．【點睛】本題考查確定圓的條件，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，含的直角三角形，正確確定何時取得最小值是解題關(guān)鍵．12．C【分析】由是等邊三角形，得，而，故①正確；由，，可判定②正確；過點作于，過點作于，則，，可推出，，則，判定③正確；由可得，進(jìn)而得到，得到，又因為不是中點，故，可判定④錯誤；由，得，則，可判定⑤錯誤．【詳解】解：為等邊三角形，，，四邊形是正方形，，，又，，，，，，在中，，，又，，故①正確；，，，，故②正確；過點作于，過點作于，由題意可得，，，，，故③正確；，，，又與同高，，又，不是中點，，，故④錯誤；，，，，，又，，，故⑤錯誤，綜上所述：正確的結(jié)論有3個，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．13．10【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)合比的性質(zhì)得，進(jìn)而可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故答案為：10．14．【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設(shè)，根據(jù)，，得出再分別用勾股定理求出，故，再運用解直角三角形得出，，代入，化簡即可作答．【詳解】解：如圖，過點A作垂足為H,∵，，設(shè)，∴，∵，，∴，∵，∴，解得∴，，∴，，∴，過點C作垂足為M，∴，，∵,，∴，∴，故答案為：．15．【分析】過點A作于點P，過點B作于點H，過點E作交BC的延長線于點F，由正切函數(shù)得，設(shè)，，利用勾股定理分別求出，，，則，再求出，則，，，進(jìn)而得，，根據(jù)得，設(shè)，，則，，由正切函數(shù)，，即可求解．【詳解】解：過點A作于點P，過點B作于點H，過點E作交的延長線于點F，如圖所示：，在中，，∴設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，∴，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，，，，∴，解得：，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)，勾股定理，掌握似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能構(gòu)建相似三角形，并能熟練利用正切函數(shù)和勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．16．【分析】將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，利用證明，得，，則，即可解決問題．【詳解】解：將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，

是等腰直角三角形，∴∠HBD=45°∵∠FBD=45°∴點B、F、H共線又是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．17．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及解直角三角形分別求出，，，再結(jié)合勾股定理得，因為折疊，得，，，，運用勾股定理得出，，，，再證明，運用兩個相似三角形的高的比等于相似比列式化簡，即可作答．【詳解】解：分別過點，作的延長線，的延長線，且過F作分別交于點，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，，，∵∴，設(shè)，∴在中，，即，∴，∵，的延長線，的延長線，∴，∵，∴∴在中，，，即，，∴，，在中，，則，∵將沿翻折至，，的延長線分別交于，兩點，∴，，，，∴，即，∴，解得，∴∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，則，∴，∴，∵，∴，∴（兩個相似三角形的高的比等于相似比），故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，難度大，綜合性強，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．18．【分析】過點作交、的延長線于點，在上截取，連接，由四邊形是菱形，則，，再由旋轉(zhuǎn)可得，，從而證明是等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)可得∴，，從而，最后由平行線分線段成比例即可求解．【詳解】解：過點作交、的延長線于點，在上截取，連接，∵四邊形是菱形，∴，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴，∴，又∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，，∴DP=2，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，菱形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，作于點，在上取點，使，連接．證明，得出．設(shè)，則，，，，由，根據(jù)余弦定義可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，然后代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：如圖，作于點，在上取點，使，連接．，，菱形，，，，，，，，，．設(shè)，則，，，，，，，，，，，解得，，．故答案為：11．20．【分析】過作交于，設(shè)，則，，由勾股定理得到：，即可求出的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長，由平行線等分線段定理得到的長，由，得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出的長．【詳解】解：過作交于，

設(shè)，則，，∵，∴，∴，∴（舍去負(fù)值），∴，∴，∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理求出CD的長；通過作輔助線構(gòu)造相似三角形．21．(1)，(2)，理由見解析(3)①見解析；②或．【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長交于點；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接；②根據(jù)①中的三種情況討論：第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長、交于點，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無交點，不符合題意．【詳解】（1）解：，為的中點，，，，，，，即，解得，，；故答案為：1；；（2）解：，理由如下：根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點，，；又，，；設(shè)，則，，，，，，，，；（3）解：①第一種情況：作的平行線，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長交于點，，，，，，，即，為的中點；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線，取交的平分線于點，延長交的延長線于點，在射線上取，連接，故為的中點；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作，交的延長線于點，連接，作的垂直平分線；在延長線上取點F，使，連接，則為的中點，同理可證明，從而，故四邊形是平行四邊形；故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：②若按照圖1作圖，由題意可知，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；過P作于H，則，，，，，，；,，，，即

∴若按照圖2作圖，延長、交于點，同理可得：是等腰三角形，連接，，，，，；同理，，，，，，即，

，若按照圖3作圖，則：沒有交點，不存在PE（不符合題意）故答案為：或．【點睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（1）①見解析；②；（2）；（3）或或【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明結(jié)合已知條件，即可證明；②由①可得，，證明，得出，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況討論，①當(dāng)點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，證明，解，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)點在邊上時，如圖所示，連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)點在邊上時，如圖所示，過點作于點，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形，則，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴；②由①可得，∴∴，又∵∴,故答案為：．（2）∵在菱形中，，∴，，則，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴,又，∴，∴，∴；（3）①當(dāng)點在邊上時，如圖所示，延長交的延長線于點，連接，過點作于點，

∵平行四邊形中，，，∴，,∵，∴∴，∴∴在中，，則，，∴∴，∵，∴∴∴∴設(shè)，則，，，∴解得：或，即或，②當(dāng)點在邊上時，如圖所示，

連接，延長交的延長線于點，過點作，則，四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，，∵∴∴，∴∴，∵∴過點作于點，在中，，∴，，∴，則，∴，∴，，∴∴，即，∴即解得：（舍去）即；③當(dāng)點在邊上時，如圖所示，

過點作于點，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴點不可能在邊上，綜上所述，的長為或或．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．23．（1）見解析；（2）；（3）的長為或【分析】（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，同理解得，．【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長，交于，如圖：設(shè)，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設(shè)，則，，，，即，解得，的長為；（3）（Ⅰ）當(dāng)時，延長交于，過作于，如圖：設(shè)，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時，延長交延長線于，過作交延長線于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．24．（1）；；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）或【分析】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）通過證明，可得，即可求解；（2）通過證明，即得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，先求出，的長，用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）如圖：，，，如圖2：繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，，，，，故答案為：；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，，，，；（3）當(dāng)點E在的上方時，如圖：，點E是邊的中點，，，，，D、E、F三點共線，，，，由（2）可得：，，；當(dāng)點E在AB的下方時，如圖：同理可求：，故答案為：或．25．(1)見解析(2)(3)①或；②是，【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）連接并延長交與點N即可．（2）先得出，，由相似三角形的性質(zhì)得出，，分別求出和，最后根據(jù)代入計算即可．（3）①根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，由（2）可知，，由全等三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)，進(jìn)而可得出，再證明，即可由全等三角形的性質(zhì)得出．②方法一：根據(jù)，直接計算即可．方法二：證明，，由相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而可得出，然后求解即可．【詳解】（1）解：圖中線段為所求．（2）解：當(dāng)米時，∵，∴，，，，即，，解得：，，∴．（3）解：①根據(jù)題意畫出圖形：設(shè)，由（2）可知，，，，即，，解得：，，∴，，∵，∴，解得：，∵，∴，∴，即，整理得：或，②方法一：同①可求得，∵，∴，，，，．方法二：∵，∴，，∴，，∴，，，，∴．26．(1)(2)①；②；③【分析】（1）連接、相交于點，由菱形的性質(zhì)得，，，，進(jìn)而得，由勾股定理得，從而，再根據(jù)三角形的中位線判定及性質(zhì)即可得解．（2）①過點作于點，直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，從而，利用勾股定理即可得解；②將延長交延長線于點，由角平分線的定義得，又根據(jù)菱形性質(zhì)得，進(jìn)而得，，，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解；③延長與延長線交于點，過作于點，由①可得：設(shè)，則，．證利用相似三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得，，于是，利用勾股定理即可得解．【詳解】（1）解：如圖，連接、相交于點，∵四邊形是菱形，，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，分別是邊，的中點，∴，故答案為：；（2）解：①過點作于點，∵，∴，∴，∵，∴∴由勾股定理可得：，；②將延長交延長線于點，∵，∴，∵平分∴，∵四邊形是菱形，∴，∴∴，∴，∴∵，∴，∴．③延長與延長線交于點，過作于點，由①可得：∵，∴設(shè)，∴，∴∴．∵四邊項是菱形，∴，∴∴∴即∴∴解得，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形函數(shù)解直角三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)，度直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形函數(shù)解直角三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．(1)見解析(2)當(dāng)時，，；當(dāng)時，，(3)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定即可證明；（2）由正方形和直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)是等腰三角形得出或，則分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一性質(zhì)以及三角形的面積公式分別求解即可；（3）連接交于點K，交于點L，由翻折的性質(zhì)得，，，得出是的垂直平分線，同理（2）的方法證出，，得到，，，，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)表示出的長，進(jìn)而得出，結(jié)合的范圍即可求出線段的最小值．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，又，．（2）解：四邊形是正方形，，，，，，在中，，，為等腰三角形，或；①當(dāng)時，如圖，作于點H，，，，，，，，，，即，又，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，即，，，是等腰直角三角形，，，三點共線，點和點重合，；②當(dāng)時，如圖，作于點H，，，，，，由①中的結(jié)論得，，又，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，，，，，，，即，解得：，；綜上所述，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．（3）解：如圖，連接交于點K，交于點L，由翻折的性質(zhì)得，，，是的垂直平分線，，，，同理（2）的方法可得，，，，，，，設(shè)，則，，由（2）得，，，，，，，，，，，，，又，，，又，當(dāng)時，有最大值20，此時有最小值，線段的最小值為．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理與翻折問題、全等三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，學(xué)會結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強的幾何知識儲備和輔助線構(gòu)造能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生．28．（）見解析；（）；（）【分析】（）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得；（）根據(jù)補角的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根