高三一輪復(fù)習(xí)課件數(shù)學(xué)2.4冪函數(shù)VIP

2.4

冪函數(shù)第二章課標(biāo)要求1.通過具體實(shí)例,了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,

的圖象,了解它們的變化規(guī)律.備考指導(dǎo)本節(jié)重點(diǎn)是冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),復(fù)習(xí)時(shí)要熟記常見的五種冪函數(shù)的圖象特點(diǎn),并由此歸納冪指數(shù)與函數(shù)在第一象限部分的圖象的關(guān)系.此外,要掌握二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.重視數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)

y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).2.五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)冪函數(shù)y=x,,y=x2,y=x-1,y=x3的圖象.(2)五種冪函數(shù)的性質(zhì)

溫馨提示1.冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;2.作直線x=a(a>1),在第一象限,它同各冪函數(shù)的圖象相交,按交點(diǎn)從下到上的順序,冪指數(shù)按從小到大的順序排列.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

問題思考二次函數(shù)的解析式有哪些常用形式?(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-m)2+n(a≠0);(3)零點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).【知識(shí)鞏固】

×××√2.若四個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則a,b,c,d的大小關(guān)系是(

)A.d>c>b>a

B.a>b>c>dC.d>c>a>b

D.a>b>d>cB由冪函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)冪函數(shù)的指數(shù)越大,函數(shù)圖象越接近x軸,由題圖知a>b>c>d,故選B.3.已知函數(shù)y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],則函數(shù)的最小值是

.

-1因?yàn)楹瘮?shù)y=2x2-6x+3的圖象的對(duì)稱軸為直線

,所以函數(shù)y=2x2-6x+3在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=1時(shí)取得最小值,ymin=2-6+3=-1.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1

(1)若冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(

)C拓展延伸

解題心得1.冪函數(shù)的主要性質(zhì):(1)冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都有定義,冪函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(1,1).(2)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(3)當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.(4)冪函數(shù)圖象在第一象限的特點(diǎn):當(dāng)α>1時(shí),曲線下凸;當(dāng)0<α<1時(shí),曲線上凸;當(dāng)α<0時(shí),曲線下凸.2.在比較冪值的大小時(shí),必須結(jié)合冪值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較;準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.DD由冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,可知該函數(shù)為偶函數(shù),所以p為偶數(shù),則q為奇數(shù),因?yàn)閳D象在第一象限內(nèi)向上凸起,且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以能力形成點(diǎn)2求二次函數(shù)的解析式例2

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式.(方法三:交點(diǎn)式)由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)有最大值8,解得a=-4.因此所求函數(shù)的解析式為f(x)=-4x2+4x+7.解題心得確定二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法,選擇規(guī)律如下:對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2,且它有最小值-1,則f(x)的解析式為f(x)=

.

x2+2x因?yàn)閒(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和-2,所以可設(shè)f(x)=ax(x+2)(a≠0),此時(shí)f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a.解得a=1.因此f(x)的解析式為f(x)=x(x+2)=x2+2x.能力形成點(diǎn)3二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題例3

設(shè)函數(shù)y=x2-2x,x∈[-2,a],若函數(shù)的最小值為m,求m.解

因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x=(x-1)2-1,所以其圖象的對(duì)稱軸為直線x=1.由于x=1不一定在區(qū)間[-2,a]內(nèi),當(dāng)-2<a≤1時(shí),函數(shù)在區(qū)間[-2,a]上單調(diào)遞減,則當(dāng)x=a時(shí),y取得最小值,即ymin=a2-2a;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,a]上單調(diào)遞增,則當(dāng)x=1時(shí),y取得最小值,即ymin=-1.解題心得二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng),不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是明確圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系.當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論,確定了對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,就明確了函數(shù)的單調(diào)性,從而確定函數(shù)的最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)=x2-6x-16的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)閇-25,-9],則實(shí)數(shù)m的取值集合是(

)A.[3,6] B.[3,7]C.[6,7] D.{7}D由題意,f(x)=x2-6x-16=(x-3)2-25,即f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱且f(x)min=f(3)=-25,∵f(x)的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)閇-25,-9],又f(0)=-16,∴m>3.令f(x)=-9,x>3,解得x=7,故m=7.第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升數(shù)形結(jié)合思想在冪函數(shù)中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)會(huì)起到意想不到的簡便作用,我們?cè)诮忸}過程中,要緊緊把握好這一數(shù)學(xué)思想方法,使題目得到快速的解決.解:設(shè)f(x)=xα,將點(diǎn)

的坐標(biāo)代入,得α=2,故f(x)=x2;同理可得g(x)=x-2.在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與g(x)的圖象,如圖所示.由圖象可知(1)當(dāng)x>1或x<-1時(shí),f(x)>g(x);(2)當(dāng)x=±1時(shí),f(x)=g(x);(3)當(dāng)-1<x<1,且x≠0時(shí),f(x)<g(x).解題心得函數(shù)的圖象在解方程和不等式中有著重要的應(yīng)用,正確地畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決這類問題的關(guān)鍵;正確地求出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn),把不等式問題轉(zhuǎn)化成圖象的交點(diǎn)問題,從而寫出正確的答案,在數(shù)學(xué)中是一種重要的轉(zhuǎn)化方法.變式訓(xùn)練(多選)已知實(shí)數(shù)a,