2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第二章　§2.6　二次函數(shù)與冪函數(shù)VIP

§2.6二次函數(shù)與冪函數(shù)課標要求1.通過具體實例,了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等).1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0,＋∞)上都有定義；②當α>0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上單調(diào)遞增；③當α<0時,冪函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,＋∞)上單調(diào)遞減；④當α為奇數(shù)時,y＝xα為奇函數(shù)；當α為偶數(shù)時,y＝xα為偶函數(shù).2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),頂點坐標為(m,n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域4-對稱軸x＝－b頂點坐標-奇偶性當b＝0時是偶函數(shù),當b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在-∞,-b在-b2在-∞,-b在-b21.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝12x12是冪函數(shù).((2)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸下方,則a<0且Δ<0.(√)(3)二次函數(shù)y＝a(x－1)2＋2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,＋∞).(×)(4)若冪函數(shù)y＝xα是偶函數(shù),則α為偶數(shù).(×)2.已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點14,2,則f(4)等于A.0 B.12 C.－12 D.答案B解析設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xn,因為其圖象過點14,2,則14n＝2,即2－解得n＝－12,所以f(x)＝x-12,則f3.函數(shù)f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是()A.[0,1] B.-C.[1,2] D.-答案D解析f(x)＝2x2－x－1＝2x因為－1≤x≤1,所以f(x)在-1,14上單調(diào)遞減,在14,1上單調(diào)遞增,且又f(1)＝2－1－1＝0,f(－1)＝2＋1－1＝2,故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域為-94.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞,－3]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是.

答案(－∞,4]解析由函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞,－3]上單調(diào)遞減,可得－2(a-1)2≥－3,即a故實數(shù)a的取值范圍是(－∞,4].1.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)當α<0時,冪函數(shù)在區(qū)間(0,＋∞)上單調(diào)遞減.在第一象限內(nèi),當x從右邊趨向原點時,圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸,當x趨于＋∞時,圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.(2)任何冪函數(shù)的圖象與坐標軸僅相交于原點,或不相交,任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限.(3)任何兩個冪函數(shù)的圖象最多有三個公共點.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一點都不是兩個冪函數(shù)的公共點.2.謹防三個易誤點(1)冪函數(shù)f(x)＝xmn(m,n互質(zhì)),當m為偶數(shù)時,函數(shù)為偶函數(shù)；當m為奇數(shù),n為偶數(shù)時(2)二次函數(shù)在區(qū)間單調(diào),求參數(shù)取值范圍時等號的處理；(3)含有參數(shù)的二次函數(shù)定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間問題的討論.題型一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)下列命題中正確的是()A.當m＝0時,函數(shù)y＝xm的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0),(1,1)兩點C.冪函數(shù)y＝xm的圖象不可能在第四象限內(nèi)D.若冪函數(shù)y＝xm為奇函數(shù),則y＝xm是定義域內(nèi)的增函數(shù)答案C解析對于A,當m＝0時,函數(shù)y＝xm的圖象是直線y＝1除去點(0,1),所以A項不正確；對于B,冪函數(shù)的冪指數(shù)小于0時,圖象不經(jīng)過點(0,0),所以B項不正確；對于C,冪函數(shù)y＝xm的圖象不可能在第四象限內(nèi),所以C項正確；對于D,當m＝－1時,冪函數(shù)y＝xm為奇函數(shù),但在定義域內(nèi)不是增函數(shù),所以D項不正確.(2)如圖所示,圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±12四個值,則相對應(yīng)曲線C1,C2,C3,C4的n依次為(A.－2,－12,12,2 BC.－12,－2,2,12 D.2,1答案B解析根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì),在第一象限內(nèi)的圖象：當n>0時,n越大,y＝xn遞增速度越快,所以曲線C1的n＝2,C2的n＝12當n<0時,|n|越大,曲線越陡峭,所以曲線C3的n＝－12,C4的n＝－思維升華(1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域,即x＝1,y＝1,y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值確定位置后,其余象限部分由奇偶性決定.(2)在比較冪值的大小時,必須結(jié)合冪值的特點,選擇適當?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進行比較.跟蹤訓(xùn)練1(1)冪函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m-3在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,則實數(shù)A.2或－1 B.－1C.2 D.－2或－1答案B解析由題意可知,m2－m－1＝1,解得m＝－1或m＝2,當m＝－1時,f(x)＝x－3,函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,成立；當m＝2時,f(x)＝x3,函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,不成立,所以m＝－1.(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù)),則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)的圖象恒過定點(1,1)B.當α＝－1時,函數(shù)f(x)是減函數(shù)C.當α＝3時,函數(shù)f(x)是奇函數(shù)D.當α＝12時,函數(shù)f(x)的值域為(0,＋∞答案AC解析f(1)＝1α＝1,A正確；當α＝－1時,f(x)＝1x分別在(－∞,0),(0,＋∞)上單調(diào)遞減,在定義域上不單調(diào),B當α＝3時,f(x)＝x3的定義域為R,且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),C正確；當α＝12時,f(x)＝x的值域為[0,＋∞),D錯誤題型二二次函數(shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,試確定該二次函數(shù)的解析式.解方法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由題意得4解得a所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用“頂點式”解題)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因為f(2)＝f(－1),所以拋物線的對稱軸為x＝2所以m＝12又根據(jù)題意,函數(shù)有最大值8,所以n＝8,所以f(x)＝ax-12因為f(2)＝－1,所以a2-122＋8解得a＝－4,所以f(x)＝－4x-122＋8＝－4x2＋4方法三(利用“零點式”解題)由已知得f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2,x2＝－1,故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0),即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8,即4a(-2a解得a＝－4.故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.思維升華求二次函數(shù)解析式的三個策略(1)已知三個點的坐標,宜選用一般式.(2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點式.(3)已知圖象與x軸的兩交點的坐標,宜選用零點式.跟蹤訓(xùn)練2已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,3),對稱軸為直線x＝2,且方程f(x)＝0的兩個根的平方和為10,則f(x)的解析式為.

答案f(x)＝x2－4x＋3解析依題意,設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0),由二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,3),得f(0)＝3,所以4a＋h＝3,即h＝3－4a,所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a,令f(x)＝0,即a(x－2)2＋3－4a＝0,所以ax2－4ax＋3＝0,設(shè)方程的兩根為x1,x2,則x1＋x2＝4,x1x2＝3所以x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1所以16－6a＝10,解得a＝1所以f(x)＝x2－4x＋3.題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題點1二次函數(shù)的圖象例3(多選)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1與g(x)＝xa在同一直角坐標系中的圖象不可能為()答案BD解析因為f(x)＝ax2－2x＋1,g(x)＝xa,對于A,當a＝－1時,f(x)＝－x2－2x＋1,其圖象開口向下,對稱軸方程為x＝－1,g(x)＝x－1＝1x,其圖象關(guān)于原點對稱,且在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,故對于B,當f(x)＝ax2－2x＋1的圖象開口向上時,a>0,此時g(x)＝xa在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故B不滿足要求；對于C,當a＝12時,f(x)＝12x2－2x＋1,其圖象開口向上,對稱軸方程為x＝2,g(x)＝x12,其圖象在[0,＋∞)上單調(diào)遞增,對于D,當f(x)＝ax2－2x＋1的圖象開口向上時,a>0,此時其對稱軸方程為x＝－-22a＝1a>0一元二次方程根的分布解決由一個一元二次方程根的分布情況，確定方程中系數(shù)的取值范圍問題，主要從以下三個方面建立關(guān)于系數(shù)的不等式(組)進行求解.(1)判別式Δ的符號.(2)對稱軸x＝－b2a(3)區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.典例已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若方程的兩個不相等的實數(shù)根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)依題意知，函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的圖象與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得f(0)＝解得－56<m<－1故實數(shù)m的取值范圍為-5(2)依題意知，函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的圖象與x軸的交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，畫出示意圖，得f即m>-12,m>-12,故實數(shù)m的取值范圍為-1命題點2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值例4(2025·福州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍；(2)若a>0,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a),求g(a)的表達式.解(1)由題意知a≠0.當a>0時,f(x)＝ax2－x＋2a－1的圖象開口向上,對稱軸方程為x＝1所以f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減需滿足12a≥又a>0,所以0<a≤14當a<0時,f(x)＝ax2－x＋2a－1的圖象開口向下,對稱軸方程為x＝12a所以f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減恒成立.綜上,a的取值范圍是(－∞,0)∪0,1(2)①當0<12a≤1,即a≥1f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,此時g(a)＝f(1)＝3a－2.②當1<12a<2,即14<a<f(x)在區(qū)間1,12a上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增,此時g(a)＝f

12a＝2a－1③當12a≥2,即0<a≤1f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,此時g(a)＝f(2)＝6a－3.綜上所述,g(a)＝6思維升華二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動,不論哪種類型,解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,當含有參數(shù)時,要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域是[－1,m],值域為-254,0,則mA.(0,4] B.3C.32,3 D答案B解析設(shè)f(x)＝x2－3x－4＝x-322所以f(x)的圖象是開口向上的拋物線,其對稱軸方程為x＝32,所以f

32＝－254,易知f(－1)＝f(4由圖可知,要使函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域是[－1,m],值域為-則m的取值范圍是32(2)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋2在區(qū)間[a,b]上的值域為[－2,2],則b－a的取值范圍是.

答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2,得x＝0或x＝4,解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2,得x＝2,由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域為[－2,2].若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則[a,b]＝[0,2]或[a,b]＝[2,4],此時b－a取得最小值2；若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不單調(diào),且當b－a取最大值時,[a,b]＝[0,4],所以b－a的最大值為4,所以b－a的取值范圍是[2,4].課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分,共30分)1.若冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過第三象限,則α的值可以是()A.－2 B.2 C.12 D.答案D解析當α＝－2時,f(x)＝x－2為偶函數(shù),圖象在第一和第二象限,不經(jīng)過第三象限,A不符合題意；當α＝2時,f(x)＝x2為偶函數(shù),圖象過原點,分布在第一和第二象限,不經(jīng)過第三象限,B不符合題意；當α＝12時,f(x)＝x12,x∈[0,＋∞),圖象過原點,分布在第一象限,當α＝13時,f(x)＝x13,x∈R,為奇函數(shù),圖象經(jīng)過原點和第一、三象限2.已知a＝243,b＝323,c＝A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案A解析由題意得b＝323<42a＝243＝423<4<5所以b<a<c.3.函數(shù)f(x)＝1x2-8xA.(－∞,3) B.(3,4]C.(5,＋∞) D.(4,＋∞)答案C解析由f(x)＝1x2-8x＋15可得x2－8x＋15>0,解得由y＝x2－8x＋15圖象的對稱軸為x＝4,則y＝x2－8x＋15在[4,＋∞)上單調(diào)遞增,故f(x)＝1x2-8x＋15的單調(diào)遞減區(qū)間為(4.已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函數(shù),且函數(shù)g(x)＝f(x)－(2a－6)x在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞,4) B.(－∞,4]C.[6,＋∞) D.(－∞,4]∪[6,＋∞)答案C解析因為冪函數(shù)f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函數(shù),則m2－5m＋5＝1,解得m＝1或m＝4,當m＝1時,f(x)＝x－1,該函數(shù)是定義域為{x|x≠0}的奇函數(shù),不符合題意；當m＝4時,f(x)＝x2,該函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù),符合題意.所以f(x)＝x2,則g(x)＝x2－(2a－6)x,其對稱軸方程為x＝a－3,因為g(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,則a－3≥3,解得a≥6.5.已知m>1,點(1－m,y1),(m,y2),(m＋1,y3)都在二次函數(shù)y＝x2－2x的圖象上,則()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1C.y1＝y(tǒng)3<y2 D.y2<y1＝y(tǒng)3答案D解析二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1,其圖象的對稱軸方程為x＝1,而(1－m)＋(1＋m)＝2,所以f(1－m)＝f(1＋m),即y1＝y(tǒng)3,當x>1時,f(x)單調(diào)遞增,因為m>1,所以m＋1>m>1,所以f(m＋1)>f(m),即y2<y3,綜上,y2<y1＝y(tǒng)3.6.已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標是(2,2),且截x軸所得線段的長度是4,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移2個單位長度,得到拋物線y＝g(x)的圖象,則拋物線y＝g(x)的圖象與y軸的交點坐標為()A.(0,－8) B.(0,－6)C.(0,－2) D.(0,0)答案B解析因為二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標為(2,2),故f(x)的對稱軸為直線x＝2,又f(x)的圖象截x軸所得線段的長度是4,所以f(x)的圖象與x軸的交點坐標為(0,0)和(4,0),設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋2(a≠0),將點(0,0)代入得a(－2)2＋2＝0,解得a＝－1所以f(x)＝－12(x－2)2＋2因為g(x)的圖象為f(x)的圖象向右平移2個單位長度得到的,所以g(x)＝f(x－2)＝－12(x－2－2)2＋2＝－12(x－4)2＋令x＝0,則g(0)＝－12×(0－4)2＋2＝－6所以g(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,－6).二、多項選擇題(每小題6分,共12分)7.冪函數(shù)f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3,m∈N*,則下列結(jié)論正確的有()A.m＝1B.函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C.f(－2)<f(3)D.函數(shù)f(x)的值域為(0,＋∞)答案AD解析由f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3為冪函數(shù)可得2m2＋m－2＝1,解得m＝1或m＝－32,又m∈N*,所以m＝1.所以f(x)＝x－2＝1x因為函數(shù)f(x)的定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),關(guān)于原點對稱,由f(－x)＝1(-x)2＝1x2＝f(x),知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),由于－2<0,故f(x)＝x－2在區(qū)間(0,＋∞)上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)知f(x)＝x－2在區(qū)間(－∞f(－2)＝1(-2)2＝14>19＝1因為f(x)的定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),則x2>0,所以f(x)＝1x2的值域為(0,＋∞),故D8.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分,其對稱軸是直線x＝－1,且過點(－3,0),下列說法正確的是()A.abc<0B.2a－b＝0C.3a＋c＝0D.若(－5,y1),(3,y2)是拋物線上兩點,則y1>y2答案ABC解析由圖知該拋物線開口向上,故a>0,∵對稱軸是直線x＝－1,∴－b2a＝－1,故b＝2a>0,即2a－b＝0,故∵拋物線與y軸的交點在x軸下方,∴c<0,故A正確；由拋物線對稱性得該函數(shù)圖象必過點(1,0),可得a＋b＋c＝0,結(jié)合b＝2a,可得3a＋c＝0,故C正確；易知點(－5,y1),(3,y2)到對稱軸距離相等,故y1＝y(tǒng)2,故D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)9.(2024·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx,若?x∈R,f(1－x)＝f(1＋x),則m＝.

答案－2解析因為?x∈R,f(1－x)＝f(1＋x),函數(shù)f(x)的對稱軸為直線x＝1,而由f(x)＝x2＋mx＝x＋m22－m24可知其對稱軸為直線x＝－m2,故10.如圖為三個冪函數(shù)y＝xa1,y＝xa2,y＝xa3在其定義域上的局部圖象,則實數(shù)a1,a2,a3從小到大的排列順序為答案a1<a2<a3解析對于y＝x由其圖象可知a1<0；對于y＝xa2,由其圖象可知0<a對于y＝xa3,由其圖象可知a所以a1<a2<a3.四、解答題(共28分)11.(13分)已知冪函數(shù)f(x)＝(2k－1)xm2-2m-3(m∈N*)為偶函數(shù),且在(0,(1)求m和k的值；(6分)(2)求滿足(2a＋1)－m<(3－2a)－m的實數(shù)a的取值范圍.(7分)解(1)由函數(shù)f(x)＝(2k－1)xm2-2m-3為冪函數(shù),則2k－1＝1,由f(x)＝xm2-2m-3(m∈N*)在(0,＋∞)上單調(diào)遞減,得m2－2m－3<0,解得而m∈N*,故m＝1或2,當m＝1時,f(x)＝x－4,定義域為{x|x≠0},且f(x)為偶函數(shù),符合題意；當m＝2時,f(x)＝x－3,定義域為{x|x≠0},函數(shù)為奇函數(shù),不符合題意,故m＝1,k＝1.(2)由(1)得m＝1,則(2a＋1)－1<(3－2a)－1,即12a＋1<13-2a,故2a＋1>3－2a>0或0>2a＋1>3－2a或2解得12<a<32或a∈?或a<－故實數(shù)a的取值范圍為-∞,-112.(15分)已知二次函數(shù)f(x)的