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文檔簡介
2025年中考數(shù)學總復習《與圓的切線有關的計算》專項測試卷(附答
案)
學校:姓名:班級:考號:
1.如圖1,在VABC中,ABAC=45°,以"為直徑作O。交AC于點D,且AD=CD.
(2)如圖2,在。。上取一點E,連接AE,BE,DE.若BE=a,AD』.
①求AE的長;
②求VADE的面積.
2.如圖,A5是。。的直徑,點。在。。上,的平分線交°。于點。,過點。
作AB的平行線交C4的延長線于點E.
⑵若=AE=非,求圖中陰影部分的面積.
3.如圖,PA為。。的切線,A為切點,過A作ABLOP,垂足為C,交。。于點2,
延長8。與PA的延長線交于點D.
B
(1)求證:尸3為。。的切線;
⑵若m=8,AD=4,求厚的長.
4.如圖,在VA2C中,AC=BC,ZACB=120°,AC的垂直平分線”N交AB于點。,以
。為圓心,以為半徑作0。.
⑴求證:BC是。。的切線;
(2)若0。的半徑為4,求圖中陰影部分的面積(結果保留根號和兀).
5.如圖,A5是。。的直徑,點E是劣弧上一點,ZPAD=ZAED,且£>E=1,AE平
分NBAD,AE與班)交于點
⑴求證:尸4是O。的切線;
⑵若tan/ZME=;,求跖的長;
⑶延長DE,A8交于點C,若03=BC,求Q0的半徑.
6.如圖,AB為VABC外接圓°。的直徑,點尸是。。外一點,ZACP=ZABC,延長PC
交AB延長線于點,
OB
AD
C
P
(1)求證:尸。為。。的切線;
(2)若ZD=30。,BC=4,求圖中陰影部分的面積.
7.如圖,A5是。。的直徑,ZCAB=45°,BC=BA.連接OC交。。于。.
⑴求證:BC是。。的切線;
(2)若AB=2,求8的長.
8.菱形的頂點5,C,。在。。上,O在線段&C上.
(1)如圖1,若是0。的切線,求NADC的大?。?/p>
(2)如圖2,若AB=2^,AC=8,AB與0。交于點E,求砥的長.
9.如圖,A5是。。的直徑,弦。與A8相交,ABAC=35°
c
圖①圖②
D°
(D如圖①,若4)=匝>,求/4BC和-4B£>的度數(shù);
(2)如圖②,過點。作。。的切線,與的延長線交于點P,若D"AC,求/OCD的度
數(shù).
10.如圖,。。的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型,其中整鐘點為4(?
為1~12的整數(shù)),過點4作。。的切線交弦AAi延長線于點P.
⑴通過計算比較直徑和劣弧哪個更長;
(2)求切線長時的值.
H.如圖,。。的半徑為5,將該圓周12等分后得到表盤模型,其中整鐘點為4(?
為1?12的整數(shù)),過點4作。。的切線交AAl延長線于點尸.
(1)通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長;
⑵連接46,則44和PA有什么特殊位置關系?請簡要說明理由;
⑶求切線長尸4的值.
12.如圖,已知A8是0。的直徑,為0。的內接三角形,C為胡延長線上一
點,連接8,。尸,AD于點E,交。于點尸,/ADC=/AOF.
⑴求證:8是0。的切線.
⑵若sinC=;,BD=2sf3,求的長.
13.如圖,。。是VABC的外接圓,BC是直徑,AC=5,AB=15,。是弦8C下方弧BC
上的點(與5、。均不重合).連接DC并延長交過A點的直線于E點,連接
^AE2=CEDE.
(1)請直接寫出^ABC的正切函數(shù)值,即tanZABC=;
(2)求證:AE是。。的切線;
⑶設AD與BC交于點尸,點尸在OC上(與。、。均不重合),過下點作WAC,
垂足為G,CG=2.與ZA產(chǎn)C的大小相關的三個結論:ZAFC>45°,ZAFC=45°,ZAFC<45°,
你認為哪個正確?請說明理由.
14.已知AB,CD是0。的直徑,M為8D的中點,連接BC,DM.
圖②
(1)如圖①,若NG4B=2。。求^ABC和ZCDM的大小;
(2)如圖②,過點C作的切線,交的延長線于點尸,弦的與CM交于點N,若
ZABC=2NBCP,MN=2,求0。的直徑.
15.在0。中,為0。的弦,連接OAOB,ZABO=30°,
⑴如圖1,若半徑于點。,CD=l,求弦AB的長;
⑵如圖2,"N為。。的切線,點尸為切點,且跖V//OB,過點尸作尸7FAB于點尸,
與半徑08相交于點E.若0。的半徑是3,求OE的長.
參考答案
1.⑴見解析
(2)①2岳②3
【分析】本題考查了圓的幾何性質、切線的判定定理、勾股定理和三角形面積計
算公式,熟練掌握是解題的關鍵.
(1)即證明小,蛇,方法一:連接3D,則AD,班),得BD為AC的垂直平分線,SA=3C,
根據(jù)等腰三角形性質可得ZBC4=ZBAC=45。,ZABC=180°-ZBCA-ABAC=90°,即
ABLBC.方法二:連接OD,貝|tM=0D,ZAOZ)=180°-ZADO-ABAC=90°,再證明8為
VABC的中位線,得8〃%,即可得證.
(2)①先求出的長,因為為直徑,所以△但是直角三角形,根據(jù)勾股定理
即可求出AE的長;②過點A作A7UDE與點尸,根據(jù)圓周角性質得ZA£D=NABD=45。,
易得AF=EF瀉AE,再根據(jù)勾股定理求出OE,得AF、上的長,即可求出VADE的面
積.
【詳解】(1)解:方法一:連接加,
???延是。。的直徑,..ZADB=90°.
-.■AD=CD,二3D為AC的垂直平分線.
:.BA=BC,ZBCA=ZBAC=45°,
ZABC=180°-ZBCA-ABAC=90°,gpAB±BC.
又QOB為。。的半徑,RC是0。的切線.
方法二:連接
■.■OA=OD,:.ZADO=ZBAC=45°.
ZAOD=180°-ZADO-ZBAC=90°.
又YOA=OB,AD=CD,
為VABC的中位線.
:.OD//BC,:.ZABC=ZAOD=90°,即ASLBC.
又Q08為。。的半徑,力C是0。的切線.
(2)解:①方法一:???在RtaAB£>中,NB4c=45。,
AD
vcosZBAC=——,貝=
cosZBAC
???鉆是。。的直徑,ZAEB=90°.
■■在RtAABE中,AB=V10,BE=也,
AE=\lAB2-BE2=V10-2=272.
方法二:???在RtAAOD中,ABAC=45°,
cosZBAC=—,
AD
:.OA=AD-cosZBAC=s/5x—=^~,
22
:.AB=2OA=y/10,
?.?AB是。。的直徑,:.ZAEB=90°.
在RtAABE中,AB=Vw,BE=^2,
AE=y/AB2-BE2=V10-2=:2A/2.
②過點A作"IDE與點F.
ZABD=90°-ABAC=45°
又?.?AO=AZ),:.ZAED=ZABD=45°,
AF=AE-smZAED=2A/2X—=2,
2
在Rt^AFE和RtAAFD中,
EF=S]AE2-AF2=2,DF=^AD2-AF2=1.
??,DE=EF+DF=2+1=3.
.?MWE的面積為:|z)ExAF=1x3x2=3.
.?Y4DE的面積為3.
2.⑴見解析
(2)5-7t
【分析】(1)如圖,連接題》,OD,AD,首先由直徑得到ZAD3=90。,然后證明出
AD=DB,得到然后推出ODLED,即可證明OE是。。的切線;
(2)如圖所示,過點A作中垂線AF,首先證明出四邊形A8尸為正方形,設圓
半徑為凡利用勾股定理求出尺=2,得到助=;42=3,然后利用陰影面積
二S梯形AEDO-S扇形40。代數(shù)求解即可.
【詳解】(1)解:如圖,連接題》,OD,AD
:A3是。。的直徑,
/.ZADB=90°
???。。平分-4C6
,ZACD=/DCB
:.AD=DB
.ZADB為等腰直角三角形
:.OD±AB
■.■ED//AB
:.OD1ED
?*.E。為。。的切線;
(2)解:如圖所示,過點4作即垂線質
EFD
■:FD//AO
:.AF±AB
,/OD1ED
???四邊形A8P為矩形
又AO=D0
J矩形48尸為正方形
設圓半徑為H
31
???DE=-AB,FD=OA=-AB,
42
3111
:.EF=DE-FD=-AB——AB=-AB=-R
4242
AE2=AF2+EF2
解得:R=2,負值舍去
3
/.ED=-AB=3
4
,陰影面積=5梯形皿-S扇物加=;(AO+ED)x£>O-
=-(2+3)x2--7ix22
2V)4
=5-71.
【點睛】本題考查了切線的判定,圓周角定理,正方形性質與判定,勾股定理,
扇形面積公式等知識點,能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.
3.⑴見解析
⑵申=6
【分析】本題考查了勾股定理、垂徑定理、切線的判定與性質,熟練掌握是解題
的關鍵.
(1)連接。A,根據(jù)切線的性質得到/。20。,證明⑻啜根據(jù)全等三角
形的性質得到N。3/。但。。,根據(jù)切線的判定定理證明結論;
(2)根據(jù)切線的性質得尸4=尸3,尸為直角三角形,根據(jù)勾股定理解方程可得PA
的長.
【詳解】(1)證明:連接OA,
VAB.LOP,OB=OA,
/.ZBOP=ZAOP,
???以是0。的切線,
NO4P=90。,
在△Ob尸與4P中,
OB=OA
/BOP=ZAOP,
OP=OP
△OBP^Aa4P(SAS),
/.ZOBP=ZOAP=9Q0,
OBLPB,
...尸8是O。的切線;
(2)PA.PB為0。的切線,
/.PA=PB,
*?BD=8,AD=4f
在RMDi3P中,PD2=PB2+BD2,SP(PA+4)2=PA2+82,
解得PA=6.
PA=6.
4.(1)見解析;
⑵84一|兀.
【分析】(1)連接。已由中垂線的性質得出3=。。,由等腰三角形的性質得出
ZACO=ZA=30°.求出/OCB=90。,則可得出答案;
(2)求出NCW=60。,BC=40,由扇形的面積公式可得出答案.
【詳解】(1)證明:如圖所示,連接。C.
二點C在。。上.
vAC=BC,ZACfi=120°,
.?.NA=N3=30。.
\-OA=OC,
.\ZACO=ZA=30°.
.\ZOCB=ZACB-ZACO=90°.
即OC1BC,
是。。的切線.
(2)解:?.?ZA=30。,
.-.ZCOD=2ZA=60°.
.v_60萬⑷8
"mDOC~360=3n,
在RLAOCB中,BC=OCtan60°=4有,
$陰影=;*4百*4一g萬=84一g".
【點睛】本題考查了切線的判定和性質,線段垂直平分線的性質,扇形的面積公
式,解直角三角形,熟練掌握切線的判定與性質和相關公式是解題的關鍵.
5.⑴見解析
(2)所=;
(3)6
【分析】(1)證明4AS=90。,即尸ALAS,結合AB是。。的直徑,即可證明結論;
(2)連接。E,EB,根據(jù)ZZME=ZBAE,易得DE=BE=1,再由“直徑(半圓)所對
的圓周角為直角”可得川〃。3,AELEB,即△?!£)尸和△麻下為直角三角形,由三角
函數(shù)可得tanZEBF=tan/DAE==然后求解即可;
tLDZ
(3)過點3作3G〃AD,交。C于G,證明AD〃OE,易得OE〃BG,進而可得DE=EG=GC;
設0。的半徑為x,則=二無,證明ACGBSAQM,結合相似三角形的性質可得
3
AD=3GB=-x,在RtADBG和RtAADB中,由勾股定理可得DB?=DG?-G4=皿?一仞2,
代入數(shù)值并求得x的值,即可獲得答案.
【詳解】(1)證明:〈AB是。。的直徑,
ZADB=90°,
/DAB+/DBA=90°,
?AD=AD9
ZAED=ZABD,
?.?ZPAD=ZAED,
ZPAD=ZABD,
/.ZBAD+/PAD=/BAD+ZABD=90。,
即NR4B=90。,
PA±AB,
又?「AB是。。的直徑,
...PA是0。的切線;
(2)如圖,連接OE,EB,
AE平分NS4D,
「?ZDAE=ZBAE,
/.DE=BE=1
「A5是。。的直徑,
/.AD±DB,AE±EB9
ZADF=ZBEF=90°,
:6E=6E
ZDAE=/DBE,
tanZEBF=tanZDAE=—,
2
?EF_1
??EB-2'
/.EF=-EB=~-
229
(3)如圖,過點3作5G〃AD,交。。于G,
?.?OA=OE,
ZOEA=ZOAE,
*/AE平分/BAD,
,ZDAE=ZAEO,
,ZDAE=ZOEA,
/.AD//OE,
OE//BG,
*/AO=OB=BC,
:.DE=EG=GC,
設00的半徑為x,則G2=:OE=;x,
AD//BG,
:./CGB=ZCDA,ZCBG=ACAD,
/.SGBs&DA,
?CGGB_1
?*CD-AD-3,
3
/.AD=3GB=-x,
2
VAD±DB,AD//BG
DBLGB,
;DE=1,
「?DG=2DE=2,
在R3D3G中,DB2=£>G2-GB2,
在RtAADB中,DB"=AB"-ADr,
即4-gx)=(2尤)2一11,
整理可得Y=2
解得x=&或x=-應(舍去),
。。的半徑為加.
【點睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角、平行線的判定與性質、相似三角
形的判定與性質、平行線分線段定理、三角函數(shù)、勾股定理等知識,正確作出輔
助線,綜合運用相關知識是解題關鍵.
6.⑴見解析
(2)84-:
【分析】(1)連接。C,利用圓周角定理,直角三角形的性質,等腰三角形的性
質,證明OCLCD.
(2)根據(jù)切線性質,計算〃OC=60。,得到等邊三角形AfiOC,根據(jù)特殊角的三角
函數(shù)值,求得@8.根據(jù)5陰影扇形計算即可;本題考查了切線的證明,
三角函數(shù),圓周角定理,熟練掌握切線的證明,三角函數(shù),圓周角定理是解題的
關鍵.
【詳解】(1)連接。C,
,/OA=OC,
ZOAC=ZOCA.
AB為VABC外接圓GO的直徑,
ZACB=90°.
:.ZABC+ZOAC=90°.
":ZABC=ZACP.
:.ZACP+ZOCA=90°.
NOCP=90°.
OC±DC.
.\尸。是。。的切線.
(2)連接”,
丁尸。是。。的切線,
/.NOCD=90。,
*/"=30。,
/.ZDOC=60°,
OB=OC,3C=4,
??必。。是等邊三角形,
/.OB=OC=BC=4,
tanD=tan30°=----
CDCD3
解得8=4百,
S陰影-S^ooc-S扇形3。。,
2
0144/760x^-x4
S阻影=-X4X4V3-------
陰影2360
=84一.
7.(1)見解析;
⑵百-1.
【分析】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、勾股定理;解題關鍵是熟
練掌握切線的判定方法.
(1)先由8C=創(chuàng)求出〃CB=NG4B,再根據(jù)三角形內角和求出ZABC=90。,即可得出
結論;
(2)先求出半徑,再根據(jù)勾股定理即可求出OC,得出8.
【詳解】(1)證明:VBC=BA,ZCAB=45°,
/.ZACB=ZCAB=45°9
:.ZABC=180°-45°-45°=90°,
即AB_L5C,
,BC是O。的切線;
(2)解:由(1)可知,ZABC=90°,
AB是。。的直徑,
OD=OB=-AB=\,BC=2,
2
??oc=V22+I2=y/5,
/.CD=OC-OD=y/5-l.
8.(l)ZAZ>C=120°
⑵BE菩
【分析】
(1)連接。8,則可得N&4C+ZAO3=90。;由菱形的性質及等腰三角形的性質得
ZAOB=2ZOCB=2ZBAC,由此可求得NOBC,進而求得結果;
(2)連接OR直,過點5作3尸上AC于尸,過點。作ON,助于N;由菱形的性質
及勾股定理可求得3F的長;設圓的半徑的廣,則在RLM。中由勾股定理可求得廠
的值;
由面積相等則可求得ON,再由勾股定理及等腰三角形的性質即可求得的.
【詳解】(I)解:如圖,連接。8,
丁是0。的切線,
/.ZABO=90°,
即ZBAC+ZAOB=90°;
???四邊形"CD是菱形,
/.ZBAC=ZOCB,ZADC=ZABC;
.*OB=OC,
/.ZOCB=ZOBC9
ZOCB=ZOBC=ZBAC,
,ZAOB=2ZOCB=2ZBAC,
ZOBC+2ZOBC=90°,
/.=30°,
/.ZADC=ZABC=ZABO+ZOBC=120。;
(2)解:如圖,連接ORO石,過點5作瓦JAC于尸,過點。作ON,成于N;
:四邊形"CD是菱形,BF±AC,
:.AF=-AC=4,
2
由勾股定理得BF=ylAB2-AF2=V24-16=2叵;
設圓的半徑的廣,則。/=4-r,
在RtZXMO中,由勾股定理得:(2A/2)2+(4-r)2=r2,
解得:-3,
JOA=AC-OC=5;
;
'S△A.Cn/Rtf=2-OABF=-AB2ON7,
.八“OABF5x2近5A
??(JN=----------=------7=—=-----;
AB2A/63
在RCO3N中,由勾股定理得:BN=dOB2-OM=卜*=與,
.OB=OE,ONLAB,
【點睛】本題考查了圓的切線性質,菱形的性質,勾股定理及等腰三角形的性質,
綜合運用這些性質與定理是解題的關鍵.
9.(1)ZABC=55°,NABD=45。
(2)27.5°
【分析】(1)根據(jù)"是。。的直徑,得到ZACB=ZAT?=90。,
結合NBAC=35。,可求/ABC;結合AD=3£>,可求ZABD=Na4D=45。.
(2)連接OD,則NOr?=90。,根據(jù)。尸〃AC得/無9=/尸=35。,
繼而得到“8=55。,根據(jù)OA=OC得至I]ZBAC=ZOCA=35°,繼而得到
ZBOC=ABAC+ZOCA=70°ZDOC=Z.POC+ADOP=125°,根據(jù)等腰三角形的性質計算
即可.
【詳解】(1)TAB是。。的直徑,
ZACB=ZADB=90°,
':ZBAC=35°,
:.ZABC=90°-ABAC=55°;
*.*AD=BD,
ZABD=ZBAD=45°.
(2)連接on,丁方是。。的切線,
I.ZODB=90°,
'/DP//AC,
/.ZBAC=ZP=35°9
/.2OOP=55。,
OA=OC
/.ZBAC=ZOC4=35°,
/.ZBOC=ABAC+ZOCA=70°,
/.ZDOC=ZPOC+ZDOP=125°,
OD=OC
180?!?25。
ZOCD==275。.
2
【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角,圓周角定理,切線的性質定理,
平行線的性質,直角三角形的兩個銳角互余,等腰三角形的性質,三角形外角性
質,熟練掌握圓周角定理,切線性質定理是解題的關鍵.
10.(1)4、比直徑長
(2)PA=126
【分析】(1)利用弧長公式求解即可.
(2)解直角三角形求出尸4即可.
【詳解】(1)解:連接。4,
■■■44比直徑長.
(2)解:連接44,
???尸4是。。的切線,
/.PA7_LAJA7,
,"44=9?!?
???/尸44=60。,A4=i2,
PAj=44tan60°=120.
【點睛】本題考查正多邊形與圓,切線的性質,圓周角定理,弧長公式,解直角
三角形等知識,解題的關鍵是熟練掌握正多邊形與圓的關系,屬于中考??碱}型.
11.(D4AJ匕直徑長;
(2)PA1IA7A1,見解析;
⑶10瓦
【分析】(1)分別求出劣弧和直徑的長,比較大小;
(2)連接44,44,求出/44A=90。,即可得出垂直的位置關系;
(3)根據(jù)圓周角定理求得"44=;404=60。,又即是。。的切線,利用三角函
數(shù)求解即可.
【詳解】(1)由題意,ZA7OA.=120°,
120^x510萬1八
,44的長==——>10,
1803
比直徑長.
...ZA7A1A=9O°,
...PA,4A
(3):尸4是。。的切線,
,尸4,44,
...ZPA.A=90°,
:/必4=60。,44=1。,
【點睛】此題考查了切線的性質、弧長公式、圓周角定理以及勾股定理等知識,
解題的關鍵是靈活運用相關性質進行求解.
12.(1)詳見解析
(2)2
【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形,解題關鍵是熟練運用切線的判
定定理進行證明,利用圓的性質得出等邊三角形,運用三角函數(shù)求解;
(1)連接O。,根據(jù)。尸,4)和=證明即可;
(2)根據(jù)sinC=;得出/C=30。,/COD=60。,得出△。⑦是等邊三角形,再根據(jù)三角
函數(shù)求解即可.
【詳解】(1)證明:如圖,連接“,
-.-OFLAD,
:.ZAEO=90°,
^OAD+^AOF=90°,
OA=OD,
:.ZOAD=ZODA,
-.?ZADC=ZAOF,
ZADC+ZODA=90°f
NODC=90°,
/.OD1CD
??PD是O。的半徑,
丁?CD是0。的切線;.
(2)解:在RtZXOOC中,sinC=g,
.\ZC=30°,ZCOD=60°9
OA=OD,
?^OAD是等邊三角形,
/.ZOAD=60°,
,??M是直徑,
:.ZBDA=90°,
BDBD26
在RtZXABD中,
tan^BADtan60°6
13.(1)|
(2)見解析
(3)ZAFC=45°,理由見解析
【分析】(1)利用直徑所對圓周角是直角得到N創(chuàng)。=9。。,再根據(jù)正切函數(shù)定義
tanZABC=,代入AC=5、扉=15計算得出結果.
An
AF
(2)先由AE2=CE.£>E得出苗=弁,結合ZE=Z£證明△ACBSWUJ,得到/C4E=ZD,
DEAn
再通過圓的性質及等量代換推出NE£+NOAC=9。。,即/。4E=90。,從而證明結論.
(3)過點C作“,必,先利用平行線性質得出NCyG=NCBA,結合三角函數(shù)值求
出FG長度,再通過相似三角形得出PG長度,進而得到五P=04,證明力切三AAS,
得出FH=CH,根據(jù)等腰直角三角形的性質證明ZAFC=45。.
【詳解】(1)解:.?FC是。。的直徑,
/.ZBAC=90°,
在RtZXABC中,tanZABC=——,AC=5,AB=15
AB9
:.tan/ABC=』=!
153
(2)證明:如圖,連接A。,
.AECE
9,~DE~~^*
?:ZE=ZE,
:./\ACE^ADAE,
.\ZCAE=ZD.
-:OB=OA,
..NB=NBAO,
???"=",
:.ZCAE=ZBAO.
???5C是。。的直徑,
:.ZBAC=90°,
.\ZBAO+ZOAC=90°,
ZCAE+ZOAC=90°,即ZOAE=90°,
:.OA±AE.
???OA是。。的半徑,
是。。的切線.
(3)NAFC=45。,理由如下:
如圖,過點C作“,桁,垂足為H,CH與FG交于點P,
/.FG[IAB,
:.ZCFG=ZCBA,
:.tanZCFG=tanZCBA=-
3,
?;CG=2,
:.FG=6,
???ZAFG=ZPCG,ZAGF=ZPGC,
???△AFGsAPCG,
.FGAG
**CG-PG'
.6_J_
"i-PG'
:.PG=1,
:.FP=5,
:.FP=CA,
APFH^AACH(AAS),
FH=CH,
■.■ZFHC=90°,
,△八才是等腰直角三角形,
:.ZAFC=45°.
【點睛】本題考查了圓的相關性質、相似三角形的判定與性質、切線的判定以及
三角函數(shù)的應用,解題關鍵是熟練運用上述知識,通過邊與角的關系進行推理和
計算.
14.(l)ZABC=70°,ZCDM=55°
(2)473
【分析】(1)由圓周角定理得4cB=90。,即得NABC=90。-NC43=70。,進而根據(jù)等
腰三角形的性質得NOCB="3C=70。,即可得ZDCM=/BCM=;/。惚=35。,最后根據(jù)
ZDMC=90。即可求解;
(2)由切線的性質得NOG3+4c尸=90。,進而得NO
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