2025年中考數(shù)學總復習《與圓的切線有關的計算》專項測試卷（附答案）

2025年中考數(shù)學總復習《與圓的切線有關的計算》專項測試卷(附答

案)

學校:姓名：班級：考號：

1.如圖1,在VABC中，ABAC=45°,以"為直徑作O。交AC于點D,且AD=CD.

(2)如圖2,在。。上取一點E,連接AE,BE,DE.若BE=a,AD』.

①求AE的長；

②求VADE的面積.

2.如圖，A5是。。的直徑，點。在。。上，的平分線交°。于點。，過點。

作AB的平行線交C4的延長線于點E.

⑵若=AE=非，求圖中陰影部分的面積.

3.如圖，PA為。。的切線，A為切點，過A作ABLOP,垂足為C,交。。于點2,

延長8。與PA的延長線交于點D.

B

(1)求證：尸3為。。的切線；

⑵若m=8,AD=4,求厚的長.

4.如圖，在VA2C中，AC=BC,ZACB=120°,AC的垂直平分線”N交AB于點。，以

。為圓心，以為半徑作0。.

⑴求證：BC是。。的切線；

(2)若0。的半徑為4,求圖中陰影部分的面積(結果保留根號和兀).

5.如圖，A5是。。的直徑，點E是劣弧上一點，ZPAD=ZAED,且￡>E=1,AE平

分NBAD,AE與班)交于點

⑴求證：尸4是O。的切線；

⑵若tan/ZME=；,求跖的長;

⑶延長DE,A8交于點C,若03=BC,求Q0的半徑.

6.如圖，AB為VABC外接圓°。的直徑，點尸是。。外一點，ZACP=ZABC,延長PC

交AB延長線于點，

OB

AD

C

P

(1)求證：尸。為。。的切線；

(2)若ZD=30。，BC=4,求圖中陰影部分的面積.

7.如圖，A5是。。的直徑，ZCAB=45°,BC=BA.連接OC交。。于。.

⑴求證：BC是。。的切線；

(2)若AB=2,求8的長.

8.菱形的頂點5,C,。在。。上，O在線段&C上.

(1)如圖1,若是0。的切線，求NADC的大?。?/p>

(2)如圖2,若AB=2^,AC=8,AB與0。交于點E,求砥的長.

9.如圖，A5是。。的直徑，弦。與A8相交，ABAC=35°

c

圖①圖②

D°

(D如圖①，若4)=匝＞,求/4BC和-4B￡＞的度數(shù)；

(2)如圖②，過點。作。。的切線，與的延長線交于點P,若D"AC,求/OCD的度

數(shù).

10.如圖，。。的半徑為6,將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點為4(?

為1~12的整數(shù))，過點4作。。的切線交弦AAi延長線于點P.

⑴通過計算比較直徑和劣弧哪個更長；

(2)求切線長時的值.

H.如圖，。。的半徑為5,將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點為4(?

為1?12的整數(shù))，過點4作。。的切線交AAl延長線于點尸.

(1)通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長；

⑵連接46,則44和PA有什么特殊位置關系？請簡要說明理由;

⑶求切線長尸4的值.

12.如圖，已知A8是0。的直徑，為0。的內接三角形，C為胡延長線上一

點，連接8,。尸，AD于點E,交。于點尸，/ADC=/AOF.

⑴求證：8是0。的切線.

⑵若sinC=；,BD=2sf3,求的長.

13.如圖，。。是VABC的外接圓，BC是直徑，AC=5,AB=15,。是弦8C下方弧BC

上的點(與5、。均不重合).連接DC并延長交過A點的直線于E點，連接

^AE2=CEDE.

(1)請直接寫出^ABC的正切函數(shù)值，即tanZABC=；

(2)求證：AE是。。的切線；

⑶設AD與BC交于點尸，點尸在OC上(與。、。均不重合)，過下點作WAC,

垂足為G,CG=2.與ZA產(chǎn)C的大小相關的三個結論：ZAFC>45°,ZAFC=45°,ZAFC<45°,

你認為哪個正確？請說明理由.

14.已知AB,CD是0。的直徑，M為8D的中點，連接BC,DM.

圖②

(1)如圖①，若NG4B=2。。求^ABC和ZCDM的大小;

(2)如圖②，過點C作的切線，交的延長線于點尸，弦的與CM交于點N,若

ZABC=2NBCP,MN=2,求0。的直徑.

15.在0。中，為0。的弦，連接OAOB,ZABO=30°,

⑴如圖1,若半徑于點。，CD=l,求弦AB的長；

⑵如圖2,"N為。。的切線，點尸為切點，且跖V//OB,過點尸作尸7FAB于點尸，

與半徑08相交于點E.若0。的半徑是3,求OE的長.

參考答案

1.⑴見解析

(2)①2岳②3

【分析】本題考查了圓的幾何性質、切線的判定定理、勾股定理和三角形面積計

算公式，熟練掌握是解題的關鍵.

(1)即證明小，蛇,方法一：連接3D,則AD，班),得BD為AC的垂直平分線，SA=3C,

根據(jù)等腰三角形性質可得ZBC4=ZBAC=45。，ZABC=180°-ZBCA-ABAC=90°,即

ABLBC.方法二：連接OD,貝|tM=0D,ZAOZ)=180°-ZADO-ABAC=90°,再證明8為

VABC的中位線，得8〃%,即可得證.

（2）①先求出的長，因為為直徑，所以△但是直角三角形，根據(jù)勾股定理

即可求出AE的長；②過點A作A7UDE與點尸，根據(jù)圓周角性質得ZA￡D=NABD=45。，

易得AF=EF瀉AE,再根據(jù)勾股定理求出OE,得AF、上的長，即可求出VADE的面

積.

【詳解】（1）解：方法一：連接加，

???延是。。的直徑，..ZADB=90°.

-.■AD=CD,二3D為AC的垂直平分線.

:.BA=BC,ZBCA=ZBAC=45°,

ZABC=180°-ZBCA-ABAC=90°,gpAB±BC.

又QOB為。。的半徑，RC是0。的切線.

方法二：連接

■.■OA=OD,:.ZADO=ZBAC=45°.

ZAOD=180°-ZADO-ZBAC=90°.

又YOA=OB,AD=CD,

為VABC的中位線.

:.OD//BC,:.ZABC=ZAOD=90°,即ASLBC.

又Q08為。。的半徑，力C是0。的切線.

(2)解：①方法一：???在RtaAB￡>中，NB4c=45。,

AD

vcosZBAC=——,貝=

cosZBAC

???鉆是。。的直徑，ZAEB=90°.

■■在RtAABE中，AB=V10,BE=也，

AE=\lAB2-BE2=V10-2=272.

方法二：???在RtAAOD中，ABAC=45°,

cosZBAC=—,

AD

:.OA=AD-cosZBAC=s/5x—=^~,

22

:.AB=2OA=y/10,

?.?AB是。。的直徑，:.ZAEB=90°.

在RtAABE中，AB=Vw,BE=^2,

AE=y/AB2-BE2=V10-2=：2A/2.

②過點A作"IDE與點F.

ZABD=90°-ABAC=45°

又?.?AO=AZ),：.ZAED=ZABD=45°,

AF=AE-smZAED=2A/2X—=2,

2

在Rt^AFE和RtAAFD中,

EF=S]AE2-AF2=2,DF=^AD2-AF2=1.

??,DE=EF+DF=2+1=3.

.?MWE的面積為：|z)ExAF=1x3x2=3.

.?Y4DE的面積為3.

2.⑴見解析

(2)5-7t

【分析】(1)如圖，連接題》,OD,AD,首先由直徑得到ZAD3=90。，然后證明出

AD=DB,得到然后推出ODLED,即可證明OE是。。的切線；

(2)如圖所示，過點A作中垂線AF,首先證明出四邊形A8尸為正方形，設圓

半徑為凡利用勾股定理求出尺=2,得到助=；42=3,然后利用陰影面積

二S梯形AEDO-S扇形40。代數(shù)求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，連接題》,OD,AD

:A3是。。的直徑,

/.ZADB=90°

???。。平分-4C6

，ZACD=/DCB

:.AD=DB

.ZADB為等腰直角三角形

:.OD±AB

■.■ED//AB

:.OD1ED

?*.E。為。。的切線；

(2)解：如圖所示，過點4作即垂線質

EFD

■：FD//AO

:.AF±AB

,/OD1ED

???四邊形A8P為矩形

又AO=D0

J矩形48尸為正方形

設圓半徑為H

31

???DE=-AB,FD=OA=-AB,

42

3111

:.EF=DE-FD=-AB——AB=-AB=-R

4242

AE2=AF2+EF2

解得：R=2,負值舍去

3

/.ED=-AB=3

4

，陰影面積=5梯形皿-S扇物加=；（AO+ED）x￡>O-

=-（2+3）x2--7ix22

2V）4

=5-71.

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正方形性質與判定，勾股定理,

扇形面積公式等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵.

3.⑴見解析

⑵申=6

【分析】本題考查了勾股定理、垂徑定理、切線的判定與性質，熟練掌握是解題

的關鍵.

（1）連接。A,根據(jù)切線的性質得到/。20。，證明⑻啜根據(jù)全等三角

形的性質得到N。3/。但。。，根據(jù)切線的判定定理證明結論；

（2）根據(jù)切線的性質得尸4=尸3,尸為直角三角形，根據(jù)勾股定理解方程可得PA

的長.

【詳解】（1）證明：連接OA,

VAB.LOP,OB=OA,

/.ZBOP=ZAOP,

???以是0。的切線，

NO4P=90。,

在△Ob尸與4P中,

OB=OA

/BOP=ZAOP,

OP=OP

△OBP^Aa4P(SAS),

/.ZOBP=ZOAP=9Q0,

OBLPB,

...尸8是O。的切線；

(2)PA.PB為0。的切線，

/.PA=PB,

*?BD=8,AD=4f

在RMDi3P中，PD2=PB2+BD2,SP(PA+4)2=PA2+82,

解得PA=6.

PA=6.

4.(1)見解析;

⑵84一|兀.

【分析】(1)連接。已由中垂線的性質得出3=。。，由等腰三角形的性質得出

ZACO=ZA=30°.求出/OCB=90。，則可得出答案；

(2)求出NCW=60。，BC=40,由扇形的面積公式可得出答案.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接。C.

二點C在。。上.

vAC=BC,ZACfi=120°,

.?.NA=N3=30。.

\-OA=OC,

.\ZACO=ZA=30°.

.\ZOCB=ZACB-ZACO=90°.

即OC1BC,

是。。的切線.

(2)解：?.?ZA=30。，

.-.ZCOD=2ZA=60°.

.v_60萬⑷8

"mDOC~360=3n，

在RLAOCB中，BC=OCtan60°=4有，

$陰影=；*4百*4一g萬=84一g".

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，線段垂直平分線的性質，扇形的面積公

式，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質和相關公式是解題的關鍵.

5.⑴見解析

(2)所=；

(3)6

【分析】(1)證明4AS=90。，即尸ALAS,結合AB是。。的直徑，即可證明結論；

(2)連接。E,EB,根據(jù)ZZME=ZBAE,易得DE=BE=1,再由“直徑(半圓)所對

的圓周角為直角”可得川〃。3,AELEB,即△?!￡)尸和△麻下為直角三角形，由三角

函數(shù)可得tanZEBF=tan/DAE==然后求解即可；

tLDZ

(3)過點3作3G〃AD,交。C于G,證明AD〃OE,易得OE〃BG,進而可得DE=EG=GC；

設0。的半徑為x,則=二無，證明ACGBSAQM,結合相似三角形的性質可得

3

AD=3GB=-x,在RtADBG和RtAADB中，由勾股定理可得DB?=DG?-G4=皿?一仞2,

代入數(shù)值并求得x的值，即可獲得答案.

【詳解】(1)證明：〈AB是。。的直徑，

ZADB=90°,

/DAB+/DBA=90°,

?AD=AD9

ZAED=ZABD,

?.?ZPAD=ZAED,

ZPAD=ZABD,

/.ZBAD+/PAD=/BAD+ZABD=90。,

即NR4B=90。，

PA±AB,

又?「AB是。。的直徑，

...PA是0。的切線；

(2)如圖，連接OE,EB,

AE平分NS4D,

「?ZDAE=ZBAE,

/.DE=BE=1

「A5是。。的直徑,

/.AD±DB,AE±EB9

ZADF=ZBEF=90°,

:6E=6E

ZDAE=/DBE,

tanZEBF=tanZDAE=—,

2

?EF_1

??EB-2'

/.EF=-EB=~-

229

(3)如圖，過點3作5G〃AD,交。。于G,

?.?OA=OE,

ZOEA=ZOAE,

*/AE平分/BAD,

，ZDAE=ZAEO,

，ZDAE=ZOEA,

/.AD//OE,

OE//BG,

*/AO=OB=BC,

：.DE=EG=GC,

設00的半徑為x,則G2=：OE=；x,

AD//BG,

：./CGB=ZCDA,ZCBG=ACAD,

/.SGBs&DA,

?CGGB_1

?*CD-AD-3，

3

/.AD=3GB=-x,

2

VAD±DB,AD//BG

DBLGB,

;DE=1,

「?DG=2DE=2,

在R3D3G中，DB2=￡>G2-GB2,

在RtAADB中，DB"=AB"-ADr,

即4-gx）=（2尤）2一11,

整理可得Y=2

解得x=&或x=-應（舍去），

。。的半徑為加.

【點睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角、平行線的判定與性質、相似三角

形的判定與性質、平行線分線段定理、三角函數(shù)、勾股定理等知識，正確作出輔

助線，綜合運用相關知識是解題關鍵.

6.⑴見解析

（2）84-：

【分析】（1）連接。C,利用圓周角定理，直角三角形的性質，等腰三角形的性

質，證明OCLCD.

（2）根據(jù)切線性質，計算〃OC=60。，得到等邊三角形AfiOC,根據(jù)特殊角的三角

函數(shù)值，求得@8.根據(jù)5陰影扇形計算即可；本題考查了切線的證明，

三角函數(shù)，圓周角定理，熟練掌握切線的證明，三角函數(shù)，圓周角定理是解題的

關鍵.

【詳解】（1）連接。C,

,/OA=OC,

ZOAC=ZOCA.

AB為VABC外接圓GO的直徑，

ZACB=90°.

：.ZABC+ZOAC=90°.

"：ZABC=ZACP.

：.ZACP+ZOCA=90°.

NOCP=90°.

OC±DC.

.\尸。是。。的切線.

(2)連接”,

丁尸。是。。的切線,

/.NOCD=90。，

*/"=30。，

/.ZDOC=60°,

OB=OC,3C=4,

??必。。是等邊三角形,

/.OB=OC=BC=4,

tanD=tan30°=----

CDCD3

解得8=4百,

S陰影-S^ooc-S扇形3。。,

2

0144/760x^-x4

S阻影=-X4X4V3-------

陰影2360

=84一.

7.(1)見解析;

⑵百-1.

【分析】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、勾股定理；解題關鍵是熟

練掌握切線的判定方法.

(1)先由8C=創(chuàng)求出〃CB=NG4B,再根據(jù)三角形內角和求出ZABC=90。，即可得出

結論；

(2)先求出半徑，再根據(jù)勾股定理即可求出OC,得出8.

【詳解】(1)證明：VBC=BA,ZCAB=45°,

/.ZACB=ZCAB=45°9

：.ZABC=180°-45°-45°=90°,

即AB_L5C,

，BC是O。的切線；

(2)解：由(1)可知，ZABC=90°,

AB是。。的直徑，

OD=OB=-AB=\,BC=2,

2

??oc=V22+I2=y/5,

/.CD=OC-OD=y/5-l.

8.(l)ZAZ>C=120°

⑵BE菩

【分析】

(1)連接。8,則可得N&4C+ZAO3=90。；由菱形的性質及等腰三角形的性質得

ZAOB=2ZOCB=2ZBAC,由此可求得NOBC,進而求得結果；

(2)連接OR直，過點5作3尸上AC于尸，過點。作ON,助于N;由菱形的性質

及勾股定理可求得3F的長；設圓的半徑的廣，則在RLM。中由勾股定理可求得廠

的值；

由面積相等則可求得ON，再由勾股定理及等腰三角形的性質即可求得的.

【詳解】(I)解：如圖，連接。8,

丁是0。的切線，

/.ZABO=90°,

即ZBAC+ZAOB=90°；

???四邊形"CD是菱形，

/.ZBAC=ZOCB,ZADC=ZABC；

.*OB=OC,

/.ZOCB=ZOBC9

ZOCB=ZOBC=ZBAC,

，ZAOB=2ZOCB=2ZBAC,

ZOBC+2ZOBC=90°,

/.=30°,

/.ZADC=ZABC=ZABO+ZOBC=120。；

(2)解：如圖，連接ORO石，過點5作瓦JAC于尸，過點。作ON，成于N;

:四邊形"CD是菱形，BF±AC,

：.AF=-AC=4,

2

由勾股定理得BF=ylAB2-AF2=V24-16=2叵;

設圓的半徑的廣，則。/=4-r，

在RtZXMO中，由勾股定理得：(2A/2)2+(4-r)2=r2,

解得：-3,

JOA=AC-OC=5；

；

'S△A.Cn/Rtf=2-OABF=-AB2ON7,

.八“OABF5x2近5A

??(JN=----------=------7=—=-----；

AB2A/63

在RCO3N中，由勾股定理得：BN=dOB2-OM=卜*=與,

.OB=OE,ONLAB,

【點睛】本題考查了圓的切線性質，菱形的性質，勾股定理及等腰三角形的性質，

綜合運用這些性質與定理是解題的關鍵.

9.(1)ZABC=55°,NABD=45。

(2)27.5°

【分析】(1)根據(jù)"是。。的直徑，得到ZACB=ZAT?=90。，

結合NBAC=35。，可求/ABC；結合AD=3￡>,可求ZABD=Na4D=45。.

(2)連接OD,則NOr?=90。，根據(jù)。尸〃AC得/無9=/尸=35。，

繼而得到“8=55。,根據(jù)OA=OC得至I]ZBAC=ZOCA=35°,繼而得到

ZBOC=ABAC+ZOCA=70°ZDOC=Z.POC+ADOP=125°,根據(jù)等腰三角形的性質計算

即可.

【詳解】(1)TAB是。。的直徑，

ZACB=ZADB=90°,

'：ZBAC=35°,

：.ZABC=90°-ABAC=55°；

*.*AD=BD,

ZABD=ZBAD=45°.

(2)連接on,丁方是。。的切線，

I.ZODB=90°,

'/DP//AC,

/.ZBAC=ZP=35°9

/.2OOP=55。,

OA=OC

/.ZBAC=ZOC4=35°,

/.ZBOC=ABAC+ZOCA=70°,

/.ZDOC=ZPOC+ZDOP=125°,

OD=OC

180?！?25。

ZOCD==275。.

2

【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理，切線的性質定理,

平行線的性質，直角三角形的兩個銳角互余，等腰三角形的性質，三角形外角性

質，熟練掌握圓周角定理，切線性質定理是解題的關鍵.

10.(1)4、比直徑長

(2)PA=126

【分析】(1)利用弧長公式求解即可.

(2)解直角三角形求出尸4即可.

【詳解】(1)解：連接。4,

■■■44比直徑長.

（2）解:連接44,

???尸4是。。的切線,

/.PA7_LAJA7,

,"44=9?！?

???/尸44=60。，A4=i2,

PAj=44tan60°=120.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，切線的性質，圓周角定理，弧長公式，解直角

三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形與圓的關系，屬于中考?？碱}型.

11.（D4AJ匕直徑長；

（2）PA1IA7A1,見解析；

⑶10瓦

【分析】（1）分別求出劣弧和直徑的長，比較大小；

(2)連接44,44,求出/44A=90。，即可得出垂直的位置關系；

(3)根據(jù)圓周角定理求得"44=；404=60。，又即是。。的切線，利用三角函

數(shù)求解即可.

【詳解】(1)由題意，ZA7OA.=120°,

120^x510萬1八

，44的長==——>10,

1803

比直徑長.

...ZA7A1A=9O°,

...PA，4A

(3)：尸4是。。的切線,

，尸4，44,

...ZPA.A=90°,

:/必4=60。，44=1。,

【點睛】此題考查了切線的性質、弧長公式、圓周角定理以及勾股定理等知識,

解題的關鍵是靈活運用相關性質進行求解.

12.(1)詳見解析

(2)2

【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關鍵是熟練運用切線的判

定定理進行證明，利用圓的性質得出等邊三角形，運用三角函數(shù)求解；

(1)連接O。，根據(jù)。尸，4)和=證明即可；

(2)根據(jù)sinC=；得出/C=30。，/COD=60。，得出△。⑦是等邊三角形，再根據(jù)三角

函數(shù)求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接“，

-.-OFLAD,

:.ZAEO=90°,

^OAD+^AOF=90°,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

-.?ZADC=ZAOF,

ZADC+ZODA=90°f

NODC=90°,

/.OD1CD

??PD是O。的半徑，

丁?CD是0。的切線；.

(2)解：在RtZXOOC中，sinC=g,

.\ZC=30°,ZCOD=60°9

OA=OD,

?^OAD是等邊三角形，

/.ZOAD=60°,

,??M是直徑,

:.ZBDA=90°,

BDBD26

在RtZXABD中,

tan^BADtan60°6

13.(1)|

(2)見解析

(3)ZAFC=45°,理由見解析

【分析】（1）利用直徑所對圓周角是直角得到N創(chuàng)。=9。。，再根據(jù)正切函數(shù)定義

tanZABC=，代入AC=5、扉=15計算得出結果.

An

AF

(2)先由AE2=CE.￡>E得出苗=弁，結合ZE=Z￡證明△ACBSWUJ,得到/C4E=ZD,

DEAn

再通過圓的性質及等量代換推出NE￡+NOAC=9。。，即/。4E=90。，從而證明結論.

（3）過點C作“，必，先利用平行線性質得出NCyG=NCBA,結合三角函數(shù)值求

出FG長度，再通過相似三角形得出PG長度，進而得到五P=04,證明力切三AAS,

得出FH=CH,根據(jù)等腰直角三角形的性質證明ZAFC=45。.

【詳解】（1）解：.?FC是。。的直徑，

/.ZBAC=90°,

在RtZXABC中，tanZABC=——,AC=5,AB=15

AB9

：.tan/ABC=』=!

153

（2）證明：如圖，連接A。，

.AECE

9，~DE~~^*

?：ZE=ZE,

：./\ACE^ADAE,

.\ZCAE=ZD.

-：OB=OA,

..NB=NBAO,

???"=",

:.ZCAE=ZBAO.

???5C是。。的直徑,

:.ZBAC=90°,

.\ZBAO+ZOAC=90°,

ZCAE+ZOAC=90°,即ZOAE=90°,

:.OA±AE.

???OA是。。的半徑，

是。。的切線.

(3)NAFC=45。，理由如下：

如圖，過點C作“，桁，垂足為H,CH與FG交于點P,

/.FG[IAB,

：.ZCFG=ZCBA,

：.tanZCFG=tanZCBA=-

3,

?;CG=2,

:.FG=6,

???ZAFG=ZPCG,ZAGF=ZPGC,

???△AFGsAPCG,

.FGAG

**CG-PG'

.6_J_

"i-PG'

：.PG=1,

：.FP=5,

：.FP=CA,

APFH^AACH(AAS),

FH=CH,

■.■ZFHC=90°,

，△八才是等腰直角三角形，

:.ZAFC=45°.

【點睛】本題考查了圓的相關性質、相似三角形的判定與性質、切線的判定以及

三角函數(shù)的應用，解題關鍵是熟練運用上述知識，通過邊與角的關系進行推理和

計算.

14.(l)ZABC=70°,ZCDM=55°

(2)473

【分析】(1)由圓周角定理得4cB=90。，即得NABC=90。-NC43=70。，進而根據(jù)等

腰三角形的性質得NOCB="3C=70。，即可得ZDCM=/BCM=；/。惚=35。，最后根據(jù)

ZDMC=90。即可求解；

(2)由切線的性質得NOG3+4c尸=90。，進而得NO