上海市十校2025年數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

上海市十校2025年數(shù)學(xué)高二下期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示.則球的半徑是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm2．設(shè)有個不同顏色的球，放入個不同的盒子中，要求每個盒子中至少有一個球，則不同的放法有（）A．種 B．種C．種 D．種3．已知集合，若，則＝()A．或 B．或 C．或 D．或或4．在平行四邊形中，，點在邊上，，將沿直線折起成，為的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與直線共面 B．C．可以是直角三角形 D．5．六位同學(xué)站成一排照相，若要求同學(xué)甲站在同學(xué)乙的左邊，則不同的站法有（）A．種 B．種 C．種 D．種6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．8．等差數(shù)列的前項和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．519．已知函數(shù)，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知隨機變量服從二項分布，則（）A． B． C． D．11．設(shè)全集，，集合，則集合（）A． B． C． D．12．若的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是__________．14．如圖，以長方體的頂?shù)诪樽鴺?biāo)原點，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________15．出租車司機從南昌二中新校區(qū)到老校區(qū)(蘇圃路)途中有個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈是相互獨立的，并且概率都是則這位司機在途中遇到紅燈數(shù)的期望為____.（用分?jǐn)?shù)表示）16．已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且，過弦的中點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P(2,6)，且傾斜角為34π，在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度，以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C與直線l交于點A,B，求|PA|+|PB|．18．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求曲線在點處的切線方程．19．（12分）三個內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的三條邊長分別是，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，，求．20．（12分）一個多面體的三視圖如圖：主視圖和左視圖均為一個正方形上加一個等腰直角三角形，正方形的邊長為，俯視圖中正方形的邊長也為.主視圖和左視圖俯視圖（1）畫出實物的大致直觀圖形；（2）求此物體的表面積；（3）若，一個螞蟻從該物體的最上面的頂點開始爬，要爬到此物體下底面四個項點中的任意一個頂點，最短距離是多少?（精確到個單位）21．（12分）已知展開式中的倒數(shù)第三項的系數(shù)為45，求：（1）含的項；（2）系數(shù)最大的項．22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位,再將所得圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖像,求在上的值域.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)出球的半徑，根據(jù)題意得三個球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，結(jié)合體積公式求解即可．【詳解】設(shè)球半徑為，則由，可得，解得，故選C.本題主要考查了幾何體的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生空間想象能力以及計算能力，是基礎(chǔ)題．2、D【解析】

要求每個盒子中至少有一個球，可將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．【詳解】將兩個顏色的球捆綁在一起，再全排列得選D將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．本題為選擇題還可取特值：令n=1,只有一種放法，排除AB，令n=2有6中放法，選D3、C【解析】或．故選C．點睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素元素的限制條件，明確集合的類型，是數(shù)集，是點集還是其它集合．2、求集合的交、交、補時，一般先化簡，再由交、并、補的定義求解．3、在進(jìn)行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．4、C【解析】

（1）通過證明是否共面，來判斷直線與直線是否共面；（2）取特殊位置，證明是否成立；（3）尋找可以是直角三角形的條件是否能夠滿足；（4）用反證法思想，說明能否成立．【詳解】，如圖，因為四點不共面，所以面，故直線與直線不共面；沿直線折起成，位置不定，當(dāng)面面，此時；取中點，連接，則，若有，則面即有，在中，明顯不可能，故不符合；在中，,，而，所以當(dāng)時，可以是直角三角形；本題通過平面圖形折疊，考查學(xué)生平面幾何知識與立體幾何知識銜接過渡能力，涉及反證法、演繹法思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力．5、C【解析】

先作分類，甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有；甲在左邊第五位，有；然后直接相加求解即可【詳解】甲在左邊第一位，有；甲在左邊第二位，有；甲在左邊第三位，有；甲在左邊第四位，有甲在左邊第五位，有；不同的站法有種，選C.本題考查排列問題，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】由題設(shè)中提供的三視圖中的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是一個底面是邊長分別為３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱錐，如圖，將其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以頂角的余弦為，則，底面三角形的外接圓的半徑，則三棱錐的外接球的半徑，其表面積，應(yīng)選答案D。7、C【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由復(fù)數(shù)的運算法則可得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8、B【解析】解：由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式有：，解得：，數(shù)列的前13項和：.本題選擇B選項.9、C【解析】

根據(jù)構(gòu)造方程組可求得，得到解析式，根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：由得：，解得：本題正確選項：本題考查根據(jù)函數(shù)值的取值范圍求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)值的等量關(guān)系求得函數(shù)解析式，從而根據(jù)函數(shù)值的范圍構(gòu)造出不等關(guān)系.10、A【解析】

由二項分布的公式即可求得時概率值.【詳解】由二項分布公式：.故選A.本題考查二項分布的公式，由題意代入公式即可求出.11、B【解析】由題得,,所以,,故選B.12、B【解析】由題意知：，所以，故，令得所有項系數(shù)之和為.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、[1，＋∞)【解析】函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)等價于導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間恒大于等于0，故14、【解析】

根據(jù)的坐標(biāo)，求的坐標(biāo)，確定長方體的各邊長度，再求的坐標(biāo).【詳解】點的坐標(biāo)是，，，，，故答案為:.本題考查向量坐標(biāo)的求法，意在考查基本概念和基礎(chǔ)知識，屬于簡單題型.15、【解析】

遇到紅燈相互獨立且概率相同可知，根據(jù)二項分布數(shù)學(xué)期望求解公式求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，司機在途中遇到紅燈數(shù)服從于二項分布，即期望本題正確結(jié)果：本題考查服從于二項分布的隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求解，考查對于二項分布數(shù)學(xué)期望計算公式的掌握，屬于基礎(chǔ)題.16、.【解析】分析：過P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，，可得，由余弦定理得：，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，從而得到本題答案.詳解：如圖：過P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線PA、QB，垂足分別是A、B，設(shè)，，由拋物線定義，得，在梯形中，，，由余弦定理得：，則的最小值為.故答案為：.點睛：本題考查拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì)，基本不等式求最值，余弦定理的應(yīng)用等知識，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x=2-22ty=6+2【解析】試題分析：（1）將代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程x=x0+tcosθy=y0+tsinθ，便可求得參數(shù)方程，利用二倍角公式對試題解析：（1）因為直線l過點P(2,6)，且傾斜角為3π4所以直線l的參數(shù)方程為x=2-22t由ρ=20sin(π所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得(-3-22t)Δ=82>0，可設(shè)t1,t又直線l過點P(2,6)，所以|PA|+|PB|=|t考點：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，點到直線的距離.【思路點睛】直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化時滿足關(guān)系式，即，代入直角坐標(biāo)方程，進(jìn)行化簡可求極坐標(biāo)方程；對于三角形的最大面積，因為底邊已知，所以只要求得底邊上的高線的最大值，即可求得最大面積，在求圓上點到直線的距離時，可以用公式法求，即圓心到直線的距離再加上半徑，也可以用參數(shù)法，距離關(guān)于的函數(shù)的最值.18、（1）極大值為，極小值為（2）【解析】

試題分析：（Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f′（0）：切線的斜率，由解析式求出f（0）的值，根據(jù)點斜式求出曲線在點（0，f（0））處的切線方程，再化為一般式方程試題解析：（1），，．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：當(dāng)時，有極大值，并且極大值為當(dāng)時，有極小值，并且極小值為（2），．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值19、⑴(2)【解析】

⑴由正弦定理及，得，因為，所以；⑵由余弦定理，解得【詳解】⑴由正弦定理得，由已知得，，因為，所以⑵由余弦定理，得即，解得或，負(fù)值舍去，所以解三角形問題，常要求正確選擇正弦定理或余弦定理對三角形中的邊、角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再進(jìn)行求解，同時注意三角形當(dāng)中的邊角關(guān)系，如內(nèi)角和為180度等20、（1）見解析；（2）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三視圖可知幾何體的下部分是正方體，上部分是正四棱錐，畫出幾何體；（2）根據(jù)（1）所畫的幾何體，幾何體的表面積包含5個正方形和4個三角形的面積；（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合，先畫出展開圖的平面圖形，最短距離就是，根據(jù)余弦定理求邊長.【詳解】（1）（2）正視圖中等腰三角形的直角邊是幾何體正四棱錐的斜高，，（3）一個三角形和下面的正方形的的展開圖，如圖所示，當(dāng)時，，，設(shè)，,而，,根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知最短距離就是,,本題考查根據(jù)三視圖求幾何體的直觀圖，以及計算表面積，意在考查空間想象能力和計算求解能力，本題第二問需注意三視圖中等腰三角形的腰是正四棱錐的斜高，等腰三角形斜邊上的高是錐體的高，求解表面積時需注意這點.21、(1)210x3(2)【解析】

（1）由已知得：，即，∴，解得（舍）或，由通項公式得：，令，得，∴含有的項是.（2）∵此展開式共有1