7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差 課件(共22張)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊人教A版

1.離散型隨機(jī)變量的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.2.均值的性質(zhì)：3.隨機(jī)變量X服從兩點分布，則有溫故知新：解：3.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同一種零件，它們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同，在1h內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1，X2，其分布列分別為甲機(jī)床次品數(shù)的分布列乙機(jī)床次品數(shù)的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪臺機(jī)床更好?請解釋你所得出結(jié)論的實際含義.

由此可知，1h內(nèi)甲機(jī)床平均生產(chǎn)1個次品，乙機(jī)床平均生產(chǎn)0.9個次品，所以乙機(jī)床相對更好.

請看課本P67：練習(xí)37.3.2離散型隨機(jī)變量的方差

隨機(jī)變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機(jī)變量的取值圍繞其均值波動，而隨機(jī)變量的均值無法反映波動幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動大小的數(shù)字特征.問題2：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過計算可得，由于兩個均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.

評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.為了能直觀分析甲乙兩名擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下面我們分別作出X和Y的概率分布圖.0671098P0.10.20.30.4XO671098P0.10.20.30.4Y比較兩個圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定.思考：怎樣定量刻畫離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?1.離散型隨機(jī)變量的方差

我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的，隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢？設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.Xx1x2???xnPp1p2???pn隨機(jī)變量X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方為(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，???，(xn－E(X))2.所以偏差平方的平均值為我們把隨機(jī)變量X的這個平均值稱為隨機(jī)變量X的方差，用D(X)表示.(x1－E(X))2P1＋(x2－E(X))2P2＋???＋(xn－E(X))2Pn.一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機(jī)變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.1.離散型隨機(jī)變量的方差

一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與離散型隨機(jī)變量的均值、方差公式對比若一組數(shù)據(jù)為x1，x2，???，xn，則該數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差公式分別為問題2：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.分別計算這兩名同學(xué)的方差，并用此評價他們的射擊水平.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03解：∴隨機(jī)變量Y的取值相對更集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定.變式1：已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求D(X).解：X01234P0.20.20.30.20.1例5：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差解：隨機(jī)變量X的分布列為在方差的計算中，為了使運算簡化，還可以用下面的結(jié)論.證明：例5：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.解法2：隨機(jī)變量X的分布列為2.方差的性質(zhì)探究：離散型隨機(jī)變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣的變化?離散型隨機(jī)變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質(zhì)有什么不同?方差的性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：變式2：隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求E(2X－1)，D(2X－1)，σ(2X).解：均值的性質(zhì)：方差的性質(zhì)：X01234P0.10.20.40.20.1解：1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).

請看課本P70：練習(xí)11.離散型隨機(jī)變量的方差：2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)：為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).

課堂小結(jié)：方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.例6：投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.

解：股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風(fēng)險較高?∵E(X)>E(Y)，∴投資股票A的期望收益較大.∵D(X)>D(Y)，∴投資股票A的風(fēng)險較高.

隨機(jī)變量的方差是一個重要的數(shù)字特征，它刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，或者說反映隨機(jī)變量取值的離散程度.在不同的實際問題背景中，方差可以有不同的解釋.例如，如果隨機(jī)變量是某項技能的測試成績，那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性；如果隨機(jī)變量是加工某種產(chǎn)品的誤差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果隨機(jī)變量是風(fēng)險投資的收益，那么方差的大小反映了投資風(fēng)險的高低；等等.3.甲、乙兩個班級同學(xué)分別目測數(shù)學(xué)教科書的長度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下：

解：

甲班的目測誤差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大，再分別計算X和Y