山西省大同一中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

山西省大同一中2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的所有零點(diǎn)的積為m，則有（）A． B． C． D．2．若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．己知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求（）A． B． C． D．4．設(shè)，，，則的值分別為（）A．18， B．36, C．36， D．18，5．如圖，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．6．設(shè)是平面內(nèi)的兩條不同直線，是平面內(nèi)兩條相交直線，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A．B．C．D．7．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，將數(shù)據(jù)制成莖葉圖如圖，若用樣本估計(jì)總體，年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是（精確到）（）A． B． C． D．8．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律:衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星至地球的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,2c.李明根據(jù)所學(xué)的橢圓知識(shí)，得到下列結(jié)論：①衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c；②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁；③衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．39．在數(shù)學(xué)興趣課堂上，老師出了一道數(shù)學(xué)思考題，某小組的三人先獨(dú)立思考完成，然后一起討論.甲說：“我做錯(cuò)了！”乙對(duì)甲說：“你做對(duì)了！”丙說：“我也做錯(cuò)了！”老師看了他們?nèi)说拇鸢负笳f：“你們?nèi)酥杏星抑挥幸蝗俗鰧?duì)了，有且只有一人說對(duì)了.”請(qǐng)問下列說法正確的是（）A．乙做對(duì)了 B．甲說對(duì)了 C．乙說對(duì)了 D．甲做對(duì)了10．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．11．在（x－）10的展開式中，的系數(shù)是（）A．－27 B．27 C．－9 D．912．已知函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從，中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件“取到的兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件”取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則_______．14．圓柱的高為1，側(cè)面展開圖中母線與對(duì)角線的夾角為60°，則此圓柱側(cè)面積是_________．15．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，，則等于__________．16．校園某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)７艜r(shí)，車頭必須同向；當(dāng)車沒有相鄰時(shí)，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有__________種．（用數(shù)學(xué)作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值；（2）令函數(shù)g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：.19．（12分）隨著網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化，某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購物者進(jìn)行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實(shí)體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購，3名傾向于選擇實(shí)體店．（1）若從10名購物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率；（2）若從這10名購物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且直線與曲線交于兩點(diǎn)，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值21．（12分）已知向量，設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（3）求在上的最大值和最小值22．（10分）已知數(shù)列{an}和b（1）求an與b（2）記數(shù)列{anbn}的前n

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2）（不妨設(shè)x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得m的范圍．【詳解】令f（x）=0，即e-x=|log2x|，

作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，

設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2）

（不妨設(shè)x1＜x2），

結(jié)合圖象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，

即有e-x1=-log2x1，①

e-x2=log2x2，②

由-x1＞-x2，

②-①可得log2x2+log2x1＜0，

即有0＜x1x2＜1，

即m∈（0，1）．

故選：B．本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，以及轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．2、D【解析】

由，得，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增，，，故選D.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).本題是利用方法①求得的范圍.3、A【解析】

設(shè)，判斷奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，求和即可得到所求值．【詳解】解：函數(shù)設(shè)，則即，即，則，又，，可得，即有，故選：．本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)的奇偶性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．4、A【解析】

由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．【詳解】∵Eξ＝12，Dξ＝4，∴np＝12，np（1﹣p）＝4，∴n＝18，p．故選A．本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)和應(yīng)用．5、B【解析】

由已知求得，代入，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：由圖可知，，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是．故選：．本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】試題分析：A．不能得出，所以本題條件是的不充分條件；B．，當(dāng)時(shí)，不一定有故本命題正確；C．不能得出，故不滿足充分條件；D．不能得出，故不滿足充分條件；故選B.考點(diǎn)：平面與平面垂直的方法.7、A【解析】

求出樣本平均值與方差，可得年齡在內(nèi)的人數(shù)有5人，利用古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】,,年齡在內(nèi)，即內(nèi)的人數(shù)有5人，所以年齡在內(nèi)的人數(shù)占公司總?cè)藬?shù)的百分比是等于，故選A.樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)公式．樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.8、C【解析】

根據(jù)橢圓的焦半徑的最值來判斷命題①，根據(jù)橢圓的離心率大小與橢圓的扁平程度來判斷命題②，根據(jù)題中“速度的變化服從面積守恒規(guī)律”來判斷命題③。【詳解】對(duì)于命題①，由橢圓的幾何性質(zhì)得知，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為a-c，最大值為a+c，所以，衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，結(jié)論①正確；對(duì)于命題②，由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)橢圓的離心率e=ca越大，橢圓越扁，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值a-ca+c對(duì)于命題③，由于速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，當(dāng)衛(wèi)星越靠近遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，向徑越大，當(dāng)衛(wèi)星越靠近近地點(diǎn)時(shí)，向徑越小，由于在相同時(shí)間掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以，衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小，結(jié)論③錯(cuò)誤。故選：C。本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓幾何量對(duì)橢圓形狀的影響，在判斷時(shí)要充分理解這些幾何量對(duì)橢圓形狀之間的關(guān)系，考查分析問題的能力，屬于中等題。9、B【解析】

分三種情況討論：甲說法對(duì)、乙說法對(duì)、丙說法對(duì)，通過題意進(jìn)行推理，可得出正確選項(xiàng).【詳解】分以下三種情況討論：①甲的說法正確，則甲做錯(cuò)了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，那么乙做錯(cuò)了，合乎題意；②乙的說法正確，則甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，丙的說法錯(cuò)誤，則丙做對(duì)了，矛盾；③丙的說法正確，則丙做錯(cuò)了，甲的說法錯(cuò)誤，則甲做對(duì)了，乙的說法錯(cuò)誤，則甲做錯(cuò)了，自相矛盾.故選：B.本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，解題時(shí)可以采用分類討論法進(jìn)行假設(shè)，考查推理能力，屬于中等題.10、C【解析】

先由題意得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以虛部為.故選C本題主要考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用，熟記復(fù)數(shù)的概念即可，屬于常考題型.11、D【解析】試題分析：通項(xiàng)Tr＋1＝x10－r（－）r＝（－）rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系數(shù)為9考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理12、D【解析】

根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后利用根的分布情況，進(jìn)行計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】，令，方程有兩個(gè)不等正根，，則：故選：D本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點(diǎn)在于使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡(jiǎn)，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求得事件所包含的基本事件總數(shù)，再求得事件所包含的基本事件總數(shù)，由此求得的值.【詳解】依題意，事件所包含的基本事件為共六種，而事件所包含的基本事件為共三種，故.本小題主要考查條件概型的計(jì)算，考查列舉法，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)圓柱結(jié)構(gòu)特征可知側(cè)面展開圖為矩形，利用正切值求得矩形的長(zhǎng)，從而可得側(cè)面積.【詳解】圓柱側(cè)面展開圖為矩形，且矩形的寬為矩形的長(zhǎng)為：圓柱側(cè)面積：本題正確結(jié)果：本題考查圓柱側(cè)面積的相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15、900【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差，列出關(guān)于和的方程組，可解出的值.【詳解】由題意可得，解得，故答案為.本題考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是這兩個(gè)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、528【解析】(1)當(dāng)三輛車都不相鄰時(shí)有(種)(2)當(dāng)兩輛車相鄰時(shí)有(種)(3)當(dāng)三輛車相鄰時(shí)有(種)則共有(種)點(diǎn)睛：本題考查了排列組合問題，由于本題里是三輛車有六個(gè)位置，所以情況較多，需要逐一列舉出來，注意當(dāng)三輛車都不相鄰時(shí)的情況要考慮周全，容易漏掉一些情況，然后利用排列組合進(jìn)行計(jì)算即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類討論可得原函數(shù)的單調(diào)性并求得極值；（2）對(duì)g（x）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類討論，當(dāng)a≥1時(shí)，易得g（x）為單調(diào)遞增，有g(shù)（x）≥g（1）＝1，符合題意．當(dāng)a＜1時(shí)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，再結(jié)合g（1）＝1，可得當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，g（x）＜1，不符合題意．由此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）．①當(dāng)a≤1時(shí)，f′（x）＜1，可得函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）無極值；②當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞1得：1＜x，可得函數(shù)f（x）在（1，）上單調(diào)遞增．由f′（x）＜1，得：x，可得函數(shù)f（x）在（，+∞）單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）在x時(shí)取極大值為：f（）＝alna﹣2a；（2）由題意有g(shù)（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．g′（x）．①當(dāng)a≥1時(shí)，g′（x）．故當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，g（x）＝alnx﹣ex+ex為單調(diào)遞增函數(shù)；g（x）≥g（1）＝1，符合題意．②當(dāng)a＜1時(shí)，g′（x），令函數(shù)h（x），由h′（x）1，c∈[1，+∞），可知：g′（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，又g′（1）＝a＜1，g′（x），當(dāng)x時(shí)，g′（x）＞1．∴存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，因此函數(shù)g（x）在（1，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增，又g（1）＝1，∴當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，g（x）＜1，不符合題意．綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了利用了進(jìn)行放縮的技巧，是難題．18、(1)-1；(2)；(3)參考解析【解析】試題分析：（1），可知在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以最大值為f(1).(2)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),即在上恒成立．，利用分離參數(shù)在上恒成立，即求的最大值．（3）有兩個(gè)實(shí)根，，兩式相減，又，．要證：，只需證：，令可證．試題解析：（1）函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，所以．（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)，所以在（0，3）恒成立，有=，（）綜上：（3）∵，又有兩個(gè)實(shí)根，∴，兩式相減，得，∴,于是．要證：，只需證：只需證：．(*)令，∴(*)化為，只證即可．在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．∴．（其他解法根據(jù)情況酌情給分）19、（1）（2）【解析】【試題分析】（1）先求事件“隨機(jī)抽取2名，（其中男、女各一名）都選擇網(wǎng)購”概率，再運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率；（2）先確定隨機(jī)變量取法，分別求出對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望解：（1）設(shè)“至少1名傾向于選擇實(shí)體店”為事件A，則表示事件“隨機(jī)抽取2名，（其中男、女各一名）都選擇網(wǎng)購”，則P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）X的取值為0，1，2，1．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=1）=．E（X）=0×+1×+2×+1×=．20、(1).(2).【解析】分析：(1)