上海市延安中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題含解析

上海市延安中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為A． B．45 C． D．3．己知函數(shù)f(x)=x,1<x≤4x|x|,-1≤x≤1，則A．14 B．143 C．74．函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．5．若空間中個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值（）．A．至多等于4 B．至多等于5 C．至多等于6 D．至多等于86．在用反證法證明“已知，且，則中至少有一個(gè)大于1”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（）A．中至多有一個(gè)大于1 B．全都小于1C．中至少有兩個(gè)大于1 D．均不大于17．，則的值為（）A．2B．-2C．8D．-88．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．某導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.001，若發(fā)射10次，記出事故的次數(shù)為，則（）A．0.0999 B．0.001 C．0.01 D．0.0099910．若數(shù)據(jù)的均值為1，方差為2，則數(shù)據(jù)的均值、方差為（）A．1，2 B．1+s，2 C．1，2+s D．1+s，2+s11．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為A． B． C． D．12．已知正三角形的邊長(zhǎng)是，若是內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到三角形三邊的距離之和是定值.若把該結(jié)論推廣到空間，則有：在棱長(zhǎng)都等于的正四面體中，若是正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，那么到正四面體各面的距離之和等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足,則的解集為_(kāi)________．14．一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，每次從袋中摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率為_(kāi)________．15．設(shè)，則__________．16．從長(zhǎng)度分別為的四條線段中，任取三條的不同取法共有種，在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個(gè)數(shù)為，則等于____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）(本小題滿分12分)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。18．（12分）已知數(shù)列滿足,且（1）求及；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）（1）證明不等式：，；（2）已知，；；p是q的必要不充分條件，求的取值范圍.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，求；（3）若存在，使得成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

函數(shù)的單調(diào)性確定的符號(hào)，即可求解，得到答案．【詳解】由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在自變量逐漸增大的過(guò)程中，函數(shù)先遞增，然后遞減，再遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是正，負(fù)，正，正，只有選項(xiàng)C符合題意．故選：C．本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系，其中解答中由的圖象看函數(shù)的單調(diào)性，得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】由已知及等差數(shù)列性質(zhì)有，故選B.3、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義，結(jié)合x(chóng)∈[-1,1]時(shí)f【詳解】函數(shù)f(x)=故選：B．本題主要考查了分段函數(shù)的定積分應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中熟記微積分基本定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解得的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

分析每個(gè)根號(hào)下的范圍，取交集后得到定義域.【詳解】因?yàn)椋?，則定義域?yàn)?故選：D.本題考查函數(shù)含根號(hào)的函數(shù)定義問(wèn)題，難度較易.注意根號(hào)下大于等于零即可.5、A【解析】

當(dāng)時(shí)，一一討論，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，空間三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形時(shí)，可使兩兩距離相等.當(dāng)時(shí)，空間四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正四面體時(shí)，可使兩兩距離相等.不存在為以上的情況滿足條件，故至多等于.故選：A.本小題主要考查正多邊形、正多面體的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

直接利用反證法的定義得到答案.【詳解】中至少有一個(gè)大于1的反面為均不大于1，故假設(shè)應(yīng)為：均不大于1.故選：.本題考查了反證法，意在考查學(xué)生對(duì)于反證法的理解.7、D【解析】試題分析：，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理8、B【解析】,對(duì)應(yīng)點(diǎn),位于第二象限,選B.9、D【解析】

根據(jù)題意服從二項(xiàng)分布，由公式可得求得?！驹斀狻坑捎诿看伟l(fā)射導(dǎo)彈是相互獨(dú)立的，且重復(fù)了10次，所以可以認(rèn)為是10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故服從二項(xiàng)分布，.故選D.本題考查離散型隨機(jī)變量的方差，由服從二項(xiàng)分布的方差公式可直接求出。10、B【解析】

由題意利用均值和方差的性質(zhì)即可確定新的數(shù)據(jù)的方差和均值.【詳解】由題意結(jié)合均值、方差的定義可得：數(shù)據(jù)的均值、方差為,.故選：B.本題主要考查離散型數(shù)據(jù)的均值與方差的性質(zhì)和計(jì)算，屬于中等題.11、A【解析】分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，則，解得．故選A．點(diǎn)睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時(shí)，通常從事件的反而入手可能較簡(jiǎn)單，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．12、B【解析】

將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和，計(jì)算得到答案.【詳解】棱長(zhǎng)都等于的正四面體：每個(gè)面面積為：正四面體的高為：體積為：正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和故答案選B本題考查了體積的計(jì)算，將正四面體的體積分為O為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的三棱錐體積之和是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)條件可得單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，進(jìn)而利用單調(diào)性和奇偶性求解．【詳解】的解集為的解集，令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)有，所以，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以的解集為的解集，由單調(diào)性可知，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以解集為本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．14、【解析】試題分析：口袋中五個(gè)球分別記為從中摸出兩球的方法有：共種，其中顏色相同的有共四種，有古典概率的求法可知．考點(diǎn)：古典概率的求法．15、【解析】由正態(tài)分布中三個(gè)特殊區(qū)間上的概率知，∴．答案：16、【解析】

分別求出即可．【詳解】從4條長(zhǎng)度不同的線段中任取3條，共有4種取法，即，可組成三角形的只有一種，因此，∴．故答案為：．本題考查事件的概念，求事件的個(gè)數(shù)．解題時(shí)可用列舉法列出任取3條線段的所有可能以及滿足組成三角形的個(gè)數(shù)，從而得，．列舉法是我們常用的方法．能組成三角形的判定關(guān)鍵是兩個(gè)較小的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)度．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）E=0.【解析】（1）設(shè)：“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1-P（C）=1-P=，解得P=………………4分（2）由題意，P（=0）=[來(lái)源:Z+xx+k.Com]P（=1）=P（=2）=P（=3）=所以，隨機(jī)變量的概率分布列為：0123 P故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：E=0……12分.[點(diǎn)評(píng)]本小題主要考查相互獨(dú)立事件，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)用概率知識(shí)與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.18、（1），；（2）【解析】

（1）由，得到數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可求得和；（2）由（1）知，根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可知，且，則數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列，又由，解得，.（2）由（1）知，又由，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為-1的等差數(shù)列，所以.本題主要考查了等差、等比數(shù)的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題.19、（1）見(jiàn)證明；（2）.【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得證；（2）解出命題中的不等式，由題中條件得出的兩個(gè)取值范圍之間的包含關(guān)系，然后列出不等式組可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）即證：，.令，，則，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.因此，，因此，對(duì)任意的，；（2）解不等式，得，則.由于是的必要不充分條件，則，則有，解得.當(dāng)時(shí)，則，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題第（1）考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，一般構(gòu)造差函數(shù)，轉(zhuǎn)化為差函數(shù)的最值來(lái)證明，第（2）問(wèn)考查利用充分必要條件求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為兩集合間的包含關(guān)系求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.20、（1）的增區(qū)間為；的減區(qū)間為，（2）【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）對(duì)任意的都有恒成立轉(zhuǎn)化為：求得答案.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，或，單調(diào)遞減；所以的增區(qū)間為；的減區(qū)間為，.（2）由（1）知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；知的最小值為，又，，，所以在上的值域?yàn)?所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.21、(1)見(jiàn)解析.(2)見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計(jì)算，即可求得結(jié)論，猜想；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時(shí)，變形利用歸納假設(shè)．試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，∴或(舍,).當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．猜想：.(2)證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立．②假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，,即∴.由①、②可知，，.點(diǎn)睛：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的關(guān)系：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的根據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，有第一步無(wú)第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無(wú)第一步中，則第二步中的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)．只有把第一步結(jié)論與第二步結(jié)論聯(lián)系在一起，才可以斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)n都成立．