《導數在實際生活中的應用》教學課件2

3.4導數在實際生活中的應用1、實際問題中的應用.

在日常生活、生產和科研中,常常會遇到求函數的最大(小)值的問題.建立目標函數,然后利用導數的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.

在建立目標函數時,一定要注意確定函數的定義域.

在實際問題中,有時會遇到函數在區(qū)間內只有一個點使的情形,如果函數在這個點有極大(小)值,那么不與端點值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.滿足上述情況的函數我們稱之為“單峰函數”.3、求最大（最小）值應用題的一般方法(1)分析實際問題中各量之間的關系，把實際問題化為數學問題，建立函數關系式，這是關鍵一步。(2)確定函數定義域，并求出極值點。(3)比較各極值與定義域端點函數的大小，結合實際，確定最值或最值點。2、實際應用問題的表現形式，常常不是以純數學模式反映出來。首先，通過審題，認識問題的背景，抽象出問題的實質。其次，建立相應的數學模型,將應用問題轉化為數學問題,再解。6060解:設箱底邊長為xcm，箱子容積為V=x2h例1在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高xxV′=60x－3x2/2令V′=0，得x=40,x=0(舍去)得V(40)=16000答：當箱底邊長為x=40時,箱子容積最大，最大值為16000cm3

在實際問題中，如果函數f(x)在某區(qū)間內只有一個x0

使f

′(x0)=0,而且從實際問題本身又可以知道函數在這點有極大(小)值，那么不與端點比較，f(x0)就是所求的最大值或最小值.(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)hR例2.要生產一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個鐵桶的容積為定值V，怎樣設計桶的底面半徑才能使材料最??？此時高與底面半徑比為多少？解:設桶底面半徑為R,因為S(R)只有一個極值,所以它是最小值。答：當罐高與底的直徑想等時，所用材料最省。例3.已知某商品生產成本C與產量q的函數關系式為C=100+4q,價格p與產量q的函數關系式為求產量q為何值時,利潤L最大。分析:利潤L等于收入R減去成本C,而收入R等于產量乘價格.由此可得出利潤L與產量q的函數關系式,再用導數求最大利潤.求得唯一的極值點因為L只有一個極值點,所以它是最大值.答:產量為84時,利潤L最大.xy練習1:如圖,在二次函數f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),則

A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當時,因此當點B為時,矩形的最大面積是2、一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比。已知在速度為10km/h時，燃料費是6元/h。而其他與速度無關的費用為96元/h。問以何種速度航行時。能使行駛每公里的費用總和最少？3、如圖,鐵路線上AB段長

100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運費之比為3:5.為了使原料從供應站B運到工廠C的運費最省,D應修在何處?BDAC解:設DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設鐵路上每噸千米的運費為3t元,則公路上每噸千米的運費為5t元.這樣,每噸原料從供應站B運到工廠C的總運費為令,在的范圍內有唯一解x=15.所以,當x=15(km),即D點選在距A點15千米時,總運費最省.注:可以進一步討論,當AB的距離大于15千米時,要找的最優(yōu)點總在距A點15千米的D點處;當AB之間的距離不超過15千米時,所選D點與B點重合.練習4:已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h.答:設圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當h=H/3

時,圓柱體的體積最大.例4.如圖，扇形AOB中，半徑0A=1，∠AOB=900，在OA的延長線上有一動點C，過C作CD與弧AB相切于點E，且與過點B所作的OB的垂線交于點D，當點C在什么位置時，直角梯形OCDB的面積最小？OBDECA注：在實際問題中，若函數在區(qū)間內只有一個點使y’=0,如果函數在這點有極值，那么不與端點比較，就可確定這個點就是最值。教材例3：在如圖所示的電路中，已知電源的內阻為r，電動勢為ε，外電阻R為多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？Rr

ε教材例4.強度分別為a,b的兩個光源A,B,他們間的距離為d，試問：在連接這兩個光源的線段AB上，何處照度最小？試就a=8,b=1,d=3時回答上述問題（照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比）教材例5：在經濟學中,生產x單位產品的成本稱為成本函數,記為C(x),出售x單位產品的收益稱為收益函數,記為R(x),R(x)-C(x)稱為利潤函數,記為P(x).(1)如果,那么生產多少單位產品時,邊際成本C/(x)最低?(2)如果,產品的單價那么怎樣定價可使利潤最大?變式：已知某商品