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PAGE1-課后限時集訓(十一)函數(shù)與方程(建議用時:60分鐘)A組基礎達標一、選擇題1.函數(shù)f(x)=log2x+x-4的零點所在的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,2))C.(2,3) D.(3,4)C[∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=-1+eq\f(1,2)-4=-eq\f(9,2)<0,f(1)=0+1-4=-3<0,f(2)=1+2-4=-1<0,f(3)=log23+3-4=log23-1>0,f(4)=2+4-4=2>0,∴f(2)·f(3)<0,∴f(x)在(2,3)內有零點,故選C.]2.(2024·黃山一模)已知函數(shù)f(x)=e|x|+|x|,若關于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,-1)B[方程f(x)=k可化為e|x|=k-|x|,由題意可知,函數(shù)y=e|x|與y=k-|x|的圖像有兩個不同的交點,如圖,故只需k>1即可,故選 B.]3.若方程lnx+x-5=0在區(qū)間(a,b)(a,b∈Z,且b-a=1)上有一實根,則a的值為()A.5 B.4C.3 D.2C[設函數(shù)f(x)=lnx+x-5(x>0),則f′(x)=eq\f(1,x)+1>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞增.因為f(3)·f(4)=(ln3+3-5)(ln4+4-5)=(ln3-2)(ln4-1)<0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上有一零點,即方程lnx+x-5=0在區(qū)間(3,4)上有一實根,所以a=3.]4.若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個零點,則實數(shù)a的取值為()A.0 B.-eq\f(1,4)C.0或-eq\f(1,4) D.2C[當a=0時,函數(shù)f(x)=-x-1為一次函數(shù),則-1是函數(shù)的零點,即函數(shù)僅有一個零點;當a≠0時,函數(shù)f(x)=ax2-x-1為二次函數(shù),并且僅有一個零點,則一元二次方程ax2-x-1=0有兩個相等實根,∴Δ=1+4a=0,解得a=-eq\f(1,4).綜上,當a=0或a=-eq\f(1,4)時,函數(shù)僅有一個零點.]5.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x+1,x≤1,,lnx,x>1,))若方程f(x)-ax=0恰有兩個不同的實根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e),\f(4,3)))D.(-∞,0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),+∞))B[方程f(x)-ax=0有兩個不同的實根,即直線y=ax與函數(shù)f(x)的圖像有兩個不同的交點.作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示.當x>1時,f(x)=lnx,得f′(x)=eq\f(1,x),設直線y=kx與函數(shù)f(x)=lnx(x>1)的圖像相切,切點為(x0,y0),則eq\f(y0,x0)=eq\f(lnx0,x0)=eq\f(1,x0),解得x0=e,則k=eq\f(1,e),即y=eq\f(1,e)x是函數(shù)f(x)=lnx(x>1)的圖像的切線,當a≤0時,直線y=ax與函數(shù)f(x)的圖像有一個交點,不合題意;當0<a<eq\f(1,3)時,直線y=ax與函數(shù)f(x)=lnx(x>1)的圖像有兩個交點,但與射線y=eq\f(1,3)x+1(x≤1)也有一個交點,這樣就有三個交點,不合題意;當a≥eq\f(1,e)時,直線y=ax與函數(shù)f(x)的圖像至多有一個交點,不合題意;只有當eq\f(1,3)≤a<eq\f(1,e)時,直線y=ax與函數(shù)f(x)的圖像有兩個交點,符合題意.故選 B.]二、填空題6.已知關于x的方程x2+mx-6=0的一個根比2大,另一個根比2小,則實數(shù)m的取值范圍是________.(-∞,1)[設函數(shù)f(x)=x2+mx-6,則依據(jù)條件有f(2)<0,即4+2m-6<0,解得m<1.]7.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|,0<x<4,,-\f(1,2)x+6,x≥4,))若方程f(x)+k=0有三個不同的解a,b,c,且a<b<c,則ab+c的取值范圍是________.(9,13)[依據(jù)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|,0<x<4,,-\f(1,2)x+6,x≥4,))畫出函數(shù)圖像如圖,因為f(a)=f(b)=f(c),所以-log2a=log2b=-eq\f(1,2)c+6,所以log2(ab)=0,0<-eq\f(1,2)c+6<2,解得ab=1,8<c<12,所以9<ab+c<13.]8.若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數(shù)b的取值范圍是__________.(0,2)[由f(x)=|2x-2|-b=0得|2x-2|= B.在同一平面直角坐標系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖像,如圖所示,則當0<b<2時,兩函數(shù)圖像有兩個交點,從而函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點.]三、解答題9.已知a是正實數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a.假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點,求a的取值范圍.[解]f(x)=2ax2+2x-3-a的對稱軸為x=-eq\f(1,2a).①當-eq\f(1,2a)≤-1,即0<a≤eq\f(1,2)時,需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f-1≤0,,f1≥0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5,,a≥1,))∴無解.②當-1<-eq\f(1,2a)<0,即a>eq\f(1,2)時,須使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2a)))≤0,,f1≥0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2a)-3-a≤0,,a≥1,))解得a≥1,∴a的取值范圍是[1,+∞).10.設函數(shù)f(x)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,x)))(x>0).(1)作出函數(shù)f(x)的圖像;(2)當0<a<b且f(a)=f(b)時,求eq\f(1,a)+eq\f(1,b)的值;(3)若方程f(x)=m有兩個不相等的正根,求m的取值范圍.[解](1)如圖所示.(2)∵f(x)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,x)))=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)-1,x∈0,1],,1-\f(1,x),x∈1,+∞,))故f(x)在(0,1]上是減函數(shù),而在(1,+∞)上是增函數(shù).由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b且eq\f(1,a)-1=1-eq\f(1,b),∴eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2.(3)由函數(shù)f(x)的圖像可知,當0<m<1時,方程f(x)=m有兩個不相等的正根.B組實力提升1.(2024·濟南一模)函數(shù)f(x)=x2-ax+1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),3))上有零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(10,3)))D[法一:當feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(3)<0時,函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),3))上有且僅有一個零點,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)-\f(a,2)))(10-3a)<0,解得eq\f(5,2)<a<eq\f(10,3);當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<\f(a,2)<3,,Δ=a2-4≥0,,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0,,f3>0))時,函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),3))上有一個或兩個零點,解得2≤a<eq\f(5,2);當a=eq\f(5,2)時,函數(shù)的零點為eq\f(1,2)和2,符合題意;當a=eq\f(10,3)時,函數(shù)的零點為eq\f(1,3)或3,不符合題意.綜上,a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(10,3))),故選 D.法二:由x2-ax+1=0得ax=x2+1,∴a=x+eq\f(1,x),x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),3)),令g(x)=x+eq\f(1,x),x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),3)),易知g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))上遞減,在[1,3)上遞增,∴g(x)min=g(1)=2.又∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=eq\f(5,2),g(3)=eq\f(10,3),∴g(x)max=eq\f(10,3),∴a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f(10,3))).]2.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|,x>0,,2|x|,x≤0,))若關于x的方程f2(x)-af(x)+1=0有且只有3個不同的根,則實數(shù)a的值為()A.-2 B.1C.2 D.3C[作出函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|,x>0,,2|x|,x≤0))的圖像(圖略),令f(x)=t,關于x的方程f2(x)-af(x)+1=0等價于t2-at+1=0,因為t1·t2=1,所以t1,t2同號,只有t1,t2同正時,方程才有根,假設t1<t2,則0<t1<1,t2>1,此時關于x的方程f2(x)-af(x)+1=0有5個不同的根,只有t1=t2=1,關于x的方程f2(x)-af(x)+1=0有且只有3個不同的根,此時a=2,故選C.]3.(2024·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)且是R上的單調函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個零點,則實數(shù)λ的值是________.-eq\f(7,8)[令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,則f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ).因為f(x)是R上的單調函數(shù),所以2x2+1=x-λ只有一個實根,即2x2-x+1+λ=0只有一個實根,則Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-eq\f(7,8).]4.已知二次函數(shù)f(x)的最小值為-4,且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)g(x)=eq\f(fx,x)-4lnx的零點個數(shù).[解](1)因為f(x)是二次函數(shù),且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤3,x∈R},所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x2-2x-3.(2)因為g
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