八年級(jí)數(shù)學(xué)希望杯第1-21屆試題(含答案與提示)

希望杯第一屆（1990）第二試試題.........................................................................1

希望杯第二屆（1991年）初中二年級(jí)第二試試題............................................................5

希望杯第三屆（1992年）初中二年級(jí)第二試題.............................................................11

希望杯第四屆（1993年）初中二年級(jí)第一試試題...........................................................18

希望杯第四屆（1993年）初中二年級(jí)第二試試題...........................................................24

希望杯第五屆（1994年）初中二年級(jí)第一試試題..............................................................27

希望杯第五屆（1994年）初中二年級(jí)第二試試題..............................................................32

第六屆（1995年）初中二年級(jí)第一試試題....................................................................45

希望杯第六屆（1995年）初中二年級(jí)第二試試題..............................................................51

希望杯第七屆（1996年）初中二年級(jí)第一試試題...........................................................57

希望杯第七屆（1996年）初中二年級(jí)第二試試題...........................................................64

希望杯第八屈（1997年）初中二年級(jí)第一試試題...........................................................73

希望杯第八屆（1997年）初中二年級(jí)第二試試題...........................................................80

第九屆（1998年）初中二年級(jí)第一試試題.................................................................90

希望杯第九屆（1998年）初中二年級(jí)第二試試題..........................................................100

1999年第十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第二試.........................................................110

2000年第十一屆“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽初二第一試..........................................................114

200（）年第十一屆“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽初二第二試..........................................................116

2001年希望杯第十二屆初中二年級(jí)第一試試題............................................................121

2001年希望杯第12屆八年級(jí)第2試試題..................................................................125

2002年第十三屆全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二年級(jí)第一試..........................................................131

2002年度初二“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第二試.........................................................134

2003年第十四屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第1試....................................................142

2003年第十四屆“希望杯”（初二笫2試）................................................................144

2004年第十五屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二..........................................................151

2004年第十五屈“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第2試......................................................154

2005年第十六屆希望杯初二第1試試題...................................................................160

2005年第十六屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第二試........................................................162

2006年第十七屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第一試........................................................166

2006年第十七屆“希望杯''數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第二試.......................................................169

2007年第十八屆"希望杯“全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第一試.......................................................174

2007年第十八屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第二試.......................................................177

2008年第19屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第2試試題................................................183

2009年第二十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第一試.......................................................186

2009年第20屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第二試........................................................189

2010年第二十一屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第一試.....................................................196

2010年第二d-一屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第二試.....................................................198

希望杯第一屆（1990）第二試試題

一、選擇題：（每題1分，共5分）

1.等腰三角形周長(zhǎng)是24cm,一腰中線將周長(zhǎng)分成5：3的兩部分，那么這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)是[]

A.7.5B.12.C.4.D.12或4

2.已知P=J1988xl989xl990X199I有+(-1989戶,那么P的值是[]

A.1987R.1988.C.1989D.1990

3.a>b>c,x>y>z,M=ax+by+cz,N=az+by+cx,P=ay+bz+cx,Q=az+bx+cy,則［

A.M>P>N且M>Q>N.B.N>P>\taN>Q>M

C.P>M>Q且P>N>Q.D.Q>M>P且Q>N>P

4.凸四邊形ABCD中，ZDAB=ZBCD=90°,NCDA：NABC=2：1,AD：CB=1：行，則NBDA4]

A.30°B.45°.C.60°.D.不能確定

5.任一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分割成面積相等的四部分，使得在其中的一部分內(nèi)存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂

點(diǎn)可以組成一個(gè)邊長(zhǎng)大于1的正三角形，滿足上述性質(zhì)的分割[]

A.是不存在的.B.恰有一種.C.有有限多種，但不只是一種.D.有無窮多種

二、填空題：(每題1分，共5分)

1.ZXABC中，ZCABZB=90°,/C的平分線與AB交于L,NC的外角平分線與BA的延長(zhǎng)線交于N.已知CL=3,

則CN=__.

I------,111

2.若yJa-\+(ab-2)-0=0,那么丁+-----------+…-----.........—.......的值是_____?

ab(。+1)S+1)(a+1990)3+1990)

3.已知a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8,則c的取值范圍是.

4.△ABC中，/B=30；AB=6，BC=JL三個(gè)兩兩互相外切的圓全在aABC中，這三個(gè)圓面積之和的最大值的

整數(shù)部分是__.

abcabacbeabc

5.設(shè)a,b,c是非零整數(shù)，那么何+閃+向+的十同十網(wǎng)十網(wǎng)的值等于----------

三、解答題：(每題5分，共15分)

1.從自然數(shù)1,2,3…，354中任取178個(gè)數(shù)，試證：其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是177.

2.平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和A'B'C'D',且正方形A'B'CD'的頂點(diǎn)A'在正方形ABCD的

中心.當(dāng)正方形A，B，LDz繞A，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形的重合部分的面枳必然是一個(gè)定值.這個(gè)結(jié)論對(duì)

嗎？證明你的判斷.

3.用1,9,9,0四個(gè)數(shù)碼組成的所有可能的四位數(shù)中，每一個(gè)這樣的四位數(shù)與自然數(shù)n之和被7除余數(shù)都不

為1，將所有滿足上述條件的自然數(shù)n由小到大排成一列mVmVmVm……，

試求：111?112之值.

答案與提示

一、選擇題

題尋12345

答案cBACD

提示：

1.若底邊長(zhǎng)為12.則其他二邊之和也是12,矛盾.故不可能是⑻或(D).

又：底為4時(shí)，腰長(zhǎng)是10.符合題意.故選(C).

2.VP=7(19882+3xl988)(19882+3x1988+2)+1-19892

=J(19882+3x1988+1)2-19892

=19882+3X1988+1-1989?

=(1988+1)2+1988-198941988

3.只需選a=Lb=0,c=-l,x=l,y=0,z=T代入,由于這時(shí)M=2：N=-2,P=-LQ=-l.從而選(A).

4.由圖6可知：當(dāng)NBDA=60°時(shí)，ZCDB

也是60°.從而滿足4T8C-1：73.故選(C).

5.婦圖7按同心圓分成面積相等的四部分.在最外面一部分中顯然可以找到三個(gè)點(diǎn)，組成邊長(zhǎng)大于1的正三角

形.如果三個(gè)圓換成任意的封閉曲線，只要符合分成的四部分面積相等，那么最外面部分中，仍然可以找

到三個(gè)點(diǎn)，使得組成邊長(zhǎng)大于1的正三角形.故選(D).

二、填空題

12345

答案31991c>0成c22酒0-1或7

1992

提示:

1.如圖8：ZNLC=ZB+Zl=ZCAB-900+Z1=ZCAB-Z3=ZN.ANC=LC=3.

11

2.a=b=2,—+…+

ab3+1990)(8+1990)

11

十???+1991x1992

1<2「M卜…+

1111991

199119921992

3.?：a+b=-c,ab=-

o

a,b是方程x2+cx+3=0的兩個(gè)實(shí)根.

c

■:A=c2-->0.

c

即c<0或

[C3>32.

/.c<0或c>2W.

4.因?yàn)锳48C的面積=1布.sin30°

乙

=半＜1,所以/XABC內(nèi)的三個(gè)圓面積之和肯定

匕1小，因而整數(shù)部分為零.

5.當(dāng)a,b,c均為正時(shí)，值為7.

當(dāng)a,b,c不均為正時(shí)，值為T.

三、解答題

1.證法一把1到354的自然數(shù)分成177個(gè)組：(1,178),(2,179),(3,180),…,(177,354).這樣的組

中，任一組內(nèi)的兩個(gè)數(shù)之差為177.從r354中任取178個(gè)數(shù)，即是從這177個(gè)組中取出178個(gè)數(shù)，囚而至少

有兩個(gè)數(shù)出自同一個(gè)組.也即至少有兩個(gè)數(shù)之差是177.從而證明了任取的178個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)，它們

的差是177.

證法二從1到354的自然數(shù)中，任取178個(gè)數(shù).由于任何數(shù)被177除，余數(shù)只能是0,1,2,…，176這177

和之一.

因而178個(gè)數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)a,b的余數(shù)相同，也即至少有兩個(gè)數(shù)a,b之差是177的倍數(shù)，即ab=kX177.

乂因「354中，任兩數(shù)之差小于2X177=354.所以兩個(gè)不相等的數(shù)a,b之差必為177.即

ab=177.

???從自然數(shù)L2,3,354中任取178個(gè)數(shù),其中必有兩個(gè)數(shù),它們的差是177.

2.如圖9,重合部分面積SVEBK是一個(gè)定值.

證明:連A'B,A'C,由A，為正方形ABCD的中心,知

A'C=A'B=—AB.NA'BE二NA'CF=45°?

2

又,當(dāng)A'Bz與A'B重合時(shí)，必有A，Dz與A'C重合，故知NEA，B=ZFA/C.

在ZXA'FC和AA'EB中,

A'C=A'B

ZA'BE=ZA'CF^AA'FC^AA'EB.

ZEA'B=ZFA'C

??S,\'EW=SAA'BC.

而93”=J""x/'C(正方形對(duì)角線互相垂直)

■揩/二㈤?

，兩個(gè)正方形的重合部分面積必然是?個(gè)定值.

3.可能的四位數(shù)有9種：

1990,1909,1099,9091,9109,9910,9901,9019,9190.

其中1990=7X284+2,1909=7X272+5.

1099=7X157,9091=7X1298+5,9109=7X1301+2,

9910=7X1415+5,9901=7X1414+3,

9019-7X1288+3,9190-7X1312+6.

即它們被7除的余數(shù)分別為2,5,0,5,2,5,3,3,6.

即余數(shù)只有0,2,3,5,6五種.

它們加1,2,3都可能有余1的情形出現(xiàn).如10+1三1,6+2=1,5+3=(mod7).

而加4之后成為：4,6,7,9,1(),沒有一個(gè)被7除余1,所以4是最小的n.

又：加5,6有：5+3=1,6+2三1.(mod7)而加7之后成為7,9,10,12,13.沒有一個(gè)被7除余1.所以7是

次小的n.

即ni=4,片7

:.niXn2=4X7=28.

希望杯第二屆(1991年)初中二年級(jí)第二試試題

一、選擇題：(每題1分，共10分)

1.如圖29,已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn).N%緯的A「的出占.的中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn),則MN：

PQ等于()A―QPMNB-C

圖29

A.1;B.2;C.3;I).4

2.兩個(gè)正數(shù)m,n的比是若m+n=s,則m,n中較小的數(shù)可以表示為()

tsS

A.ts;Bs-ts;C.----;D.----.

1+.v1

3.y>0時(shí)，J-x3y等于()

A.-xyfxy;B.xy[xy;C.-x^-xy;D.xQ-xy.

4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，則a,b,c的關(guān)系可以寫成()

A.a<b<c.B.(a-b)2+(b-c)2=0.C.c<a<b.1).a=bWc

5.如圖30,AC=CI)=DA=BC=I)E.則NBAE是NBAC的()

A.4倍.B.3倍.C.2倍.I).1倍

6.D是等腰銳角二角形ARC的底邊RC卜?點(diǎn),貝IjAD,BD.CD滿足關(guān)系式()

A.AD2=BD2+CD2.B.AD2>BD2+CD2.C.2/\D2=BD2+CD2.D.2AD2>BD2+CD2

7.方程k?-1|=5（x+得）的實(shí)根個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3.C.2D.1

8.能使分式工一工的值為112G的'A/的值是()

)'x

A.XW+GyJ2+6B.XJ2+5/=2-舟

C.x?=7+4退，y2=7-46；0.X』+26,y2=2-6

9.在整數(shù)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中，設(shè)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)為x,偶數(shù)的個(gè)數(shù)為y,完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)為z,合

數(shù)的個(gè)數(shù)為u.則x+y+z+u的值為()

A.17B.15.C.13D.11

10.兩個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,恰好是x的整系數(shù)方程21x+t=0的兩個(gè)根，則2+f等于(

）

ab

582402365

A.2213;B.—C.----D-.

21493T

二、填空題(每題1分，共10分)

1.1989X19911991-1991X19891988=

2.分解因式:a2+2b^+3c^+3ab+4ac+5bc=

3.(a^+ba+bc+ac):[(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)]的平方根是____.

4.邊數(shù)為a,b,c的三個(gè)正多邊形，若在每個(gè)正多邊形中取一個(gè)內(nèi)角，其和為180°,那么,+"!■+,=________.

abc

5.方程組x｛+a)y=,5有正整數(shù)解，則正整數(shù)a=_______.

y-x=i

6.從一升酒精中倒出;升,再加上等量的水,液體中還有酒精_____升;攪勻后,再倒

出《升混合液，并加入等量的水，攪勻后，再倒出《升混合液，并加入等量的水，這時(shí)，所得混合液中還有

33

升酒精.

7.如圖31,在四邊形ABCD中.AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米.且

NABC=9()°,則四邊形ABCD的面積是一

8.如圖32,Z1+Z2+Z3Z4+Z5+Z6=

9.卜+四+|2x+4網(wǎng)的最小值的整數(shù)部分是

圖31

10.已知兩數(shù)積abWl.且歹4

圖32

2a2+12345G7890a+3=0,3b?+l2345G7890b+2=0,則凹=______.

b

三、解答題：(每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計(jì)算過程，語(yǔ)言力求簡(jiǎn)明，字跡與繪圖力求清晰、工

整)

1.已知兩個(gè)正數(shù)的立方和是最小的質(zhì)數(shù).求證：這兩個(gè)數(shù)之和不大于2.

2.一塊四邊形的地(如圖33)(E0〃FK,0H〃KG)內(nèi)有一段曲折的水渠，現(xiàn)在要把這段水渠E0HGKF改成直的.(即

兩邊都是直線)但進(jìn)水口EF的寬度不能改變，新渠占地面積與原水渠面積相等，且要盡可能利用涼水渠，以節(jié)

省工時(shí).那么新渠的兩條邊應(yīng)當(dāng)怎么作？寫出作法，并加以證明.

圖33

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)12345678910

答案BDCBADCCAD

提示：

1.=AN-AM.PQ=---..?.選(B).

22

2.設(shè)m=3,n=1,則t=3,s=4.

只有匕Y=y^=l=n.故選(D).

3.由y>0,可知xVO.故選(C).

4.容易看到a=b=c時(shí)，原式成為3(x+a)2,是完全平方式.故選(B).

5.△ACD是等邊三角形,ZXBCA和aADE均為等腰三角形.故知NBAC=30°,而NBAE=120°,所以選(A).

6.以等邊三角形為例，當(dāng)D為BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，有AD2>BD2+CD2,當(dāng)D為BC邊的端點(diǎn)時(shí)，有AD2=BD2+CD2,故有2AD2

>BD2+CD2.故選(D).

7.當(dāng)3>1時(shí),有方程/7

由根與系數(shù)關(guān)系可知.方程有一正根一負(fù)根，目

正根符合要求，當(dāng)時(shí)，有方程1-，=5

9

(X+—),同理可知也是一正根一負(fù)根，正根符

合要求，所以共有2個(gè)根.故選(C).

故選(C).

8?二x3_y3_Xdy4—72y2)(x2+y2)

yxxyxy

從x?=7+4怎y2=7-475,代入，是112#.

???選(C).

9.Vx=4,y=5,z=4,u=4.?,?選(A).

10.由a+b=21,a,b質(zhì)數(shù)可知a,b必為2與19兩數(shù).

而9?等:會(huì)=爰.故選(以

二、填空題

題號(hào)12345

答案1991(a+b+cXa+2b+3c)士(a+c)11或2

題號(hào)678910

答案8144(cm2)360°3

7T2I

提示：

1.1989X19911991-1991X19891988=1989

(1991X104+1991)-1991(1989X104+1988)

=1989X1991-1991X1988=1991.

2.原式

=a2+匕2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc

=(a+t+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)

=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)

=(a+b+c)(a+2b+3c).

3.原式=(a+c)(a+b):[(b+a)(b+c):(c+a)(c+b)]

(a+c)'(a+b)

=(a+c>.

~(b+a)-

???平方根為土(a+c).

4.正多邊形中,最小內(nèi)角為60°.只有a.h.c均為3時(shí),所取的內(nèi)角和才可能為180°.

.111111,

abc333

5.兩式相加有

（l+a）y=6,因?yàn)閍,y均為正整數(shù)，故a的可能值為5,這時(shí)y=l,這與y-x二l矛盾，舍去；可能值還有a=2,a=l,

這時(shí)y=2,y=3與y-x=l無矛盾.

:.a-l或2.

6.倒一次后，剩下（升酒精，倒第二次后剩

下的是（$22升，倒第三次后，剩下的是2（$2升酒精.

所以應(yīng)答卷.

乙,

7.在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm,在△ADC中，三邊長(zhǎng)分別是10,24,26,由勾股定理的逆定理

可AADC為直角三角形.從而有面積為

11

-x6x8+-xl0x24=144(cm02).

22

8.Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6,正好是以N2,Z3,N5為3個(gè)內(nèi)角的四邊形的4個(gè)內(nèi)角之和.

???和為360°.

x=—應(yīng)時(shí)，原式=卜20+4閻=2|2“-閡.

9.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，可知，當(dāng)x取-我或

x=-20時(shí)，原式=|~2/+我卜|2/-我

-2小時(shí)，可能是最小值，比較

??.最小值是2,/5-/，其整數(shù)部分為2.

10.由已知條件可知

a是方程2x2+1234567890x+3=0的一個(gè)根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一個(gè)根，后者還可以看成:

［是3d?）a+1234567890-+2=0的根，或者說

yy

:是2/+1234567890^+3=0的一個(gè)根，從而可以

b

認(rèn)為。和?是方程2,+1234567890X+3=。的兩個(gè)根.

b

.1a3

廠廠儲(chǔ)

（注意：abx1,保證了a,1是方程2,+

b

1234567890x+3=。的兩個(gè)不等的根.

三、解答題

1.設(shè)這兩個(gè)正數(shù)為a,b.則原題成為已知a3+b3=2,求證a+bW2.

證明（反證法）：

若a+b>2山于a3+b3=2,必有一數(shù)小于或等于1,設(shè)為bSl,-a>2b,這個(gè)不等式兩邊均為壬數(shù)，一￡科》

(2-b)3.

->a3>8T2b+6b2-b3.

--a3+b3>8T2b+6b2.

-*6b2-12b+6<0.

-*b2-2b+l<0.

-*(b-l)2<0,矛盾.

???a+bW2.即本題的結(jié)論是正確的.

2.本題以圖33為準(zhǔn).

由圖34知OK〃AB,延長(zhǎng)E0和FK,即得所求新渠.這時(shí)，HG=GM(都等于OK),且OK〃AB,故△由IG的面積和4

KGM的面積相同.即新渠占地面積與原渠面積相等.而且只挖了△!((；■這么大的一塊地.

我們?cè)倏戳硪环N方法，如圖35.

作法：①連結(jié)EH,FG.

②過0作EH平行線交AB于N,過K作FG平行線交于AB于M.

③連結(jié)EN和FM,則EN,FM就是新渠的兩條邊界線.

又：EH/70N

???△EOH面積3NH面積.

從而可知左半部分挖去和填出的地一樣多，同理，右半部分挖去和填出的地也一樣多.即新渠面積與原渠的

面積相等.

由圖35可知，第二種作法用工較多(???要挖的面積較大).

故應(yīng)選第一種方法。

希望杯第三屆（1992年）初中二年級(jí)第二試題

一、選擇題（：每題1分，共10分）

1.732812-73252=[]

A.47249B.45829.C.43959【).44969

2.長(zhǎng)方形如圖43.已知AB=2,BC=L則長(zhǎng)方形的內(nèi)DC

接三角形的面積總比數(shù)()小或相等.[]

421

A.一；B.1;C.-;D.—.A

733圖43

3.當(dāng)x=6,y=8時(shí)，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是[]

A.1200000-254000.B.1020000-250400

C.1200000-250400.I).1020000-254000

4.等腰三角形的周長(zhǎng)為a(cm).一腰的中線將周長(zhǎng)分成5：3,則三角形的底邊長(zhǎng)為[]

a3a84

A.—;B.—4;C.一或一G;D.—a.

65655

5.適合方程Jx?一2不，+),2+3x、6xz+2y+y2+3z2+l=0的X、y^z的值適合[]

x+2y+3z=0x+3y-2z=-6

A.*2x-y+z=0；B.<x+y+z=0

y+z=02x-j'+3z=2

x+3y-2z=-6fx-)'+z=O

C.<2x-y+z=0J).J-x+y+z=0

2x-y+3z=22x-y+3z=2

圖44

6.四邊形如I圖44,AB=@,BC=1,/A=NB=NC=30。,則D點(diǎn)到AB的距離是［

]

2

111

A.1;B.-;C.-;D.

248

7.在式子|x+l|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入,得到對(duì)應(yīng)的值,在這些對(duì)應(yīng)值中，最小的值是

[]

A.1B.2.C.3D.4

8.一個(gè)等腰三角形如圖45.頂角為A,作NA的三等三分線AD,AE(即N1=N2=N3),若BD=x,DE=y,EC=z,

則有[]

A.x>y>zB.x=z>y.C.x=z<yD.x=y=z

9.已知方程(a+l)x2+(|a+21|aT0|)x+a=5有兩個(gè)不同的實(shí)根，則a可以是[]

A.5B.9.C.10D.11

10.正方形如圖46,AB=1,和AC都是以1為半徑的圓弧,

則無陰影的兩部分的面積的差是[]

AL；D1-1

圖比

二、填空題(每題1分，共10分)

6

1.方程次=的所有根的和的值是.

1+Vx

2.己知a+b—1992+J1991，a-b-4/1992-11991，那么ab-

3.如圖47,在4ABC中，ZACB=60°,ZBAC=75°,AD_LBC于D,BEJ_AC于E,AD與BE交于H,貝ijNCHD=

I355

4.已知x=-j=-，那么二d+-f+-x+l的值是

V2+1424

5.如圖48,已知邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD,E為AD的中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，那么aBPD的面積的值是—

X+V

6.已知x+y=4,xy=-4,那么7『■=_

Y—y-

7.在正AABC中(如圖49),D為AC上一點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，

BD,CE相交于P,若四邊形ADPE與aBPC的面積相等，那么NBPE;

8.已知方程x2-19xT50=0的一個(gè)正根為a,那么7\+-/=

\Ja+\la+\\Jc

1

L+1999+J〃+2000

9.某校男生若干名住校，若每間宿舍住4名，則還剩20名未住下；若每間宿舍住8名，則一部分宿舍未住滿,

且無空房，該校共有住校男生_____名.

10.n是自然數(shù)，19n+14與10n+3都是某個(gè)不等于1的自然數(shù)d的倍數(shù)，則d=

三、解答題(寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果，每題5分，共10分)

1.若a,b,c,d>0,證明：在方程

-x2++dx+4cd=0,-x2+\]2b+cx+\/da=0,—x2+\/2a+bx+\/ab=0

222

-x2+J2d+〃x+癡=0中,至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根.

2

2.(1)能否把1,2,…，1992這1992個(gè)數(shù)分成八組，使得第二組各數(shù)之和比第一組各數(shù)之和多：0,第三組各

數(shù)之和比第二組各數(shù)之和多10,…，最后第八組各數(shù)之和比第七組各數(shù)之和也多10?請(qǐng)加以說明.

(2)任上題中的“分成八組”改為“分成四組”，結(jié)論如何？請(qǐng)加以說明.如果能夠，請(qǐng)給出一種分組法.

答案與提示

一、選擇題

題號(hào)1234567S910

答案DCBBBABDDB

提示：

1.0,a)2=-a4-(1—a)=1—2a.

，應(yīng)選(D).

2.設(shè)/=5-2n，則x=±:否-尤).一

-x*?-±(75-偽?(5-2^)-±(975-1172).

二.應(yīng)選(C).

3.設(shè)A48Q中為Z)邊上的高為加則

?1力。?力■1?2?丸-1.-1.X/45-1,

乙乙

：.AB-h,即48為/池上的高.故ZL48。

為RA.同理，由S&36=￥，BC=A/2,

CD=?可知△BCD為反△.

...N/8C+NCDn=180°.應(yīng)選(3).

4.原方程為(2|工-2|-1)2=0,可得|x-2|=；.

.’.占=，電=2；.若a=l/，則2+1：=3,<4,

乙乙乙乙乙

故2,4,4不能是三角形的三邊長(zhǎng).又若a?2:，

乙乙

則2+2:=4:〉4,故2,4,2。是三角形的三邊

JJJ

長(zhǎng)，周長(zhǎng)為81???應(yīng)選⑵.

5.等式2x+x2+x2y2+2二一2xy化簡(jiǎn)為(x+l)2+(xy+l)2=o./.x+l=O,xy+l=O.解?之得x=T,y=1.貝Ux+y=0.

應(yīng)選(B).

6.由題設(shè)得：xy=l,x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993,得2(x+y)2+193xy=1993.將xy=l,x+y=4n+2代入

上式得：(4n+2)2=900,即4n+2=30./.n=7.工應(yīng)選(A).

7.由NA=36°,AB=AC,可得NB=NC=72°./.ZABD=ZCBD=36°,ZBDC=72°.JAD=BD二3c.由題意，

1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD.A應(yīng)選(B).

8,原方程化為(X2-2X+1)-5|X-1|+6=0.即|xT12-51xT|+6=0.A|x-l|=2,或|xT|=3.

Ax]=-1,X2=3,X3=-2,X4=4.則X]+X2+X3+X4=4.?，?應(yīng)選(D).

z

9,連結(jié)CB,，???ABtBB',???S^BB，c=S^ABC=】，又式'=2BC.\SAB*CC'=2SABirC=2.c=3.

同理可得SAA，CC'=8,S^A，B'A=6.

??\△A'B，C，=3+8+6+1=17.，應(yīng)選(D).

10.原方程為3x|=ax+l.

⑴若a=3,則3x|=3x+l.

當(dāng)x<0時(shí)，-3x=3x+l.=

6

當(dāng)x20時(shí)，3x=3x+l,不成立.

?;當(dāng)a=3時(shí)，原方程的根為

6

⑵若a>3.

當(dāng)x<0時(shí)，-3x=ax+l,.'.x=----1<0;

當(dāng)時(shí)，3x=ax+l,.,.x=—<0,矛盾.

3>-a

.?.當(dāng)。〉3時(shí)，原方程的解為無=--二<0.

a+3

(3)若a<3.當(dāng)x>0時(shí)，3x-+1,

.--x=—>0,原方程有正根，與題設(shè)矛盾.

3-以

織上所述，a23時(shí)，原方程的根是負(fù)數(shù).

.?,應(yīng)選(B).

另解：(圖象解法)

設(shè)yi=|3x|,y2=ax+U分別畫出它們的圖象.從圖87中看出，當(dāng)a23時(shí)，y]=[3x|的圖象直線y2=ax+l的交

點(diǎn)在第二象限.

二、填空題

題號(hào)12345

3

答案14,211993」一40

19932

題號(hào)678910

答案410014x2-53什14=04225

提示：

L???49=7X7,???所求兩數(shù)的最大公約數(shù)為7,最小公倍數(shù)為42.設(shè)a=7m,b=7n,(m<n),其中(m,n)=l.rtl

ab=(a,b)b].?7n=7?42,故mn=6.又(m,n)=l,n=3,故a=14,b=21.經(jīng)檢驗(yàn),142+212=637.

這兩個(gè)數(shù)為14,21.

2.1993=1X1993=(-1)X(-1993),(1993為質(zhì)數(shù)).Wx!-x2=1993,且xpx2為負(fù)整數(shù)根,Ax^-l,

X2=-1993.或XF-1993,X2=-1.則

1

+1993=1993—

19931993

3.原方程等價(jià)于卜7一乙或I"'x-f

1<K2.\x>2.

3

解之得x=~.

乙

4.設(shè)S/^B℃二S,貝IJS/^AOB=6-S,S/^(；QI)=1O-S,SAAOD=ST.由于S?(S-l)=(6-S)(10-S),解之得S=4.

5.由于方程兩根為Xi，x2,貝Uax；+"]+c=0,

+

ax1bx2+c=0.所外S]#?+bS]5W+cSiai=

3

a(x^+1993宕83)+以君如+i993x；82)+

凈產(chǎn)+1993號(hào)i)Y(渥+如+c)+

1993石加(謁+bx2+c)-0.

6.V432=1849<1900<1936=442,又1936V1993V2025=452.

.,.[71900]+[^^901]+[71902]+-+[A/1992]+

[^71993]=43X36+44X58=4100.

b

7.原方程化為(ax-b)("-a)=0.，勺=一，

a

而不超過10的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7.因

b

a〉b.故a=3時(shí)，b=2；a=5時(shí)，b=2,3；

a=7時(shí)，b=2,3,5.

223235

f■針5，5，不7,于

加由劭355777

相應(yīng)例)叼=5，5,可，5，-?T-

07

只有當(dāng)a=7,3=2時(shí)，=->^2=71

I乙

、如i27

這時(shí)為+0=亍+5=3/〉o3

其他都不合適.此時(shí)所求方程為14X2-53X+14=0.

8,過E作EH_LBC于H.:ADLBC.，EH〃AD.又NACE=NBCE,EA±AC,EH±BC.AEA=EH,ZAEC=ZHEC.V

Ell/7AD,，NHEC=NAFE,AZAEF=ZAFE.AAE=AF,AEH=AF.即可推出△AGFgZXEHB.Z.

AG二EB二AB—AE=14-4=10.:.BG=AB-AG=14-10M.

9.原方程化為：[(^+l)x-6][(^-l)x-3]=0.

,x2=.因方程的根為正整數(shù)，

4+1左一1

故當(dāng)歸=2時(shí)，無]=2,x2=3.

10.設(shè)初一獲獎(jiǎng)人數(shù)為n+1人，初二獲獎(jiǎng)人數(shù)為m+1人(nWm).依題意有

3+7n=4+9m,即7n=9m+l①

由于50V3+7nW100,50V4+9mW100.得

”〈《紇竺Cm《竺.故

7799

n=7,8,9,10,11,12,13.m=6,7,8,9,10.

但滿足①式的解為唯一解：n=13,m=10.

.*.n+l=14,m+l=ll.獲獎(jiǎng)人數(shù)共有14+11=25(人).

三、解答題

1.解：若不考慮順序，所跑的路線有三條：

0ABC0(或0CBA0),0ACB0(或OBCAO),0BAC0(或0CAB0).其中0ABC0的距離最短.

記d(OABCO),d(OACBO),d(OBACO)分別為三條路線的距離.在AC上截取AB'=AB,連結(jié)OB'.則△ABO04

AB'0.0.

d(O/\BCO)-d(OACBO)

=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)

=AB+CO-AC-BO

=AB+CO-AB,B'CB'0

=CO-(BZC+Bz0)<0

同理可得,d(OABCO)-d(0BAC0X0.

所以路線OABCO的距離最短.

2.解一：因?yàn)?a+/=J160+2.

立方得：64a2+16aV2+2=1672+2

日此4a?+a虛-0=0

諛x=Ja，+a+l+a2,*

y=Va44-a+l-a2.

得xy=a+l.

因此x與y是關(guān)于t的方程

1

(l-a)t-(a+l)=0

的兩個(gè)根.

有產(chǎn)［逅八上\.1a2匕-2a+二1.^.

2

(1-a)土(a+引

272

則h=顯,t2=

因?yàn)閤〉y且a〈l,則/<0.

72

因此x=y/2,即a?+Va4+a+1=

解二：由已知條件得

S+3=9（血+$?

.2喪虎.虎211

?,a+——a=——,..—a+—a--

44244

.1萬2a+lc

-2-Ta一丁?、?/p>

這表明《是關(guān)于￡的方程

乙

22a+1人

r-a2l...--0②

4

的正實(shí)根，因此

§=；(/++以+1)

以2+Ya'+a+1=->/2.

說明：解法二巧妙地利用常量與變量的相互

轉(zhuǎn)化，把①式中的專看成變量，a看成常量，則

①式轉(zhuǎn)化為②式，即得關(guān)于2的方程：J-a

=0,其中混變量，以是常量，從而得解.

解二：由己知得：a十得0—

o2Vo

2

兩邊平方，得：a+172a+A=172+A.

移項(xiàng)，得：a2=2^(i-a)①

4

則a4=1(1-a)2②

a24-Ja4+a+l=-^-(1-a)+J，+a+]

=(1—a)+Jg(1—2a+a2+8a+8)

3.

=—(1-a)+—7(a+3)2

=4