專題85空間直線平面的平行（舉一反三）（人教A版2019）（原卷版）

專題8.5空間直線、平面的平行【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1證明線線平行】 3【題型2直線與平面平行的判定】 4【題型3平面與平面平行的判定】 5【題型4由線面平行的性質(zhì)判定線線平行】 7【題型5由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置】 9【題型6由線面平行求線段長度】 10【題型7面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】 11【題型8平行問題的綜合應(yīng)用】 13【知識(shí)點(diǎn)1空間中的平行關(guān)系】1.直線與直線平行(1)基本事實(shí)4

①自然語言：平行于同一條直線的兩條直線平行.

②符號(hào)語言：a,b,c是三條不同的直線，若a∥b，b∥c，則a∥c.

③作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.(2)空間等角定理

①自然語言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

②符號(hào)語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2.直線與平面平行(1)判定定理①自然語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②圖形語言③符號(hào)語言.該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.(2)性質(zhì)定理①自然語言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.②圖形語言③符號(hào)語言.該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.(3)性質(zhì)定理的作用①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時(shí)，可以證明其中一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知直線平行，可以過已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.3.平面與平面平行(1)判定定理①自然語言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.②圖形語言③符號(hào)語售.該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.(2)判定定理的推論①自然語言如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行.②圖形語言③符號(hào)語言.(3)性質(zhì)定理①自然語言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.②圖形語言③符號(hào)語言.該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.(4)兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面.

②平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長度相等.

③經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

④兩條直線同時(shí)被三個(gè)平行平面所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例.

⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.【題型1證明線線平行】【例1】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果a//b，c//d，且a//d，那么b//c.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【變式11】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【變式12】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）下列命題中，正確的結(jié)論有(

)①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式13】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【題型2直線與平面平行的判定】【例2】（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB不平行與平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式21】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱ABC?A1B1C1中，D，①直線BC1∥平面A1DC；

③直線A1D∥平面B1EC；

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式22】（2023下·北京房山·高一校考階段練習(xí)）如圖甲，在梯形ABCD中，AB//CD，CD＝2AB，E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，以AF為折痕把△ADF折起，使點(diǎn)D不落在平面①AF//平面BCD；②BE//平面CDF；③CD//平面BEF．A．0 B．1 C．2 D．3【變式23】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【題型3平面與平面平行的判定】【例3】（2023下·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是（

）①垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；②垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行；③平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；④平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.A．①② B．③④ C．②③ D．①④【變式31】（2023·四川遂寧·四川?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體ABCD?A1B①AD②平面AB1D③AD④AD1//A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【變式32】（2023下·江西·高一贛州市第四中學(xué)?？计谀┰谡襟wABCD?A′BA．BDC′與B′D′C．B′D′D與BDA【變式33】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．其中正確的有（）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③【知識(shí)點(diǎn)2平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用】1.平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化及綜合應(yīng)用(1)證明線線平行的常用方法

①利用線線平行的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行直線.

②利用基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

③利用三角形的中位線定理：三角形的中位線平行且等于底邊的一半.

④利用平行線分線段成比例定理.

⑤利用線面平行的性質(zhì)定理.

⑥利用面面平行的性質(zhì)定理.

⑦利用反證法：假設(shè)兩條直線不平行，然后推出矛盾，進(jìn)而得出兩條直線是平行的.(2)證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點(diǎn).

②利用直線與平面平行的判定定理：a，a∥b，b，則a∥.使用定理時(shí)，一定要說明“平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行”，若不注明，則證明過程不完整.因此，要證明a∥，則必須在平面內(nèi)找一條直線b，使得a∥b，從而達(dá)到證明的目的，這三個(gè)條件缺一不可.

③利用面面平行的性質(zhì)：若平面∥平面，直線a，則a∥.

④利用反證法.這時(shí)“平行”的否定有“在平面內(nèi)”和“與平面相交”兩種，只有在排除“直線在平面內(nèi)”和“直線與平面相交”這兩種位置關(guān)系后才能得到“直線與平面平行”的結(jié)論，在這一點(diǎn)上往往容易出錯(cuò)，應(yīng)引起重視.(3)平面與平面平行的判定方法

①根據(jù)定義：證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，但有時(shí)直接證明非常困難.

②根據(jù)判定定理：要證明兩個(gè)平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.

③根據(jù)判定定理的推論：在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交的直線平行，則這兩個(gè)平面平行.

④根據(jù)平面平行的傳遞性：若兩個(gè)平面都平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.

⑤利用反證法.(4)平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的，如圖所示.【題型4由線面平行的性質(zhì)判定線線平行】【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD//BC，AD=2BC=2AB=4，PA=2，且∠ABC=60°，點(diǎn)E為棱PD上一點(diǎn)（不與P,D重合），平面BCE交棱求證：BC//【變式41】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，點(diǎn)D、E分別為棱A1C1、B1【變式42】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面ABFE與平面CDEF的交線為EF.(1)證明：EF∥(2)若平面FBC⊥平面ABCD，H為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2，F(xiàn)C=2.5，EF=1.5，求該幾何體的體積.【變式43】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于HG，求證：AP//HG．【題型5\o"由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168438/_blank"由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置】【例5】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn).若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則AFFC的值為（

A．1 B．2 C．12 D．【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是菱形，AC交BD于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PA上，AP=λAF，PC∥平面BEF，則λ的值為（

）A．1 B．32 C．3 【變式52】（2023下·河南洛陽·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧AB三等分，過AC作平面α，使SB//α，設(shè)α與SM交于點(diǎn)N，則SNSMA．13 B．12 C．23【變式53】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PC上，PM=tMC，若PA//平面MQB，則t等于（A．12 B．13 C．14【題型6\o"由線面平行求線段長度"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168438/_blank"由線面平行求線段長度】【例6】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體AC1的棱長為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是平面A1B1CA．12 B．22 C．2 【變式61】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長均為1，M，N分別是棱BC，A1B1上的點(diǎn)，且A．34 B．23 C．12【變式62】（2023下·天津武清·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面A．2,52 B．324,【變式63】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC?A′B′C′中，ΔABC為邊長為2的等邊三角形，AA′=4，點(diǎn)E、F、G、H、M分別是邊AA′、AB、BB′、A′B′、A．4 B．23 C．2π D．【題型7面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例7】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面α//平面β，點(diǎn)P為α，β外一點(diǎn)，直線PB，PD分別與α，β相交于A，B和C，D，則AC與BD的位置關(guān)系為（

A．平行 B．相交 C．異面 D．平行或異面【變式71】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，DEEB=1

A．12 B．13 C．23【變式72】（2023下·江蘇無錫·高一錫東高中?？计谥校┤鐖D，在多面體ABC?DEFG中，平面ABC//平面DEFG,EF//DG，且AB=DE,DG=2EF，則()A．BF//平面ACGD B．CF//平面ABEDC．BC//FG D．平面ABED//平面CGF【變式73】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，平面α/平面β，A，C是α內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，則下列所有正確判斷的編號(hào)是（

①當(dāng)AB，CD共面時(shí)，直線AC//BD②當(dāng)AB=2CD時(shí)，E，③當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，直線EF一定與α平行④可能存在直線EF與α垂直A．①③ B．②④ C．①② D．③④【題型8平行問題的綜合應(yīng)用】【例8】（2023下·全國·高一期中）如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).

(1)求證：MN//平面PAD(2)設(shè)平面PBC∩平面PAD=