高數(shù)微積分練習(xí)題集

綜合試卷第=PAGE1*2-11頁（共=NUMPAGES1*22頁） 綜合試卷第=PAGE1*22頁（共=NUMPAGES1*22頁）PAGE①姓名所在地區(qū)姓名所在地區(qū)身份證號(hào)密封線1.請(qǐng)首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號(hào)和所在地區(qū)名稱。2.請(qǐng)仔細(xì)閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫您的答案。3.不要在試卷上亂涂亂畫，不要在標(biāo)封區(qū)內(nèi)填寫無關(guān)內(nèi)容。一、選擇題1.計(jì)算極限

(1)極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$的值是：

A.1

B.0

C.$\infty$

D.不存在

(2)極限$\lim_{x\to\infty}\left(1\frac{1}{x}\right)^x$的值是：

A.0

B.1

C.$\infty$

D.$e$

2.求導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)$f(x)=3x^22x1$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$是：

A.$6x2$

B.$6x1$

C.$6x^22x$

D.$6x^22$

(2)函數(shù)$g(x)=e^x$的導(dǎo)數(shù)$g'(x)$是：

A.$e^x$

B.$e^{x1}$

C.$e^x1$

D.$e^x1$

3.求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)函數(shù)$h(x)=(x^21)^3$的導(dǎo)數(shù)$h'(x)$是：

A.$3(x^21)^2(2x)$

B.$3x(x^21)^2$

C.$6x(x^21)^2$

D.$6x^2(x^21)^2$

(2)函數(shù)$k(x)=\ln(x^21)$的導(dǎo)數(shù)$k'(x)$是：

A.$\frac{2}{x^21}$

B.$\frac{2x}{x^21}$

C.$\frac{2}{x}$

D.$\frac{2x}{x^2}$

4.求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t

(1)函數(shù)$l(x)=\sin(\sqrt{x})$的導(dǎo)數(shù)$l'(x)$是：

A.$\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

B.$\cos(\sqrt{x})$

C.$\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

D.$\sin(\sqrt{x})$

(2)函數(shù)$m(x)=\ln(e^x1)$的導(dǎo)數(shù)$m'(x)$是：

A.$\frac{1}{e^x1}$

B.$\frac{1}{e^x}$

C.$\frac{1}{e^x1}\cdote^x$

D.$\frac{e^x}{e^x1}$

5.高階導(dǎo)數(shù)

(1)函數(shù)$n(x)=e^{2x}$的二階導(dǎo)數(shù)$n''(x)$是：

A.$4e^{2x}$

B.$4e^{2x}2e^{2x}$

C.$4e^{2x}4e^{2x}$

D.$4e^{2x}4xe^{2x}$

(2)函數(shù)$p(x)=\sin(x^2)$的三階導(dǎo)數(shù)$p'''(x)$是：

A.$4\cos(x^2)$

B.$8x\cos(x^2)$

C.$8x^3\sin(x^2)$

D.$8x^3\cos(x^2)$

6.求導(dǎo)數(shù)的乘積法則

(1)函數(shù)$q(x)=(x^21)(2x1)$的導(dǎo)數(shù)$q'(x)$是：

A.$2x^33x^22x1$

B.$2x^33x^24x1$

C.$2x^33x^22x1$

D.$2x^33x^24x1$

(2)函數(shù)$r(x)=x^3e^x$的導(dǎo)數(shù)$r'(x)$是：

A.$3x^2e^xx^3e^x$

B.$3x^2e^x3xe^x$

C.$3x^2e^x3xe^xx^3e^x$

D.$3x^2e^x3xe^x3e^x$

7.求導(dǎo)數(shù)的除法法則

(1)函數(shù)$s(x)=\frac{x^2}{x1}$的導(dǎo)數(shù)$s'(x)$是：

A.$\frac{2x(x1)x^2}{(x1)^2}$

B.$\frac{2x(x1)x^2}{x^21}$

C.$\frac{2x^22xx^2}{(x1)^2}$

D.$\frac{2x^22xx^2}{x^21}$

(2)函數(shù)$t(x)=\frac{e^x}{\ln(x)}$的導(dǎo)數(shù)$t'(x)$是：

A.$\frac{e^x\ln(x)e^x}{x\ln^2(x)}$

B.$\frac{e^x\ln(x)e^x}{x\ln(x)}$

C.$\frac{e^x\ln(x)e^x}{x\ln(x)^2}$

D.$\frac{e^x\ln(x)e^x}{x\ln(x)^2}$

8.求導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)法則

(1)函數(shù)$u(x)=\arctan(x)$的導(dǎo)數(shù)$u'(x)$是：

A.$\frac{1}{1x^2}$

B.$\frac{1}{x^21}$

C.$\frac{1}{x^21}$

D.$\frac{1}{x^2}$

(2)函數(shù)$v(x)=\ln(\sqrt{x})$的導(dǎo)數(shù)$v'(x)$是：

A.$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

B.$\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

C.$\frac{1}{x\sqrt{x}}$

D.$\frac{1}{2x^2\sqrt{x}}$

答案及解題思路：

1.(1)A；極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，因?yàn)?\sinx$在$x$接近0時(shí)的行為與$x$相同。

(2)D；極限$\lim_{x\to\infty}\left(1\frac{1}{x}\right)^x=e$，這是$e$的定義。

2.(1)A；$f'(x)=6x2$，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是多項(xiàng)式的系數(shù)乘以指數(shù)減1。

(2)A；$g'(x)=e^x$，因?yàn)?e^x$的導(dǎo)數(shù)還是$e^x$。

3.(1)A；使用鏈?zhǔn)椒▌t和冪的導(dǎo)數(shù)法則。

(2)B；使用鏈?zhǔn)椒▌t和$\lnx$的導(dǎo)數(shù)法則。

4.(1)A；使用鏈?zhǔn)椒▌t和$\sinx$的導(dǎo)數(shù)法則。

(2)D；使用鏈?zhǔn)椒▌t和$\lnx$的導(dǎo)數(shù)法則。

5.(1)A；使用鏈?zhǔn)椒▌t和$e^x$的導(dǎo)數(shù)法則。

(2)C；使用鏈?zhǔn)椒▌t和$\sinx$的導(dǎo)數(shù)法則。

6.(1)B；使用乘積法則。

(2)A；使用乘積法則和$e^x$的導(dǎo)數(shù)法則。

7.(1)A；使用除法法則。

(2)C；使用除法法則和$e^x$的導(dǎo)數(shù)法則。

8.(1)A；使用反函數(shù)法則。

(2)A；使用反函數(shù)法則和$\lnx$的導(dǎo)數(shù)法則。二、填空題1.極限的定義

若函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量\(x\)趨向于\(x_0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)的極限為\(A\)，記作\(\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A\)。

2.導(dǎo)數(shù)的定義

函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)可導(dǎo)，如果存在常數(shù)\(f'(x_0)\)，使得當(dāng)\(x\)趨向于\(x_0\)時(shí)，差商\(\frac{f(x)f(x_0)}{xx_0}\)的極限存在，則該極限值\(f'(x_0)\)就是函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的導(dǎo)數(shù)。

3.常見的導(dǎo)數(shù)公式

例如：\(\left(c\right)'=0\)，\(\left(x^n\right)'=nx^{n1}\)，\(\left(\sinx\right)'=\cosx\)，\(\left(\cosx\right)'=\sinx\)等。

4.求導(dǎo)數(shù)的法則

例如：和的導(dǎo)數(shù)法則、差的導(dǎo)數(shù)法則、積的導(dǎo)數(shù)法則、商的導(dǎo)數(shù)法則等。

5.高階導(dǎo)數(shù)的求法

高階導(dǎo)數(shù)可以通過對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)得到。例如\(f''(x)\)是\(f'(x)\)的導(dǎo)數(shù)，\(f'''(x)\)是\(f''(x)\)的導(dǎo)數(shù)，依此類推。

6.求導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù)法則

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即\(\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdotg'(x)\)。

7.求導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)法則

若\(y=f(x)\)是單調(diào)可導(dǎo)的，則其反函數(shù)\(x=g(y)\)的導(dǎo)數(shù)\(g'(y)\)與\(f'(x)\)的關(guān)系為\(g'(y)=\frac{1}{f'(x)}\)。

8.求導(dǎo)數(shù)的拉格朗日中值定理

若函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，則存在至少一點(diǎn)\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)f(a)=f'(\xi)(ba)\)。

答案及解題思路：

1.極限的定義

答案：\(\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A\)

解題思路：根據(jù)極限的定義，計(jì)算\(f(x)\)在\(x\)趨向于\(x_0\)時(shí)的極限值。

2.導(dǎo)數(shù)的定義

答案：\(f'(x_0)\)

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算差商的極限值得到導(dǎo)數(shù)。

3.常見的導(dǎo)數(shù)公式

答案：\(\left(c\right)'=0\)，\(\left(x^n\right)'=nx^{n1}\)，\(\left(\sinx\right)'=\cosx\)，\(\left(\cosx\right)'=\sinx\)等。

解題思路：直接應(yīng)用已知的導(dǎo)數(shù)公式。

4.求導(dǎo)數(shù)的法則

答案：和的導(dǎo)數(shù)法則、差的導(dǎo)數(shù)法則、積的導(dǎo)數(shù)法則、商的導(dǎo)數(shù)法則等。

解題思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，分別求出各部分的導(dǎo)數(shù)。

5.高階導(dǎo)數(shù)的求法

答案：通過多次求導(dǎo)得到。

解題思路：對(duì)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)求導(dǎo)，直到得到所需的高階導(dǎo)數(shù)。

6.求導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù)法則

答案：\(\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdotg'(x)\)

解題思路：先求出外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則。

7.求導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)法則

答案：\(g'(y)=\frac{1}{f'(x)}\)

解題思路：根據(jù)反函數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的定義，求出反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

8.求導(dǎo)數(shù)的拉格朗日中值定理

答案：存在至少一點(diǎn)\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)f(a)=f'(\xi)(ba)\)。

解題思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件，證明存在這樣的\(\xi\)并求出\(\xi\)的值。三、判斷題1.極限一定存在

2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)處處存在

3.導(dǎo)數(shù)可以表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率

4.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性等價(jià)

5.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，函數(shù)在此點(diǎn)取得極值

6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以用來表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率

7.導(dǎo)數(shù)的物理意義可以用來表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率

8.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則適用于所有可導(dǎo)函數(shù)

答案及解題思路：

1.答案：錯(cuò)

解題思路：極限的概念是在數(shù)學(xué)分析中非常重要的一個(gè)概念，它表示一個(gè)數(shù)列或函數(shù)當(dāng)自變量趨向某個(gè)值時(shí)的極限行為。并不是所有的極限都一定存在，例如函數(shù)\(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\)在\(x\to0\)時(shí)極限存在，但函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)在\(x\to0^\)時(shí)的極限不存在。

2.答案：錯(cuò)

解題思路：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不一定在其定義域內(nèi)處處存在。例如函數(shù)\(f(x)=x\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，盡管它在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。

3.答案：對(duì)

解題思路：導(dǎo)數(shù)的定義就是函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率。這是導(dǎo)數(shù)最基本的幾何意義。

4.答案：錯(cuò)

解題思路：函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性并不是等價(jià)的。一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)并不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)，比如函數(shù)\(f(x)=x\)在\(x=0\)處連續(xù)但不可導(dǎo)。

5.答案：錯(cuò)

解題思路：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。例如函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0，但不是極值點(diǎn)，而是拐點(diǎn)。

6.答案：對(duì)

解題思路：導(dǎo)數(shù)的幾何意義確實(shí)可以用來表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率。

7.答案：對(duì)

解題思路：導(dǎo)數(shù)的物理意義是表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，這在物理學(xué)中常用于描述速度和加速度等物理量的變化率。

8.答案：錯(cuò)

解題思路：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則只適用于那些在給定規(guī)則下可導(dǎo)的函數(shù)。并不是所有可導(dǎo)函數(shù)都遵循這些運(yùn)算規(guī)則，比如在某些奇點(diǎn)或者不可導(dǎo)點(diǎn)附近的函數(shù)。四、計(jì)算題1.計(jì)算極限

題目：計(jì)算\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)

解題過程：利用洛必達(dá)法則，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=1\)。

2.求導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(f(x)=x^36x^29x1\)的導(dǎo)數(shù)。

解題過程：\(f'(x)=3x^212x9\)。

3.求高階導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(f(x)=e^x\)的三階導(dǎo)數(shù)。

解題過程：\(f''(x)=e^x\)，\(f'''(x)=e^x\)。

4.求導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù)

題目：已知\(f(x)=\sqrt{x}\)和\(g(x)=x^2\)，求\(f(g(x))\)的導(dǎo)數(shù)。

解題過程：先求\(g(x)\)的導(dǎo)數(shù)，得\(g'(x)=2x\)，再求\(f(g(x))\)的導(dǎo)數(shù)，得\(f'(g(x))\cdotg'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot2x=\frac{1}{\sqrt{x}}\)。

5.求導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)

題目：已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x2}\)，求其反函數(shù)\(f^{1}(x)\)的導(dǎo)數(shù)。

解題過程：反函數(shù)\(f^{1}(x)\)滿足\(x=\frac{1}{y2}\)，解得\(y=\frac{1}{x}2\)，所以\(f^{1}'(x)=\frac{1}{x^2}\)。

6.求導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

題目：已知\(f(x)=e^{3x}\)，求\(f'(x)\)的導(dǎo)數(shù)。

解題過程：\(f'(x)=3e^{3x}\)，再求導(dǎo)得\(f''(x)=9e^{3x}\)。

7.求導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

題目：求函數(shù)\(f(x)=x^5\)的三階導(dǎo)數(shù)。

解題過程：\(f'(x)=5x^4\)，\(f''(x)=20x^3\)，\(f'''(x)=60x^2\)。

8.求導(dǎo)數(shù)的拉格朗日中值定理

題目：已知函數(shù)\(f(x)=x^2\)在區(qū)間\([1,4]\)上連續(xù)，求存在\(\xi\in(1,4)\)使得\(f'(\xi)=\frac{f(4)f(1)}{41}\)。

解題過程：由拉格朗日中值定理，存在\(\xi\in(1,4)\)使得\(f'(\xi)=\frac{f(4)f(1)}{41}\)，其中\(zhòng)(f'(x)=2x\)，代入得\(2\xi=\frac{161}{3}=\frac{15}{3}=5\)，解得\(\xi=\frac{5}{2}\)。

答案及解題思路：

答案：

1.1

2.\(3x^212x9\)

3.\(e^x\)

4.\(\frac{1}{\sqrt{x}}\)

5.\(\frac{1}{x^2}\)

6.\(9e^{3x}\)

7.\(60x^2\)

8.\(\xi=\frac{5}{2}\)

解題思路：

1.使用洛必達(dá)法則解決\(\frac{0}{0}\)型極限。

2.應(yīng)用冪函數(shù)求導(dǎo)法則求解。

3.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為自身。

4.利用鏈?zhǔn)椒▌t求解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5.求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要先找到反函數(shù)。

6.使用冪函數(shù)求導(dǎo)法則和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

7.指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)多次，結(jié)果仍然是指數(shù)函數(shù)乘以其指數(shù)。

8.使用拉格朗日中值定理求函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，需要找到中值點(diǎn)。五、證明題1.證明函數(shù)的可導(dǎo)性

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^33x2\)，證明該函數(shù)在\(x=0\)處可導(dǎo)。

解題思路：首先計(jì)算\(f(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)定義，然后證明極限存在。

2.證明導(dǎo)數(shù)的存在性

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)，證明該函數(shù)在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)存在。

解題思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算\(f(x)\)在\(x=0\)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，并證明兩者相等。

3.證明導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2\sin(1/x)\)（\(x\neq0\)，\(f(0)=0\)），證明該函數(shù)在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

解題思路：首先證明函數(shù)在\(x=0\)處可導(dǎo)，然后證明導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。

4.證明導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^22x1\)和\(g(x)=x^33x4\)，證明\((fg)'(x)=(f')'(x)(g')'(x)\)。

解題思路：分別求出\(f(x)\)和\(g(x)\)的導(dǎo)數(shù)，然后證明它們的和的導(dǎo)數(shù)等于各自導(dǎo)數(shù)的和。

5.證明高階導(dǎo)數(shù)的存在性

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=e^x\)，證明該函數(shù)在\(x=0\)處存在三階導(dǎo)數(shù)。

解題思路：利用\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，逐步求出\(f(x)\)的一階、二階和三階導(dǎo)數(shù)，并證明在\(x=0\)處存在三階導(dǎo)數(shù)。

6.證明復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2\)和\(g(x)=\sin(x)\)，證明復(fù)合函數(shù)\((f\circg)(x)=f(g(x))=\sin^2(x)\)的導(dǎo)數(shù)。

解題思路：根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，分別求出\(f(x)\)和\(g(x)\)的導(dǎo)數(shù)，然后應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

7.證明反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=2x3\)，證明其反函數(shù)\(f^{1}(x)\)的導(dǎo)數(shù)。

解題思路：首先求出\(f(x)\)的反函數(shù)，然后利用反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式證明其導(dǎo)數(shù)。

8.證明拉格朗日中值定理

題目：設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^2\)在閉區(qū)間\([0,1]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((0,1)\)內(nèi)可導(dǎo)，證明存在\(\xi\in(0,1)\)使得\(f'(\xi)=\frac{f(1)f(0)}{10}\)。

解題思路：利用拉格朗日中值定理的條件，找到滿足定理的\(\xi\)值，并證明\(f'(\xi)\)滿足等式。

答案及解題思路：

1.解題思路：計(jì)算\(f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{(0h)^33(0h)2(0^33\cdot02)}{h}\)，得到\(f'(0)=0\)。

2.解題思路：計(jì)算\(f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{0h}\sqrt{0}}{h}\)，得到\(f'(0)=0\)。

3.解題思路：計(jì)算\(f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)f(0)}{h}\)，得到\(f'(0)=0\)，然后證明\(f'(0)\)連續(xù)。

4.解題思路：計(jì)算\(f'(x)=2x2\)和\(g'(x)=3x^23\)，然后證明\((fg)'(x)=2x5\)。

5.解題思路：計(jì)算\(f'(x)=e^x\)，\(f''(x)=e^x\)，\(f'''(x)=e^x\)，證明\(f'''(0)=e^0=1\)。

6.解題思路：計(jì)算\(f'(x)=2x\)，\(g'(x)=\cos(x)\)，應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t得到\((f\circg)'(x)=2x\cos(x)\)。

7.解題思路：計(jì)算\(f'(x)=2\)，根據(jù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得到\(f^{1}'(x)=\frac{1}{2}\)。

8.解題思路：根據(jù)拉格朗日中值定理，存在\(\xi\in(0,1)\)使得\(f'(\xi)=2\xi=2\)。六、應(yīng)用題1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

（1）已知函數(shù)\(f(x)=3x^39x^212x2\)，請(qǐng)判斷該函數(shù)的單調(diào)性。

（2）判斷函數(shù)\(f(x)=\ln(x^21)\)的單調(diào)性。

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值

（1）求函數(shù)\(f(x)=x^42x^33x^22x1\)的極值。

（2）函數(shù)\(f(x)=e^{x^2}2x\)的極值點(diǎn)是多少？

3.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的拐點(diǎn)

（1）求函數(shù)\(f(x)=x^48x^324x^232x8\)的拐點(diǎn)。

（2）函數(shù)\(f(x)=\ln(x^22x)\)的拐點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

4.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的漸近線

（1）求函數(shù)\(f(x)=\frac{x^21}{x2}\)的水平漸近線。

（2）函數(shù)\(f(x)=\frac{x^22x}{x^33}\)的垂直漸近線在哪里？

5.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的切線方程

（1）求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^21}\)在\(x=2\)處的切線方程。

（2）函數(shù)\(f(x)=x\ln(x)\)在\(x=1\)處的切線方程是多少？

6.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的積分

（1）求函數(shù)\(f(x)=x^2e^x\)的不定積分。

（2）函數(shù)\(f(x)=\sin(2x)\cos(x)\)的不定積分是多少？

7.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題

（1）求函數(shù)\(f(x)=\frac{3x^22x1}{x1}\)的最大值和最小值。

（2）函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}x\)的最大值是多少？

8.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的層級(jí)輸出

（1）已知某產(chǎn)品每月的需求量與價(jià)格的關(guān)系為\(Q=3002P\)，其中\(zhòng)(Q\)為需求量，\(P\)為價(jià)格（元/件）。假設(shè)產(chǎn)品的單位成本為15元/件，請(qǐng)求該產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)，以使利潤最大化。

（2）一物體的位移函數(shù)為\(s(t)=3t^22t^3\)，其中\(zhòng)(t\)為時(shí)間（秒）。求在\(t=2\)秒時(shí)，該物體的速度和加速度。

答案及解題思路：

1.單調(diào)性：函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((\infty,\infty)\)上單調(diào)遞增；函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((\infty,\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞增，在區(qū)間\((\frac{\pi}{2},\infty)\)上單調(diào)遞減。

2.極值：函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極小值1；函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極大值1。

3.拐點(diǎn)：函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處取得拐點(diǎn)；函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處取得拐點(diǎn)。

4.漸近線：函數(shù)\(f(x)\)的水平漸近線為\(y=1\)；函數(shù)\(f(x)\)的垂直漸近線為\(x=0\)。

5.切線方程：函數(shù)\(f(x)\)在\(x=2\)處的切線方程為\(y=3\sqrt{3}x2\sqrt{3}1\)；函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處的切線方程為\(y=x\ln(x)\)。

6.積分：函數(shù)\(f(x)\)的不定積分為\(\int(x^2e^x)\,dx=e^x(x^22x2)C\)；函數(shù)\(f(x)\)的不定積分為\(\int(\sin(2x)\cos(x))\,dx=\frac{1}{3}\sin^3(2x)C\)。

7.最值：函數(shù)\(f(x)\)的最大值為17，最小值為4；函數(shù)\(f(x)\)的最大值為1。

8.實(shí)際應(yīng)用問題：

（1）最優(yōu)定價(jià)為\(P=10\)元/件，最大利潤為25元/件。

（2）在\(t=2\)秒時(shí)，速度\(v(t)=6\)米/秒，加速度\(a(t)=6\)米/秒2。七、拓展題1.利用導(dǎo)數(shù)證明費(fèi)馬定理

題目：證明：如果函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且在\((a,b)\)內(nèi)的任意一點(diǎn)\(c\)都滿足\(f'(c)=0\)，那么\(f(a)=f(b)\)。

解題思路：

1.構(gòu)造輔助函數(shù)\(F(x)=f(x)f(a)\frac{f(b)f(a)}{ba}(xa)\)。

2.證明\(F(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)。

3.計(jì)算\(F(a)=F(b)=0\)。

4.由羅爾定理知，存在\(\xi\in(a,b)\)使得\(F'(\xi)=0\)。

5.證明\(F'(\xi)=0\)意味著\(f'(\xi)=0\)。

6.利用費(fèi)馬定理結(jié)論\(f(a)=f(b)\)。

2.利用導(dǎo)數(shù)證明拉格朗日中值定理

題目：證明：如果函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，那么存在\(\eta\in(a,b)\)使得\(f'(\eta)=\frac{f(b)f(a)}{ba}\)。

解題思路：

1.構(gòu)造輔助函數(shù)\(F(x)=f(x)\frac{f(b)f(a)}{ba}x\)。

2.證明\(F(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)。

3.計(jì)算\(F(a)=F(b)=0\)。

4.由羅爾定理知，存在\(\eta\in(a,b)\)使得\(F'(\eta)=0\)。

5.證明\(F'(\eta)=0\)意味著\(f'(\eta