導(dǎo)數(shù)高中試題及解析答案

導(dǎo)數(shù)高中試題及解析答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(2\)D.\(0\)2.若\(f(x)=e^x\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(e^x\)B.\(-e^x\)C.\(xe^x\)D.\(e^{-x}\)3.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)4.曲線(xiàn)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線(xiàn)斜率為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)是（）A.\(1+\frac{1}{x^2}\)B.\(1-\frac{1}{x^2}\)C.\(1-\frac{1}{x}\)D.\(1+\frac{1}{x}\)6.若\(y=\lnx\)，則\(y^\prime\)為（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(\lnx\)7.函數(shù)\(y=\cos2x\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(-2\sin2x\)B.\(2\sin2x\)C.\(-\sin2x\)D.\(\sin2x\)8.曲線(xiàn)\(y=e^{2x}\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線(xiàn)方程是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=2x+1\)C.\(y=2x-1\)D.\(y=x-1\)9.函數(shù)\(f(x)=x^4\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)為（）A.\(4x^3\)B.\(x^4\)C.\(4x^4\)D.\(3x^3\)10.若\(y=\tanx\)，則\(y^\prime\)等于（）A.\(\sec^2x\)B.\(-\sec^2x\)C.\(\csc^2x\)D.\(-\csc^2x\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A.\((x^5)^\prime=5x^4\)B.\((\cosx)^\prime=\sinx\)C.\((a^x)^\prime=a^x\lna\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)2.曲線(xiàn)\(y=x^3-3x\)上滿(mǎn)足斜率為\(0\)的點(diǎn)有（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((0,0)\)D.\((2,2)\)3.函數(shù)\(f(x)\)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.函數(shù)在該點(diǎn)有極限C.函數(shù)在該點(diǎn)切線(xiàn)存在D.函數(shù)在該點(diǎn)一定可微4.下列函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)5.若函數(shù)\(y=f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則（）A.\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增B.\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減C.\(f(x)\)在\((a,b)\)上是凸函數(shù)D.\(f(x)\)在\((a,b)\)上是凹函數(shù)6.求導(dǎo)公式\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)中，\(u\)、\(v\)可以是（）A.多項(xiàng)式函數(shù)B.三角函數(shù)C.指數(shù)函數(shù)D.對(duì)數(shù)函數(shù)7.函數(shù)\(y=x^3-x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})\)B.\((-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)C.\((\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)8.已知\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)的圖象，則（）A.若\(f^\prime(x)\)在某區(qū)間大于\(0\)，則\(f(x)\)在該區(qū)間遞增B.若\(f^\prime(x)\)在某區(qū)間小于\(0\)，則\(f(x)\)在該區(qū)間遞減C.若\(f^\prime(x)\)有零點(diǎn)，則\(f(x)\)有極值點(diǎn)D.若\(f^\prime(x)\)圖象在\(x\)軸上方，則\(f(x)\)是增函數(shù)9.函數(shù)\(y=\sinx+\cosx\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime\)可以寫(xiě)成（）A.\(\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})\)B.\(\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)C.\(\cosx-\sinx\)D.\(-\sinx-\cosx\)10.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)切線(xiàn)的斜率B.導(dǎo)數(shù)大于\(0\)，曲線(xiàn)在該點(diǎn)切線(xiàn)傾斜角為銳角C.導(dǎo)數(shù)小于\(0\)，曲線(xiàn)在該點(diǎn)切線(xiàn)傾斜角為鈍角D.導(dǎo)數(shù)為\(0\)，曲線(xiàn)在該點(diǎn)切線(xiàn)與\(x\)軸平行或重合三、判斷題（每題2分，共10題）1.常數(shù)函數(shù)\(y=C\)（\(C\)為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)是\(0\)。（）2.函數(shù)\(y=x^n\)（\(n\)為實(shí)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)是\(nx^{n-1}\)。（）3.若\(f(x)\)在\(x=a\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處一定不連續(xù)。（）4.曲線(xiàn)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線(xiàn)方程為\(y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)。（）5.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的導(dǎo)數(shù)是\(2\sinx\)。（）6.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的最大值一定是\(f(a)\)或\(f(b)\)。（）7.若\(f^\prime(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(x)\)是奇函數(shù)。（）8.函數(shù)\(y=e^{-x}\)的導(dǎo)數(shù)是\(e^{-x}\)。（）9.函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)在某區(qū)間上恒為\(1\)，則\(f(x)\)在該區(qū)間是一次函數(shù)。（）10.曲線(xiàn)\(y=\lnx\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線(xiàn)斜率為\(1\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-2x^2+3x-1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=3x^2-4x+3\)。2.曲線(xiàn)\(y=x^2\)上哪一點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)\(y=4x-5\)平行？答案：直線(xiàn)\(y=4x-5\)斜率為\(4\)，\(y=x^2\)導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=2x\)，令\(2x=4\)，得\(x=2\)，代入\(y=x^2\)得\(y=4\)，所以點(diǎn)\((2,4)\)處切線(xiàn)與直線(xiàn)平行。3.求函數(shù)\(f(x)=x^2e^x\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，\(u=x^2\)，\(u^\prime=2x\)，\(v=e^x\)，\(v^\prime=e^x\)，則\(f^\prime(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)\)。4.函數(shù)\(y=\cosx\)在\(x=\frac{\pi}{3}\)處的切線(xiàn)方程是什么？答案：\(y=\cosx\)導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=-\sinx\)，\(x=\frac{\pi}{3}\)時(shí)，\(y^\prime=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(y=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)，切線(xiàn)方程為\(y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-\frac{\pi}{3})\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的單調(diào)性與極值。答案：\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，\(f(x)\)遞增；令\(f^\prime(x)\lt0\)，得\(-1\ltx\lt1\)，\(f(x)\)遞減。極大值\(f(-1)=2\)，極小值\(f(1)=-2\)。2.結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)，談?wù)勅绾闻袛嗪瘮?shù)圖象的凹凸性。答案：若函數(shù)\(f(x)\)的二階導(dǎo)數(shù)\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，則函數(shù)圖象在相應(yīng)區(qū)間是凹的；若\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)，則函數(shù)圖象在相應(yīng)區(qū)間是凸的。例如\(y=x^2\)，\(y^\prime=2x\)，\(y^{\prime\prime}=2\gt0\)，圖象是凹的。3.舉例說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：如在成本與利潤(rùn)問(wèn)題中，設(shè)成本函數(shù)\(C(x)\)，利潤(rùn)函數(shù)\(L(x)\)，通過(guò)求導(dǎo)找到\(L^\prime(x)=0\)的點(diǎn)，即邊際利潤(rùn)為\(0\)的點(diǎn)，可確定最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量。再如運(yùn)動(dòng)中，速度是位移的導(dǎo)數(shù)，加速度是速度的導(dǎo)數(shù)，能分析物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。4.已知函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)的圖象，如何分析\(f(x)\)的性質(zhì)？答案：若\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)遞增；\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)遞減。\(f^\prime(x)\)零點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，\(f^\prime(x)\)從正變負(fù)是極大值點(diǎn)，從負(fù)變正為極小值點(diǎn)。還可根據(jù)\(f^\prime(x)\)