湖南省衡陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

Page20湖南省衡陽市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題時(shí)量：120分鐘分值：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，即可得到，即可得解.【詳解】由，則，所以，所以，又因?yàn)?，所以，或，則，，或，則A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A2.橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.【詳解】由題意得，解得，故選：A.3.已知直線和直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行滿足的系數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】若直線和直線平行，則，解得，所以“”是“”的充要條件，故選：A4.在平面直角坐標(biāo)系中，若滿足的點(diǎn)都在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由可得點(diǎn)在圓心，的內(nèi)部，結(jié)合條件列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】，則，，圓心，，都在，則兩圓內(nèi)切或內(nèi)含．∴，∴，故選:B．5.已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量、向量數(shù)量積等知識求得正確答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以為鈍角，且.故選：A6.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足線段相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用橢圓定義計(jì)算作答.【詳解】設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于點(diǎn)M，連結(jié)、，如圖，因M、O分別為、的中點(diǎn)，則，且，又線段與圓O相切于點(diǎn)M，即，即有，在中，||=2c，||=2b，于是得，根據(jù)橢圓的定義，得，因此，整理得，解得，所以橢圓的離心率.故選：A7.已知等邊的邊長為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系且，，，進(jìn)而確定的軌跡圓，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示并結(jié)合所得表達(dá)式的幾何意義求范圍即可.【詳解】如下圖構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，且，，，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為，而，故，綜上，只需求出定點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離平方的范圍即可，而圓心與的距離，故定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離范圍為，所以.故選：B8.如圖，正方體的棱長為2，設(shè)P是棱的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），M是正方形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在滿足條件的點(diǎn)M，使B.當(dāng)點(diǎn)Q在線段上移動(dòng)時(shí)，必存在點(diǎn)M，使C.三棱錐的體積存在最大值和最小值D.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】由已知，取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，并連接，可得點(diǎn)M的軌跡為線段．對于A，連接，交于點(diǎn)O，可得平面，當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，，又，則可判斷：對于B，分別以向量，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算可得存在，即可判斷；對于C，設(shè)點(diǎn)M到的距離為h，可知當(dāng)M與E重合時(shí)，，當(dāng)M與F重合時(shí)，，即可求出三棱錐的體積存在最大值和最小值，則可判斷；對于D，由平面知，即為直線與平面所成的角，在中，可得，則得，進(jìn)而得，則可判斷.【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，，，，如圖所示．易知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理，平面，又，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故點(diǎn)M的軌跡為線段．對于A，連接，交于點(diǎn)O，如圖所示．則，又，，平面，所以平面，當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)椋?，故A正確；對于B，分別以向量，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，，設(shè)（），得，從而，又，令，得，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得，即當(dāng)點(diǎn)Q在線段上移動(dòng)時(shí)，均存在點(diǎn)M，使，故B正確；對于C，設(shè)點(diǎn)M到的距離為h，則三棱錐的體積為，當(dāng)M與E重合時(shí)，，得；當(dāng)M與F重合時(shí)，，得，故C正確；對于D，設(shè)直線與平面所成的角為、連接，如圖所示．由平面知，，在中，由，得，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題關(guān)鍵是先找到點(diǎn)M的軌跡，對于B選項(xiàng)，通過設(shè)出向量的含參坐標(biāo)，借助參數(shù)的范圍滿足條件，得到答案；對于C選項(xiàng)，利用等積轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成棱錐高取得最值，可得體積最值；對于D選項(xiàng)，關(guān)鍵是找到線面角正切的范圍，進(jìn)而得到余弦的范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于方程，下列說法正確的是（）A.若，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B.若，則該方程表示圓，其半徑為C.若，則該方程表示橢圓，其焦點(diǎn)在x軸上D.若，則該方程表示兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】AC選項(xiàng)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓特征得到答案；B選項(xiàng)，化為，得到B正確；D選項(xiàng)，化為，故D正確.【詳解】對于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時(shí)該方程表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；對于C，，則可化為，由于，所以，故該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C正確；對于D，若，則可化為，即，此時(shí)該方程表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．故選：ACD10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C，下列結(jié)論正確的是（）A.圓C的方程是B.過點(diǎn)A且斜率為的直線被圓C截得的弦長為C.圓C與圓有四條公切線D.過點(diǎn)A作直線l，若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l距離為，該直線斜率為【答案】BD【解析】【分析】對A，設(shè)，再根據(jù)列式化簡可得圓的方程；對B，根據(jù)垂徑定理求解即可；對C，根據(jù)圓心間的距離與半徑和差的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而可得公切線條數(shù)；對D，分直線斜率為0與不為0討論，再根據(jù)圓心到直線距離與半徑的關(guān)系列式求解即可.【詳解】對A，設(shè)，由可得，即，化簡可得，故A錯(cuò)誤；對B，過點(diǎn)A且斜率為的直線方程為，即，則圓的圓心到的距離為，故所求弦長為，故B正確；對C，圓圓心到圓心的距離為，又兩圓的半徑和為，故兩圓相交，有兩條公切線，故C錯(cuò)誤；對D，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線l距離為不合題意，設(shè)直線，則由題意C到的距離等于，即，解得，故斜率直線斜率為，故D正確；故選：BD11.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則（）A. B.的面積等于C.直線的斜率為 D.的離心率等于【答案】ABD【解析】【分析】由線段比例關(guān)系以及橢圓定義可知，且滿足，即可得A正確；易知可得B正確；在等腰直角三角形中，可知直線斜率為，計(jì)算可得的離心率等于.【詳解】由可知，不妨設(shè)，又，可得；利用橢圓定義可知，所以可得；即，所以點(diǎn)即為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，如下圖所示：由，可知滿足，所以；即A正確；所以等腰直角三角形，且，因此的面積為，即B正確；此時(shí)可得直線的斜率，所以C錯(cuò)誤；在等腰直角三角形中，易知，即可得離心率，即D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若圓柱的底面半徑為2，軸截面的對角線長為5，則這個(gè)圓柱側(cè)面展開圖的對角線長為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理及圓柱與圓柱側(cè)面展開圖的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)閳A柱的底面半徑為2，所以圓柱的底面直徑為4，又因?yàn)檩S截面的對角線長為5，所以圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面展開圖的長為，寬為3，所以這個(gè)圓柱側(cè)面展開圖的對角線長為.故答案為：.13.設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，則P到直線的距離的最大值為____________．【答案】【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再求出直線所過的定點(diǎn)，則所求距離的最大值就是的長度.【詳解】由可以得到，故，直線的方程可整理為：，故直線過定點(diǎn)，因?yàn)榈街本€的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，故答案為：.14.設(shè)I、G分別是的內(nèi)心和重心，若于F，則以B、C為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率是____________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖像，利用點(diǎn)坐標(biāo)以及重心性質(zhì)，得到G點(diǎn)坐標(biāo)，再由題目條件軸，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后兩次運(yùn)用角平分線的相關(guān)性質(zhì)得到的比值，再結(jié)合與相似，即可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就是內(nèi)切圓半徑，再利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，從而求得橢圓離心率.【詳解】如圖，令點(diǎn)在第一象限（由橢圓對稱性，其他位置同理），連接，顯然點(diǎn)在上，連接并延長交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，軸，過點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)檩S，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)也為，，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，則有，又因?yàn)?，所以可得，又由角平分線的性質(zhì)可得，，而所以得，所以，，所以，即，因?yàn)榧?，化簡?解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，同時(shí)也應(yīng)用了重心坐標(biāo)公式，注意數(shù)形結(jié)合.三、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓是以點(diǎn)和點(diǎn)2,0為直徑端點(diǎn)的圓，圓是以點(diǎn)和點(diǎn)0,2為直徑端點(diǎn)的圓．（1）求圓，的方程；（2）已知兩圓相交于，兩點(diǎn)，求直線的方程及公共弦AB的長.【答案】（1）：，：（2），【解析】【分析】（1）求出圓心及半徑即可得圓的方程；（2）聯(lián)立兩圓方程，即可求出兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線的方程及公共弦AB的長.【小問1詳解】的圓心為1,0，半徑，故：，的圓心為0,1，半徑，故：；【小問2詳解】聯(lián)立，解得或，則，則，.16.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出角.（2）利用正弦定理邊化角，再利用差角的正弦及輔助角公式化簡，借助正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【小問1詳解】由，得由余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由（1）及正弦定理得由，得，即，則，所以的取值范圍是.17.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，應(yīng)用向量法求證垂直即可；（2）由三棱錐體積最大，只需△面積最大求出參數(shù)，再標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面與平面的法向量，進(jìn)而求它們夾角的余弦值，即可得正切值.小問1詳解】如下圖，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，所以，，，，則，，故，所以，即.【小問2詳解】由（1）可得三棱錐體積取最大，即面積最大，所以當(dāng)時(shí)，故、為、上的中點(diǎn)，所以，，，故，，若為平面的法向量，則，令，故，又面的法向量為，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則，所以，所以，所以平面與平面的夾角正切值為.18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，焦距為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)、的圓交直線于、兩點(diǎn)，直線、分別交橢圓于、.（1）求橢圓的方程；（2）記直線，的斜率分別為、，求的值；（3）證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）由題意求出，即可得答案；（2）法一：設(shè)，寫出圓的方程為：，利用圓過，代入圓的方程得，化簡，即得答案；法二：設(shè)，圓半徑為r，寫出圓方程，圓過，可得，由此化簡，，即得答案.（3）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合，化簡可得參數(shù)之間的關(guān)系式，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，即可確定定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由已知得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】法一：設(shè)，則圓的方程為：，圓過，代入圓的方程得，故；法二：設(shè)，圓半徑為r，則圓方程為：，圓過，，由題意可設(shè)，則；【小問3詳解】由題意知，當(dāng)圓的圓心不在x軸上時(shí)，直線PQ斜率存在，設(shè)直線，，則，需滿足，則，，則，結(jié)合第一問知，即，即得，化簡得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線PQ方程為，直線PQ過點(diǎn)A-2,0，不合題意，當(dāng)時(shí)，直線PQ方程為，故直線PQ過定點(diǎn)；當(dāng)圓的圓心在x軸上時(shí)，M，N關(guān)于x軸對稱，此時(shí)直線PQ斜率不存在，圓G方程為，令，則，此時(shí)不妨設(shè)，則的方程為，即，聯(lián)立，得，解得或，即P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則直線PQ此時(shí)也過點(diǎn)，故直線PQ過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于第三問中的定點(diǎn)問題，解答時(shí)要利用設(shè)方程，求出參數(shù)之間的關(guān)系，利用直線的點(diǎn)斜式確定定點(diǎn)坐標(biāo)，要特別注意計(jì)算的復(fù)雜性.19.已知.定義點(diǎn)集與的圖象的公共點(diǎn)為在上的截點(diǎn).（1）若在上的截點(diǎn)個(gè)數(shù)為.求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在上的截點(diǎn)為與.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為無解，判斷可得，則，即可求出的取值范圍；（2）（i）依題意可得方程在上有兩個(gè)解，可化為函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)的問題，去掉絕對值，討論函數(shù)的單調(diào)性，求出在