專題14空間向量及其運算的坐標表示（舉一反三）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

專題1.4空間向量及其運算的坐標表示【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求空間點的坐標】 1【題型2空間向量運算的坐標表示】 2【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】 3【題型4根據(jù)空間向量的坐標運算求參數(shù)】 3【題型5空間向量模長的坐標表示】 4【題型6空間向量平行的坐標表示】 6【題型7空間向量垂直的坐標表示】 7【題型8空間向量夾角余弦的坐標表示】 8【知識點1空間直角坐標系】1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系及相關概念①空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.②相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．(2)右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．2．空間一點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．【題型1求空間點的坐標】【例1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）空間直角坐標系中，已知A?1,1,3，則點A關于yOz平面的對稱點的坐標為（

）A．1,1,?3 B．?1,?1,?3 C．1,1,3 D．?1,?1,3【變式11】（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知點A(3,?1,0)，若向量AB=?1,6,?3，則點B的坐標是（A．(1,?6,3) B．(5,4,?3) C．(?1,6,?3) D．(2,5,?3)【變式12】（2023秋·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）若點A1,2,3，點B4,?1,0，且AC=2CB，則點A．3,0,1 B．2,1,2C．32,?3【變式13】（2023·高二單元測試）在空間直角坐標系中，已知點P(x,y,z)下列敘述中正確的是（

）①點P關于x軸的對稱點是P②點P關于yOz平面的對稱點是P③點P關于y軸的對稱點是P④點P關于原點的對稱點是PA．①② B．①③ C．②④ D．②③【知識點2空間向量的坐標運算】1．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型2空間向量運算的坐標表示】【例2】（2023春·全國·高二校聯(lián)考開學考試）已知向量a=3,?4,2，b=2,?3,1，則A．7,?10,4 B．5,?7,3 C．1,?1,1 D．?1,2,0【變式21】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎蛄緼B=2,A．?2,?2,?2 B．（8，15，3）【變式22】（2022·全國·高二專題練習）已知向量a=2,3,?4,b=A．0,3,?6 B．0,6,?20 C．0,6,?6 D．6,6,?6【變式23】（2022秋·河南信陽·高二校考階段練習）在空間四邊形ABCD中，若向量AB=（﹣3，5，2），CD=（﹣7，1，﹣4），點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則EF的坐標為（

）A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【題型3空間向量數(shù)量積運算的坐標表示】【例3】（2022·全國·高二專題練習）若A(2,?4,?1)，B(?1,5,1)，C(3,?4,1)，則CA?CB=A．11 B．3 C．4 D．15【變式31】（2023春·高二課時練習）若a=2,3,2,b=A．?1 B．0 C．1 D．2【變式32】（2023春·山東濟寧·高三?？茧A段練習）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的上底面A．1 B．0 C．1 D．2【變式33】（2022春·廣西桂林·高二?？计谥校┮阎庵鵄BCDEF?A1B1C1DA．(?12,C．(?12,1)【題型4根據(jù)空間向量的坐標運算求參數(shù)】【例4】（2022秋·廣東江門·高二?？计谥校゛=(2，1，3)，b=(1，4，2)，c=(3，2，λ)，若c=2a+b，則實數(shù)A．2 B．3 C．4 D．5【變式41】（2022秋·廣西南寧·高二?？计谥校┮阎猘=?3,2,5，b=1,x,?1，且A．6 B．5 C．4 D．3【變式42】（2023秋·北京豐臺·高二?？计谀┤粝蛄縜=(1,?1,λ),b=(1,?2,1),c=(1,1,1)，滿足條件(A．?1 B．?2 C．1 D．2【變式43】（2023秋·河南鄭州·高二?？茧A段練習）已知點A1,?1,2，B2,?1,1，C3,3,2，又點Px,7,?2在平面ABC內(nèi)，則A．11 B．9 C．1 D．?4【知識點3用空間向量的坐標運算解決相關的幾何問題】1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點間的距離公式設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用空間向量的坐標運算可以求得．【題型5空間向量模長的坐標表示】【例5】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG=14CD，H為C1G【變式51】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4

(1)求線段FG的長度；(2)求CG?【變式52】（2023春·福建龍巖·高二校考階段練習）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距離；(2)求cosB【變式53】（2022秋·福建·高二校聯(lián)考階段練習）已知空間三點，A0,2,3，B?(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若AD=7，且∠DAB=∠DAC=60°，點P【題型6空間向量平行的坐標表示】【例6】（2023春·高二課時練習）已知空間三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設a=AB,b=【變式61】（2022·高二課時練習）已知A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5)，且ABCD是平行四邊形，求頂點D的坐標．【變式62】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）已知a=1,4,?2，(1)若c=12(2)若ka+b【變式63】（2022·高二課時練習）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3B1P＝PD1，若PQ⊥AE，BD【題型7空間向量垂直的坐標表示】【例7】（2023春·高二單元測試）已知空間三點A(?2,0,2),B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設a=AB,b=AC.若m(a【變式71】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）已知a=3,2,?1，(1)求a?(2)當a?b⊥【變式72】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點A2,0,?2，B1,?1,3，C3,0,1，設a(1)若c=3，且c∥BC(2)已知向量a+kb與b【變式73】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎猘=1,?4,5，b=?2,3,2，點(1)求2a(2)在線段AB上，是否存在一點E，使得OE⊥b？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（【題型8空間向量夾角余弦的坐標表示】【例8】（2023春·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG=14CD【變式81