蘇教版高一暑假作業(yè)6平面向量與解三角形

蘇教版高一暑假作業(yè)6：平面向量與解三角形學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(2024·湖北省·單元測(cè)試)已知A(1,?3),B8,12,C(9,λ)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則A.?1 B.0 C.1 D.22.(2024·廣東省·單元測(cè)試)已知向量a=(m?1,1)，b=(m,?2)，則“m=2”是“a⊥bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.(2024·江蘇省宿遷市·月考試卷)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足sinA:sinB:sinC=2:3:4A.29 B.78 C.154.(2024·廣東省·單元測(cè)試)已知向量a，b滿足|a|=1,|b|=2，a與b的夾角為π4，則a+A.24b B.22b5.(2024·廣東省·單元測(cè)試)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，DF=2FC，則AE?BF的值為(

)A.23 B.?23 C.46.(2024·江蘇省南京市·期中考試)在△ABC中，若a2b2=a2A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.(2024·江蘇省常州市·月考試卷)在平面凸四邊形ABCD中，已知BC=2，AC=1，AB⊥AC，∠ADC=150°，則AD?ABA.12?3 B.32?8.(2024·廣東省江門市·期中考試)已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，滿足OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，且PA?PBA.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心 C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.(2024·福建省·月考試卷)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1(0,1)，P2(4,4).當(dāng)P是線段P1PA.43,2 B.43,3 C.10.(2024·江蘇省南京市·單元測(cè)試)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,0)，P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，PA.OP1=OP2 B.AP1=AP2

C.P1P11.(2024·江蘇省蘇州市·月考試卷)如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，，若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A，B在圓O上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，則MA?MB的值可能為(

)

A.32 B.52 C.3 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2024·重慶市·月考試卷)已知向量a=(2,1)，b=(k,?2)，若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．13.(2024·江蘇省宿遷市·單元測(cè)試)△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若(a+b+c)(a+b?c)=3ab，且14.(2024·江蘇省蘇州市·階段測(cè)試)設(shè)經(jīng)過△AOB的重心G的直線與OA，OB分別交于P，Q兩點(diǎn)，若OP=mOA，OQ=nOB，m，n∈R+，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(2023·江蘇省·單元測(cè)試)(本小題13分)

在△ABC中，設(shè)AB=c，BC=a，CA=b，且16.(2024·福建省·期中考試)(本小題15分)如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，且BQ=2．(1)求AP?(2)若AC=λAP+μAQ17.(2024·安徽省·月考試卷)(本小題15分)

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且3BN=BD，記AB=a，AD=b(1)以a?,?b為基底表示MN(2)求證：M、?N、?C三點(diǎn)共線．(2024·江西省九江市·期中測(cè)試)(本小題17分)

如圖，在△ABC中，AQ為邊BC的中線，AP=25AQ，過點(diǎn)P作直線分別交邊AB，AC于點(diǎn)M，N，且AM=λAB，AN=μAC，其中λ>0，μ>0．

(1)當(dāng)MN/?/BC時(shí)，用AM，AN19.(2024·河南省開封市·月考試卷)(本小題17分)

如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東偏北α角方向的OB.位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM=313km，且∠AOM=β.現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過大學(xué)M.其中tanα=2，(1)求大學(xué)M與站A的距離AM；(2)求鐵路AB段的長(zhǎng)AB．

1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查共線向量定理及應(yīng)用，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

求出

AB,AC的坐標(biāo)，利用

AB//AC

【解答】解：由A(1,?3),B8,12,C(9,λ)，可得由A，B，C三點(diǎn)共線，則AB//AC，則7(λ+3)?8×72=0，解之得，λ=12.【答案】A

【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得m值，結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．

本題考查平面向量垂直的坐標(biāo)表示，考查充分必要條件的判定方法，是基礎(chǔ)題．【解答】

解：∵a=(m?1,1)，b=(m,?2)，

∴a⊥b?m(m?1)?2=0．

由m(m?1)?2=0，解得m=?1或m=2．

∴“m=23.【答案】C

【解析】【分析】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，

利用正弦定理得a，b，c的關(guān)系，然后由余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．【解答】

解：∵sinA:sinB:sinC=2:3:4，

∴由正弦定理有a：b：c=2：3：4，

不妨取a=2，b=3，c=4，

則cosA=

32+42?222×3×4=

74.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了平面向量的數(shù)量積，考查投影向量，也考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

先求出a·【解答】解：∵|a|=1,|b|=2，a與b的夾角為π4，

∴a→·b→=|a→5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積即可求解本題．【解答】

解：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，

∴D(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，C(2,0)，E(2,1)，

∵DF=2FC，

∴DF=23DC，∴F(43,0)，

∴6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，屬于中檔題．

利用余弦定理表示出cosB及cosA，變形后代入已知等式的右邊，整理后利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)得到sin2A=sin2B，由A和B都為三角形的內(nèi)角，得到A等于B或A與B互余，可得出三角形為等腰三角形或直角三角形．【解答】

解：∵cosB=a2+c2?b22ac，cosA=b2+c2?a22bc，

∴a2+c2?b2=2ac·cosB，

b2+c2?a2=2bc·cosA，

∴a2+7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用正弦定理解三角形，向量的數(shù)量積及其運(yùn)算，屬于一般題．

設(shè)∠CAD=θ,θ∈0,π6，在?ACD【解答】

解：設(shè)∠CAD=θ,θ∈0,π6在?ACD中，由正弦定理得ACsin所以AD=AC在Rt?ABC中，BC=2，AC=1，則AB=所以

==3sin2=32?(因?yàn)棣取?,π6所以sin所以AD?AB的最小值為故選：B．8.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了向量的幾何運(yùn)用，涉及向量的加減運(yùn)算，向量的數(shù)量積以及三角形三心的判斷，考查了分析和運(yùn)用能力，屬于中檔題．

根據(jù)|OA|=|OB|=|OC|，得到點(diǎn)O到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；根據(jù)NA+NB+NC=0，得NA+NB=CN，得到點(diǎn)N【解答】

解：因?yàn)閨OA|=|OB|=|OC|，所以點(diǎn)O到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為△ABC的外心；

由NA+NB+NC=0，得NA+NB=?NC=CN，由中線的性質(zhì)可知點(diǎn)N在AB邊的中線上，

同理可得點(diǎn)N在其他邊的中線上，所以點(diǎn)N為△ABC的重心；

由PA·PB=9.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查平面向量的基本定理及其應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，得出P1P=2【解答】

解：由題意，設(shè)Px,y，

∵P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，

∴P1P=2PP2或P1P=12PP2．10.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，考查三角函數(shù)的恒等變形公式，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量的坐標(biāo)公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角恒等變換求各選項(xiàng)線段對(duì)應(yīng)向量的模長(zhǎng)，判斷是否相等即可．【解答】

解：點(diǎn)A(1,0)，P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,?sinβ)，P3(cos(α?+?β),sin(α?+?β))，

A：OB：AP1=(cosα?1,sinα)，AP2=(cosC：P1P2=(cosβ?cosα,?sinβ?sinα)，D：P2P3=(cos?(α+β)?cos?β,sin?(α+β)+sin?β)，AP1=(cosα?1,11.【答案】BC

【解析】【分析】本題主要考查向量的線性運(yùn)算以及向量的數(shù)量積，屬于中檔題．

根據(jù)已知條件以及向量的線性運(yùn)算可得MA?MB=|【解答】

解：由題意MA?MB=(MO+OA)?(MO+OB)

=(MO+OA)?(MO?OA)

=|MO|12.【答案】(?∞,?4)∪(?4,1)

【解析】【分析】本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積及夾角的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量夾角為鈍角列不等式，再排除方向相反時(shí)k的值，即可得到答案．【解答】

解：∵cosθ=a?b|a|?|b|=2k?25·k2+4，且θ為鈍角，所以2k?2<0，解得k<1，

當(dāng)13.【答案】2【解析】【分析】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．

由已知整理可得a2+b2?c2【解答】解：由于：(a+b+c)(a+b?c)=3ab，則：(a+b)2?c2=3ab，

整理得：a2+b2?c2=ab，故：cosC=a2+b2?14.【答案】4+2【解析】【分析】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．

由已知結(jié)合向量基本定理可得，1m【解答】

解：OG=23OM=23×12(OA+OB)=13(OA+OB)=13(1mOP?+115.【答案】解：由BC=a，CA=b，AB=c，

可知a+b+c=0，即b=?a+c，

根據(jù)a·b=b·c，

所以a·b【解析】本題考查三角形的形狀的判斷及數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．

由題意得出b=?a+c，再根據(jù)向量的數(shù)量積性質(zhì)得出?a+c16.【答案】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，由已知得A(0,0)，P(2,3)，Q(4,2)，C(4,3)．

(1)AP=(2,3),AQ=(4,2)，所以AP?AQ=(2,3)?(4,2)=2×4+3×2=14．

(2)由若AC=λAP+μAQ得：(4,3)=λ(2,3)+μ(4,2)=(2λ+4μ,3λ+2μ)，

【解析】本題考查平面向量性質(zhì)和數(shù)量積的運(yùn)算，同時(shí)考查坐標(biāo)法在向量問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)可以A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，然后利用坐標(biāo)法求解即可．

(2)根據(jù)向量共線的性質(zhì)求解即可．17.【答案】(1)解：MN=MB+BN=12a+13BD

=12a+13AD?AB

=12a+13b?a

=16【解析】此題考查平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，及利用向量共線證明三點(diǎn)共線．

(1)由平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算，可得MN=16a+13b；

(2)由平面向量18.【答案】(1)解：因?yàn)锳Q為邊BC的中線，所以AQ=12AB+12AC，

因?yàn)镸N/?/BC，AP=25AQ，所以AM=25AB，AN=25AC，

所以AQ=12×52AM+12×52AN，

即AQ=54【解析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用，屬于中檔題．

(1)由AQ為邊BC的中線，得AQ=12AB+12AC，再結(jié)合MN/?/BC，即可用AM，AN線性表示AQ;

(2)由(1)可得AP19.【答案】解：(1)在△AOM中，AO=15，∠AOM=β，且cosβ=313，OM=313，

由余弦定理可得：

AM2=OA2+OM2?2OA?OM?cos∠AOM

=152+(313)2?2