徐州經濟技術開發(fā)區(qū)高級中學年數(shù)學中檔題練習應用題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精應用題1、如圖，是海岸線OM,ON的兩個碼頭，為海中一小島,在水上旅游線上，測得到海岸線的距離分別為，。（1）求水上旅游線的長；（2）海中，且處的某試驗產生的強水波圓,生成小時時的半徑為。若與此同時,一游輪以的速度自碼頭開往碼頭，試研究強水波是否波及游輪的航行？2.如圖，某城市有一塊半徑為1（單位：百米）的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路．最初規(guī)劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路．規(guī)劃部門采納了此建議,決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB．問：A，B兩點應選在何處可使得小道AB最短？解法一：如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標系xOy．設A(a,0）,B（0，b)（0＜a＜1，0＜b＜1）,則直線AB方程為EQ\F(x,a)＋EQ\F(y，b)＝1，即bx＋ay－ab＝0．因為AB與圓C相切，所以EQ\F(｜b＋a－ab｜,EQ\r(,bEQ\s\up4(2）＋aEQ\s\up4（2）)）＝1．……………4分（第17題圖)化簡得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2（a＋b）－2．………6分（第17題圖)因此AB＝EQ\r(，a2＋b2)＝EQ\r(，（a＋b）2－2ab）＝EQ\r（，（a＋b）2－4（a＋b）＋4)＝EQ\r（，(a＋b－2）2)．………………8分因為0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，于是AB＝2－(a＋b)．又ab＝2（a＋b)－2≤(EQ\F（a+b,2)）2，解得0＜a＋b≤4－2EQ\r(,2),或a＋b≥4＋2EQ\r(,2)．因為0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2EQ\r(,2），………………12分所以AB＝2－（a＋b)≥2－(4－2EQ\r（,2））＝2EQ\r（,2）－2，當且僅當a＝b＝2—EQ\r(,2）時取等號，所以AB最小值為2EQ\r(,2)－2，此時a＝b＝2-EQ\r(,2）．答：當A,B兩點離道路的交點都為2－EQ\r(,2)（百米)時，小道AB最短．……………14分解法二：如圖，連接CE,CA,CD,CB，CF．設∠DCE＝θ，θ∈（0,EQ\F（π，2)）,則∠DCF＝EQ\F(π,2）－θ．在直角三角形CDA中，AD＝tanEQ\F（θ，2)．………………4分在直角三角形CDB中，BD＝tan(EQ\F（π，4）－EQ\F（θ，2））,………6分所以AB＝AD＋BD＝tanEQ\F（θ,2）＋tan（EQ\F（π，4)－EQ\F（θ，2)）＝tanEQ\F(θ,2）＋EQ\F(1－tanEQ\F(θ，2)，1＋tanEQ\F(θ，2)）．………8分令t＝tanEQ\F（θ，2)，0＜t＜1,則AB＝f(t）＝t＋EQ\F（1－t,1＋t)＝＝t＋1＋EQ\F（2，1＋t）－2≥2EQ\r(,2）－2,當且僅當t＝EQ\r（,2)－1時取等號．………12分所以AB最小值為2EQ\r(,2)－2，此時A，B兩點離兩條道路交點的距離是1－（EQ\r（,2）－1）＝2－EQ\r(,2)．答：當A,B兩點離道路的的交點都為2－EQ\r(，2）(百米）時，小道AB最短．……………14分3．如圖是某設計師設計的Y型飾品的平面圖，其中支架OA，OB，OC兩兩成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.現(xiàn)設計師在支架OB上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為M，且M與OB長成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù)）：在△AOC區(qū)域（陰影區(qū)域)內鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為N，且N與△AOC的面積成正比，比例系數(shù)為k，設。求關于的函數(shù)解析式,并寫出的取值范圍；求N—M的最大值及相應的的值.【解】（1）因為，由余弦定理，，解得，…3分由得,又，得,解得，…………6分所以OA的取值范圍是．………………7分（2)，，則，…………………8分設，則=.…………11分當且僅當即取等號，此時取等號，………13分所以當時，的最大值是.……………14分4.植物園擬建一個多邊形苗圃,苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻．現(xiàn)有兩種方案：

方案①多邊形為直角三角形（），如圖1所示，其中；

方案②多邊形為等腰梯形（)，如圖2所示，其中．

請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．5．ABCDEF第17題圖一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長為1百米的正方形田地來養(yǎng)蜂、產蜜與售蜜,他在正方形的邊上分別取點（不與正方形的頂點重合），連接，使得?，F(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長區(qū)，部分規(guī)劃為蜂巢區(qū),部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū)。若蜂源植物生長區(qū)的投入約為元/百米2,蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為元/百米2，則這三個區(qū)域的總投入最少需要多少元？ABCDEF第17題圖5．解：解法一：設陰影部分面積為，三個區(qū)域的總投入為。則，從而只要求的最小值。.....。。.。.。..。。2分設,在中，因為，所以，則;。。。.。。。。。...。。。4分又，所以，.。。.。.。...。。。..6分所以,。。....。。..。....8分令，則。。。..。。..。。。.。。10分,當且僅當，即時取等號。。....。....。。。。.12分從而三個區(qū)域的總投入的最小值約為元....。..。。..。。。..14分（說明：這里的最小值也可以用導數(shù)來求解：ABCDEFxyABCDEFxy當時，,遞減;當時，,遞增。所以當時，取得最小值為。)解法二:設陰影部分面積為,三個區(qū)域的總投入為。則，從而只要求的最小值.。.。。。。..。。。.。..2分如圖,以點為坐標原點,所在直線為軸,建立平面直角坐標系。設直線的方程為，即,因為,所以直線的斜率為，從而直線方程為.。.。.。.。。。.。。。。.6分在方程中，令，得，所以；在方程中，令，得，所以;從而。。..。.......。.。。10分以下同方法一。.。。.。。。。.。.。...14分解法三：設陰影部分面積為，三個區(qū)域的總投入為.則，從而只要求的最小值.....。。。。.。.。.。.2分設，則..。。。。.。。.....。。4分因為,所以，...。。。。.。。..。.8分所以，....。。..。..。.。10分即，解得,即取得最小值為，從而三個區(qū)域的總投入的最小值約為元。..。。..。...。。。.。14分6.某賓館在裝修時，為了美觀，欲將客房的窗戶設計成半徑為的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域，其中四邊形為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計劃將矩形區(qū)域設計為可推拉的窗口。（1)若窗口為正方形，且面積大于（木條寬度忽略不計），求四根木條總長的取值范圍；（2)若四根木條總長為,求窗口面積的最大值.6.（1）設一根木條長為，則正方形的邊長為因為,所以，即又因為四根木條將圓分成9個區(qū)域，所以所以;（2）（方法一）設所在木條長為,則所在木條長為因為，所以設，令，得，或（舍去），或(舍去）列表如下：+0—極大值所以當時,，即（方法二）設所在木條長為，所在木條長為由條件，，即,因為，所以,從而由于,因為當且僅當時，答：窗口面積的最大值為7．如圖所示，某街道居委會擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個活動中心，其中米．活動中心東西走向,與居民樓平行。從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形，上部分是以為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長不超過米，其中該太陽光線與水平線的夾角滿足。F第18題圖AF第18題圖ABEDGC←南居民樓活動中心(2）在保證上述采光要求的前提下，如何設計與的長度,可使得活動中心的截面面積最大？（注:計算中取3）ABEDHGC第18題←ABEDHGC第18題←南·xy（1)因為,,所以半圓的圓心為，半徑．設太陽光線所在直線方程為，即,.。。..。。。。。。.。.。2分則由，解得或（舍）.故太陽光線所在直線方程為，.。。。。。...。。.。..5分令，得米米。所以此時能保證上述采光要求..。。。.。..。.。。。..7分（2）設米，米，則半圓的圓心為，半徑為．方法一：設太陽光線所在直線方程為，即，由，解得或（舍）。。.....。.....。.。9分故太陽光線所在直線方程為，令，得，由，得........。.。。...。11分所以.當且僅當時取等號.所以當米且米時，可使得活動中心的截面面積最大。....。....。。.。。。16分方法二:欲使活動中心內部空間盡可能大，則影長EG恰為米，則此時點為，設過點G的上述太陽光線為，則所在直線方程為y－eq\f(5,2)＝－eq\f(3，4）（x－30)，即．。。...。.。。.。..。.10分由直線與半圓H相切，得．而點H（r，h）在直線的下方，則3r＋4h－100＜0，即，從而．.。。。.......。。.。13分又。當且僅當時取等號.所以當米且米時，可使得活動中心的截面面積最大.。.....。...。。...16分8．如圖，矩形ABCD是一個歷史文物展覽廳的俯視圖,點E在AB上,在梯形BCDE區(qū)域內部展示文物,DE是玻璃幕墻，游客只能在ADE區(qū)域內參觀．在AE上點P處安裝一可旋轉的監(jiān)控攝像頭,為監(jiān)控角，其中M、N在線段DE(含端點）上，且點M在點N的右下方.經測量得知:AD=6米，AE=6米，AP=2米，。記（弧度）,監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域PMN的面積為S平方米．（1）求S關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍;(參考數(shù)據(jù)：)（2)求的最小值.8。⑴方法一：在PME中，，PE=AE—AP=4米，，，由正弦定理得,所以，————---——-——--—--——--2分同理在PNE中，由正弦定理得,所以，----————----—-——-----4分所以PMN的面積S，—-----—--———---————-8分當M與E重合時，；當N與D重合時，,即，，所以.綜上可得:,。——--—----—--——-————--10分方法二：在PME中，,PE=AE—AP=4米，，，由正弦定理可知：，所以，—-——--—--———-————-———2分在PNE中，由正弦定理可知：，所以,—--------—---—-—----—4分所以，又點P到DE的距離為，—----—--—-—-——-——--—-6分所以PMN的面積S=，-——--—----——-—---———-8分當M與E重合時，；當N與D重合時，，即，，所以。綜上可得：,?！?———-—-———-—-----—--10分⑵當即時，取得最小值為?！?—--———-13分所以可視區(qū)域PMN面積的最小值為平方米。-—--—--—--——--------—14分9．如圖，某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD，其四條邊均為道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米,BC＝8千米，CD＝3千米．現(xiàn)甲、乙兩管理員同時從地出發(fā)勻速前往D地,甲的路線是AD，速度為6千米/小時，乙的路線是ABCD，速度為v千米/小時．（第18題圖）CBAD（1)若甲、乙兩管理員到達（第18題圖）CBAD（2)已知對講機有效通話的最大距離是5千米．若乙先到達D,且乙從A到D的過程中始終能用對講機與甲保持有效通話，求乙的速度v的取值范圍．9．解：（1)由題意，可得AD＝12千米．由題可知|EQ\F(12,6）－EQ\F（16,v）｜≤EQ\F（1，4），··············································2分解得EQ\F（64，9)≤v≤EQ\F（64，7）．··············································4分（2）解法一：經過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t）．由于先乙到達D地，故EQ\F(16,v）＜2，即v＞8．················································6分①當0＜vt≤5，即0＜t≤eq\f（5，v)時，f（t)＝(6t）2＋(vt）2－2×6t×vt×cos∠DAB＝（v2－eq\f（48,5)v＋36）t2．因為v2－eq\f(48，5）v＋36＞0，所以當t＝eq\f(5,v）時，f（t）取最大值，所以（v2－eq\f（48,5)v＋36）×(eq\f（5，v）)2≤25，解得v≥EQ\F(15,4)．·········································9分②當5＜vt≤13，即eq\f(5,v）＜t≤eq\f(13，v）時，f（t）＝（vt－1－6t)2＋9＝（v－6）2(t－eq\f（1，v－6））2＋9．因為v＞8,所以eq\f（1,v－6)＜eq\f（5，v)，（v－6）2＞0，所以當t＝eq\f（13，v）時，f（t)取最大值，所以（v－6）2(eq\f(13,v)－eq\f(1，v－6）)2＋9≤25,解得EQ\F（39，8)≤v≤EQ\F（39，4）．········································13分③當13≤vt≤16，eq\f（13，v）≤t≤eq\f（16，v)時,f(t)＝（12－6t）2＋(16－vt）2，因為12－6t＞0，16－vt＞0，所以當f(t)在(eq\f（13，v)，eq\f（16，v））遞減，所以當t＝eq\f(13,v)時，f(t)取最大值，（12－6×eq\f(13,v））2＋(16－v×eq\f(13，v))2≤25，解得EQ\F（39，8)≤v≤EQ\F(39,4）．因為v＞8，所以8＜v≤EQ\F(39,4）．·············································16分解法二：設經過t小時，甲、乙之間的距離的平方為f(t)．由于先乙到達D地，故EQ\F(16,v）＜2，即v＞8．·················································6分以A點為原點，AD為x軸建立直角坐標系，①當0＜vt≤5時，f(t）＝(EQ\F(4,5)vt－6t)2＋(EQ\F（3,5)vt)2．由于(EQ\F（4,5)vt－6t）2＋(EQ\F(3，5）vt)2≤25，所以（EQ\F(4,5）v－6）2＋(EQ\F(3，5）v)2≤EQ\F(25,t2）對任意0＜t≤EQ\F（5，v)都成立，所以(EQ\F（4，5)v－6)2＋(EQ\F(3，5)v）2≤v2,解得v≥EQ\F(15，4）．···············································9分②當5＜vt＜13時,f(t）＝（vt－1－6t)2＋32．由于（vt－1－6t）2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4對任意EQ\F（5,v)＜t＜EQ\F（13，v)都成立,即eq\b\lc\{(\a\al（v－6≤EQ\F（5，t)，，－EQ\F（3,t)≤v－6，）)對任意EQ\F（5,v）≤t≤EQ\F（13,v）都成立，所以eq\b\lc\｛（\a\al（v－6≤EQ\F（5v，13),,－EQ\F(3v，13）≤v－6,）)解得EQ\F（39，8）≤v≤EQ\F（39，4)．···············································13分=3\*GB3③當13≤vt≤16即eq\F(13,v)≤t≤eq\F(16,v)，此時f（t)＝(12－6t)2＋(16－vt）2．由=1\＊GB3①及=2\＊GB3②知：8＜v≤eq\F(39，4)，于是0＜12－6t≤12－eq\F(78,v）≤12－eq\F(78，eq\F(39,4）)＝4,又因為0≤16－vt≤3,所以f（t）＝（12－6t)2＋（16－vt）2≤42＋32＝25恒成立．綜上=1\*GB3①=2\＊GB3②=3\*GB3③可知8＜v≤eq\F(39,4）．·············································16分10、如圖,已知兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸的處和湖中小島的處，點在的正西方向處,．現(xiàn)計劃鋪設一條電纜聯(lián)通兩鎮(zhèn)，有兩種鋪設方案:①沿線段在水下鋪設；②在湖岸上選一點,先沿線段在地下鋪設，再沿線段在水下鋪設,預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為萬元∕、萬元∕．（1）求兩鎮(zhèn)間的距離；(2）應該如何鋪設，使總鋪設費用最低？10．(1）過作的垂線，垂足為．在中,,所以,在中，，所以．則，即，所以，，由勾股定理得，（km）．所以，兩鎮(zhèn)間的距離為km．……………4分（2）方案=1\＊GB3①：沿線段在水下鋪設時，總鋪設費用為(萬元)．………6分方案=2\＊GB3②：設,則，其中,在中，，，所以．則總鋪設費用為．………8分設，則,令，得，列表如下:極小值所以的最小值為．所以方案=2\*GB3②的總鋪設費用最小為（萬元),此時．……12分而，所以應選擇方案=2\＊GB3②進行鋪設,點選在的正西方向km處，總鋪設費用最低．…………14分ABFDCEMNABFDCEMNP(1）當時，試判斷四邊形MNPE的形狀,并求其面積;(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由。11.解：（1）當時，，所以，即，所以四邊形MNPE為矩形,………………3分所以四邊形MNPE的面積為;…………5分(2）設，由條件知：，，,，……8分由得:，所以解得:，所以四邊形MNPE的面積為………………12分當且僅當，即,時取“="……14分答：當時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，為.…16分12.一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分．現(xiàn)要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形(如圖所示,其中O為圓心，在半圓上）,設，木梁的體積為V（單位：m3）,表面積為S(單位：m2）．(1）求V關于θ的函數(shù)表達式;（2)求的值，使體積V最大；（3)問當木梁的體積V最大時，其表面積S是否也最大？請說明理由．（第17題）（第17題）解：（1）梯形的面積=，．…2分體積．…3分（2)．令，得，或（舍）．∵，∴．…5分當時，,為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)．…7分∴當時，體積V最大．…8分（3）木梁的側面積=，．=,．…10分設，．∵,∴當，即時，最大．…12分又由（2）知時，取得最大值,所以時，木梁的表面積S最大．…13分綜上，當木梁的體積V最大時，其表面積S也最大．…14分13?，F(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示)，并要求正四棱柱的高的四倍。（1）若則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱柱的側棱長為6m,則當為多少時，倉庫的容積最大？14.a24xABC（第18題圖）如圖，墻上有一壁畫,最高點離地面4米，最低點離地面2米，觀察者從距離墻米，離地面高米的a24xABC（第18題圖）（1）若問:觀察者離墻多遠時，視角最大?（2）若當變化時，求的取值范圍。14．（1）當時，過作的垂線，垂足為,則，且,由已知觀察者離墻米,且,則,…………2分所以，，當且僅當時,取“"．………6分又因為在上單調增,所以，當觀察者離墻米時，視角最大．…………8分（2）由題意得,，又，所以,……10分所以，當時，，所以，即，解得或，……14分又因為，所以，所以的取值范圍為．…………16分APMNBC(第17題圖)15。如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝APMNBC(第17題圖)解法一：設∠AMN＝θ，在△AMN中，EQ\F（MN,sin60°)＝EQ\F（AM，sin（120°－θ))．因為MN＝2，所以AM＝EQ\F（4\r(3),3）sin(120°－θ）．………2分在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．………6分AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f（16,3)sin2(120°－θ）＋4－2×2×EQ\F(4\r（3）,3)sin（120°－θ）cos(60°＋θ）………………8分＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°）－EQ\F(16\r（3)，3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°）＋4＝eq\f(8，3）[1－cos（2θ＋120°)]－EQ\F（8\r（3)，3)sin(2θ＋120°)＋4＝－eq\f(8,3）［eq\r(3)sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°）］＋eq\f（20，3）＝eq\f(20，3）－eq\f(16,3)sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°）．…………12分當且僅當2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2EQ\r(,3）．APMNBC第17題圖APMNBC第17題圖D解法二(構造直角三角形）：設∠PMD＝θ,在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴EQ\F（MN,sin60°)＝EQ\F(AM,sinθ)，AM＝EQ\F(4\r（3),3)sinθ,∴AD＝EQ\F(4\r（3）,3）sinθ＋2cosθ，(θ≥EQ\F(π，2）時，結論也正確）．……………6分AP2＝AD2＋PD2＝(EQ\F（4\r(3）,3)sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ）2＝EQ\F(16，3）sin2θ＋EQ\F（8\r（3),3）sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………8分＝EQ\F(16，3)·EQ\F(1－cos2θ，2)＋EQ\F（4\r(3),3）sin2θ＋4＝EQ\F(4\r（3)，3）sin2θ－EQ\F(8,3)cos2θ＋EQ\F（20，3)＝EQ\F(20，3)＋EQ\F(16，3）sin(2θ－EQ\F（π，6）)，θ∈(0，EQ\F（2π，3)）．…………12分當且僅當2θ－EQ\F（π,6)＝EQ\F(π，2)，即θ＝EQ\F（π,3）時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2EQ\r（，3)．此時AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………14分解法三：設AM＝x，AN＝y(tǒng)，∠AMN＝α．在△AMN中，因為MN＝2,∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………2分因為EQ\F(MN，sin60°）＝EQ\F（AN，sinα）,即EQ\F（2，sin60°）＝EQ\F（y，sinα），所以sinα＝EQ\F（\r(3），4)y,cosα＝EQ\F（x2＋4－y2，2×2×x）＝EQ\F(x2＋(x2－xy),4x)＝EQ\F(2x－y,4）．…………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°）＝EQ\F（1，2）cosα－EQ\F(\r(3），2)sinα＝EQ\F(1，2）·EQ\F(2x－y,4)－EQ\F（\r（3),2）·EQ\F(\r(3),4）y＝EQ\F（x－2y,4)．……………8分在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，即AP2＝x2＋4－2×2×x×EQ\F(x－2y，4)＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．………12分因為x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．所以AP2≤12，即AP≤2EQ\r(,3)．當且僅當x＝y(tǒng)＝2時，AP取得最大值2EQ\r（，3）．答：設計AM＝AN＝2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最?。?4分解法四（坐標法）：以AB所在的直線為x軸，A為坐標原點，建立直角坐標系．設M(x1，0），N(x2，EQ\r(，3）x2），P（x0，y0）．∵MN＝2,∴(x1－x2）2＋3xEQ\o\al（\s\up4（2),\s\do3(2))＝4．…………2分MN的中點K（EQ\F（x1＋x2,2），EQ\F(\r(3)，2)x2)．∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝EQ\r(,3),PK⊥MN．∴PK2＝(x0－EQ\F（x1＋x2,2））2＋（y0－EQ\F(\r(3),2)x2）2＝3，kMN·kPK＝－1，即EQ\F（\r（3）x2,x2－x1）·EQ\F(y0－EQ\F（\r（3),2）x2，x0－EQ\F(x1＋x2,2)）＝－1，…………6分∴y0－EQ\F（\r（3）,2）x2＝EQ\F（x1－x2，\r（3)x2)（x0－EQ\F(x1＋x2，2))，∴(y0－EQ\F（\r(3),2）x2)2＝EQ\F（（x1－x2)2，3xEQ\o\al(\s\up4（2）,\s\do3(2)））（x0－EQ\F(x1＋x2，2））2∴(1＋EQ\F((x1－x2)2，3xEQ\o\al（\s\up4（2），\s\do3（2)）)）（x0－EQ\F（x1＋x2,2））2＝3，即EQ\F(4,3xEQ\o\al（\s\up4（2),\s\do3（2））)（x0－EQ\F（x1＋x2,2))2＝3，∴(x0－EQ\F(x1＋x2，2））2＝EQ\F（9，4）xEQ\o\al(\s\up4(2)，\s\do3（2))．∵x0－EQ\F(x1＋x2，2)＞0∴x0－EQ\F（x1＋x2,2）＝EQ\F（3,2)x2，∴x0＝EQ\F(1,2)x1＋2x2，∴y0＝EQ\F（\r（3),2）x1．…………8分∴AP2＝xEQ\o\al(\s\up4(2）,\s\do3(0)）＋yEQ\o\al（\s\up4（2）,\s\do3（0))＝（2x2＋EQ\F（1,2）x1）2＋EQ\F（3，4）xEQ\o\al(\s\up4（2)，\s\do3（1）)＝xEQ\o\al（\s\up4(2),\s\do3（1）)＋4xEQ\o\al（\s\up4（2）,\s\do3（2）)＋2x1x2＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12，…………12分即AP≤2EQ\r（,3)．答:設計AM＝AN＝2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最?。?4分APMNBCFEAPMNBCFE由于∠MAN＝60°,∴點A在以MN為弦的一段圓?。▋?yōu)?。┥?，…………4分設圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，由圖形的幾何性質知：AP的最大值為PF＋R．…………8分在△AMN中，由正弦定理知：EQ\F（MN，sin60°)＝2R，∴R＝EQ\F（2,\r(3）)，…………10分∴FM＝FN＝R＝EQ\F(2,\r（3）），又PM＝PN，∴PF是線段MN的垂直平分線．設PF與MN交于E，則FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝EQ\F（1，3)．即FE＝EQ\F(\r(3），3)，又PE＝EQ\r（,3）．……………12∴PF＝EQ\F(4，\r（3))，∴AP的最大值為PF＋R＝2EQ\r（,3）．答:設計AM＝AN＝2km時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小．…………14分16.如圖,在地正西方向的處和正東方向的處各一條正北方向的公路和現(xiàn)計劃在和路邊各修建一個物流中心和.為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路和設(1)為減少周邊區(qū)域的影響,試確定的位置，使△與△的面積之和最小;（2）為節(jié)省建設成本，試確定的位置，使的值最小.解：(1）在Rt△PAE中，由題意可知，AP=8,則．所以．………………2分同理在Rt△PBF中，，PB＝1，則，所以．………………4分故△PAE與△PFB的面積之和為…………5分=8,當且僅當,即時，取“＝”，故當AE=1km，BF=8km時，△PAE與△PFB的面積之和最?。?分（2）在Rt△PAE中，由題意可知，則．同理在Rt△PBF中，，則．令，，………………8分則，………………10分令，得，記，，當時，,單調減；當時，，單調增．所以時，取得最小值，…………………12分此時，．所以當AE為4km，且BF為2km時，PE+PF的值最?。?4分17。如圖,某市有一條東西走向的公路，現(xiàn)欲經過公路上的處鋪設一條南北走向的公路．在施工過程中發(fā)現(xiàn)在處的正北百米的處有一漢代古跡．為了保護古跡，該市決定以為圓心，百米為半徑設立一個圓形保護區(qū)．為了連通公路、,欲再新建一條公路，點、分別在公路、上，且要求與圓相切．（1）當距處百米時，求的長；（2)當公路長最短時，求的長．解：以為原點，直線、分別為軸建立平面直角坐標系．設與圓相切于點,連結，以百米為單位長度,則圓的方程為，(1）由題意可設直線的方程為，即，，∵與圓相切，∴,解得,故當距處百米時，的長為百米．……………5分(2）設直線的方程為，即,，∵與圓相切，∴，化簡得，則，…………8分令，∴，當時，，即在上單調遞減；當時，,即在上單調遞增，∴在時取得最小值，故當公路長最短時，的長為百米．答:(1）當距處百米時，的長為百米；當公路長最短時，的長為百米．……………14分18.某運輸裝置如圖所示，其中鋼結構是，的固定裝置，AB上可滑動的點C使垂直于底面(不與重合），且可伸縮（當CD伸縮時，裝置ABD隨之繞D在同一平面內旋轉），利用該運輸裝置可以將貨物從地面處沿運送至處，貨物從處至處運行速度為，從處至處運行速度為．為了使運送貨物的時間最短，需在運送前調整運輸裝置中的大小.(1）當變化時，試將貨物運行的時間表示成的函數(shù)（用含有和的式子）;(2）當最小時,點應設計在的什么位置?解：（1)在中，………………4分，則,………8分（2）………………10分令，則………………12分令得，設，則時,；時時有最小值,此時.………………14分答：當時貨物運行時間最短?！?5分19。如圖，實線部分DE，DF，EF是某風景區(qū)設計的游客觀光路線平面圖，其中曲線部分EF是以AB為直徑的半圓上的一段弧，點O為圓心，△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形,其中AB=2千米，.若游客在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應的線段或弧的長度成正比，且“留戀度”與路線DE，DF的長度的比例系數(shù)為2，與路線EF的長度的比例系數(shù)為1,假定該風景區(qū)整體的“留戀度”是游客游覽所有路線“留戀度”的和。(I）試將表示為的函數(shù)；（II）試確定當取何值時，該風景區(qū)整體的“留戀度"最佳？20.如圖所示，一科學考察船從港口出發(fā)，沿北偏東角的射線方向航行，而在離港口(為正常數(shù)）海里的北偏東角的A處有一個供給科考船物資的小島,其中，．現(xiàn)指揮部需要緊急征調沿海岸線港口正東m(）海里的B處的補給船,速往小島A裝運物資供給科考船,該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇．經測算當兩船運行的航向與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積最小時，這種補給最適宜．Z東北ABCZ東北ABCO⑵應征調m為何值處的船只，補給最適宜．解：⑴以O為原點，OB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系，則直線OZ方程為．設點，則，,即，又，所以直線AB的方程為．上面的方程與聯(lián)立得點⑵當且僅當時,即時取等號，答：⑴S關于m的函數(shù)關系式;⑵應征調為何值處的船只,補給最適宜．21.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁FG和外壁BC都是半徑為1m的四分之一圓弧，AB、DC分別與圓弧BC相切于點B、C兩點,，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m,（1)若水平放置的木棒MN的兩個端點M、N分別在外壁CD和AB上，且木棒與內壁圓弧相切于點P，設，試用表示木棒MN的長度；（2）若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，則求木棒長度的最大值。解：（1）如圖，設圓弧所在的圓的圓心為，過點作垂線，垂足為點，且交或其延長線與于，并連接，再過點作的垂線，垂足為．在 中，因為，，所以．因為與圓弧切于點，所以，在，因為，，所以，，①若在線段上,則，在 中，，因此.②若在線段的延長線上，則，在 中，，因此.．………8分（2）設，則,因此．因為,又，所以恒成立，因此函數(shù)在是減函數(shù)，所以，即．答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為．……………16分22。為穩(wěn)定房價,某地政府決定建造一批保障房供給社會。計劃用1

600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數(shù)相同，且每層建筑面積均為1

000平方米，每平方米的建筑費用與樓層有關，第x層樓房每平方米的建筑費用為(kx+800）元(其中k為常數(shù)）．經測算，若每幢樓為5層，則該小區(qū)每平方米的平均綜合費用為1

270元.(每平方米平均綜合費用＝eq\f（購地費用+所有建筑費用,所有建筑面積))．（1）求k的值；(2）問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費用最低,應將這10幢樓房建成多少層？此時每平方米的平均綜合費用為多少元？解：（1)如果每幢樓為5層,那么所有建筑面積為10×1

000×5平方米,所有建筑費用為［(k+800）+（2k+800）+（3k+800)+（4k+800)+（5k+800）］×1

000×10，所以，…………3分1

270＝eq\f（16

000

000+[(k+800）+(2k+800)+(3k+800)+（4k+800）+(5k+800）］×1

000×10,10×1

000×5),解之得:k＝50．……………………6分\f（32000000+［(k+800)+（2k+800）+(3k+800））+(4k+800）+(5k+800）］×1000×10，10×1000×5)(2）設小區(qū)每幢為n（n∈N*）層時，每平方米平均綜合費用為f(n)，由題設可知f（n）＝eq\f（16000000+［(50+800）+(100+800）+…+(50n+800）]×1000×10,10×1000×n）＝eq\f(1600,n)+25n+825≥2eq\r(1600×25）+825＝1225 (元)?！?0分\f(32000000+［（k+800)+（2k+800）+（3k+800）)+（4k+800）+(5k+800）］×1000×10,10×1000×5）當且僅當eq\f(1600，n）＝25n,即n＝8時等號成立．………12分\f(32000000+［(k+800)+（2k+800)+(3k+800））+(4k+800）+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)答：該小區(qū)每幢建8層時，每平方米平均綜合費用最低，此時每平方米平均綜合費用為1225元．……………14分23。如圖,某新建小區(qū)有一片邊長為1（單位:百米）的正方形剩余地塊ABCD,中間部分MNK是一片池塘,池塘的邊緣曲線段MN為函數(shù)的圖象，另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段。為了美化該地塊，計劃修一條穿越該地塊的直路（寬度不計），直路與曲線段MN相切(切點記為P），并把該地塊分為兩部分。記點P到邊AD距離為,表示該地塊在直路左下部分的面積。(1）求的解析式；（2)求面積的最大值。解:（1）因為，所以，所以過點的切線方程為，即，…2分令，得，令，得。所以切線與軸交點，切線與軸交點.………………4分①當即時，切線左下方的區(qū)域為一直角三角形，所以?！?分②當即時，切線左下方的區(qū)域為一直角梯形，，……………8分③當即時,切線左下方的區(qū)域為一直角梯形,所以.綜上…………10分（2）當時，，……12分當時,,………14分所以．…………………16分24。據(jù)環(huán)保部門測定,某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數(shù)為．現(xiàn)已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設(）．（1）試將表示為的函數(shù)；(2）若,且時，取得最小值，試求的值．解：（1）設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數(shù),且．……………………4分從而點C處受污染程度．…………6分（2）因為,所以,，……………8分，令，得，……………12分又此時，解得，經驗證符合題意．所以，污染源B的污染強度的值為8．……………14分25。如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為的正方形，周圍是四個全等的弓形。已知O為正方形的中心,G為AD的中點,點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H。設弧AD的長為,。（1）求關于的函數(shù)關系式；(2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當優(yōu)美系數(shù)最大時，招貼畫最優(yōu)美。證明：當角滿足：時，招貼畫最優(yōu)美。解：(1）當時，點P在線段OG上，；當時，點P在線段GH上,；當時,．綜上所述，，．…………2分所以，弧AD的長，故所求函數(shù)關系式為，．…4分（2）當時，;當時，；當時，．所以，,．………6分從而，．…………………8分記，．則．令,得．…………10分因為,所以,從而．顯然，所以．…………12分記滿足的,下面證明是函數(shù)的極值點．設，．則在上恒成立，從而在上單調遞減．……………14分所以，當時，，即，在上單調遞增；當時,，即,在上單調遞減．故在處取得極大值,也是最大值．所以當滿足時，函數(shù)即取得最大值，此時招貼畫最優(yōu)美．………16分26。如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊AD為半圓的直徑,O為半圓的圓心，AB=1,BC=2，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形PMN，其底邊MN⊥BC。（1）設∠MOD=30°，求三角形鐵皮PMN的面積；（2）求剪下的鐵皮三角形PMN面積的最大值。解：（1）設MN交AD交于Q點∵∠MQD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一個得2分）S△PMN=MN·AQ=××(1+）=……………….………6分（2）設∠MOQ=θ，∴θ∈[0,]，MQ=si