江蘇省無錫市懷仁中學2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷（解析）

第頁，共頁江蘇省懷仁中學2025春學期期中考試試卷高一數(shù)學一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.設復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由共軛復數(shù)的概念結合乘法運算即可求解.【詳解】，則，故選：C2.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標表示列式計算.【詳解】因為，所以，解得.故選：D3.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關系判斷即可.【詳解】對于A，若，則或，故A錯誤；對于B，若，則或與相交或與異面，故B錯誤；對于C，若，則或與相交，故C錯誤；對于D，若，則存在直線（不與重合），使得，又，則或與相交，若，則，此時可以滿足，只需即可，所以，若與相交，則與也相交，又，所以與也相交，與相矛盾，所以，則，故D正確；故選：D.4.在中，若，則該三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理將角轉化為邊，然后化簡可得結果.【詳解】因，所以由余弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以為等腰三角形，故選：A5.如圖，某圓柱體的高為，是該圓柱體的軸截面.已知從點出發(fā)沿著圓柱體的側面到點的路徑中，最短路徑的長度為，則該圓柱體的體積是（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓柱側面展開圖，先求出圓柱底面半徑，再根據(jù)體積公式求圓柱體的體積.【詳解】設圓柱體底面圓的半徑為，將側面展開后四邊形為矩形，則依題意得：，所以，即，所以該圓柱體的體積為：，故選：D.6.我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動．如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑動到的位置，且、、三點共線，，為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為，則當傘完全張開時，的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出、、的長，利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.【詳解】依題意分析可知，當傘完全張開時，，因為為的中點，所以，，當傘完全收攏時，，所以，，在中，，所以，.故選：A.7.如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再結合數(shù)量積運算，即可求解.【詳解】由條件可知，，則，即，則，，所以，.故選：D8.如圖，在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，是側面正方形內一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值不可能為（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】取中點G，連接，先證面BFG面AEC，由面面平行證面BFG，再結合條件證，即可得長度在邊BG上高的長度與FG、BG較大邊的長度之間，最后直接求解即可判斷【詳解】如圖，取中點G，連接，點，分別是棱，的中點，則，又，面BFG，面AEC，所以面BFG面AEC，因為平面，故面BFG，又是側面正方形內一點（含邊界），面BFG面，故，易得，，邊FG上的高，故由等面積法，邊BG上的高，故，又，故選：D二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對的得6分，部分選對的得部分分）9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.的虛部為－2C.在復平面內對應的點在第四象限 D.的共軛復數(shù)為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則求出，再根據(jù)復數(shù)的模長公式、復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何表示以及共軛復數(shù)的概念可得答案.【詳解】，，故A不正確；的虛部為－2，故B正確；在復平面內對應的點在第四象限，故C正確；的共軛復數(shù)為，故D錯誤.故選：BC10.已知圓錐的高為1，母線長為2，S為頂點，A，B為底面圓周上的兩個動點，則下列說法正確的是（）A.圓錐的體積為B.圓錐側面展開圖的圓心角大小為C.圓錐截面SAB面積的最大值為D.若圓錐的頂點和底面圓周上的所有點都在一個球面上，則此球的體積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，求出圓錐的底面半徑，體積，側面展開圖的弧長，軸截面面積，外接球體積，即可得出結論．【詳解】解：因為圓錐的高為1，母線長為2，所以圓錐的底面半徑為，高為，則：對于A，圓錐的體積，故A正確；對于B，設圓錐的側面展開圖的圓心角大小為，則，，故B正確；對于C，，因為截面的面積為：，當時，截面的面積最大，，故C錯誤；對于D，圓錐頂點和底面上所有點都在同一個球面上，即圓錐的外接球，設圓錐外接球半徑為，由球的性質可知：，即，解得，所以外接球的體積．故D正確．故選：ABD.11.已知三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，，則下列結論正確的有（）A.面積的最大值為 B.C.周長的最大值為6 D.的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】A選項，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項，利用余弦定理計算可判斷；C選項，利用余弦定理和基本不等式求解周長的最大值；D選項，用進行變換得到，結合A的取值范圍得到的取值范圍.【詳解】解：對于A，由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當且僅當時，等號成立，所以，故，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，由余弦定理得：，解得：，所以，當且僅當時，等號成立，解得，當且僅當時，等號成立，所以，周長，所以周長的最大值為6，故C正確；對于D，，因為，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，當向量，的夾角θ等于時，向量在向量上的投影向量為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義結合已知求解即得.【詳解】顯然為單位向量，而，向量、的夾角等于，所以向量在向量上的投影向量是.故答案為：13.四棱錐中，底面為正方形，，，，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】連結交于，連結，則為的中點，如圖，

因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故答案為：14.在中，角的對邊為，，則______，若的面積為，則______.【答案】①.##-0.5②.【解析】【分析】第一個空由化簡得到，再由正弦定理得，即可求出；第二個空由化簡得，再由正弦定理得，代入三角形面積公式化簡即可求出，從而求出.【詳解】第一個空：由得,即，即，所以異號且都不為，由正弦定理得，因為都不為，所以，即，所以；第二個空：由得：，即，即，由正弦定理得，所以的面積為：，所以，因為，所以，所以解得，即.故答案為：；.四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.已知向量，的夾角為，且，．（1）求．（2）（其中），當取最小值時，求與的夾角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的模長公式結合數(shù)量積的運算律求解即可.（2）根據(jù)向量的模和二次函數(shù)的性質求出的值，再根據(jù)向量的夾角公式計算即可.【小問1詳解】，所以．【小問2詳解】，故當時，最?。藭r，；，．因為與的夾角范圍為，故與的夾角為．16.在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，結合同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可；（2）根據(jù)誘導公式，結合余弦定理進行求解即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得．由題設知，，所以．由題設知，，所以．【小問2詳解】由題設及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．17.如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點.（1）求證：；（2）求證：平面；（3）若M是線段上一動點，則線段上是否存在點N，使平面？說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質定理即可證明；（2）由中位線、線面平行的性質可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證明；（3）根據(jù)線面、面面平行的性質定理和判斷定理即可判斷存在性.【小問1詳解】在四棱錐中，平面，平面，平面，平面平面，所以；【小問2詳解】如下圖，取為中點，連接，由E是PD的中點，所以且，由（1）知，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，則平面.【小問3詳解】取中點N，連接，，因為E，N分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，線段存在點N，使得平面，理由如下：由（2）知：平面，又，平面，平面，所以平面平面，又M是上的動點，平面，所以平面，所以線段存在點N，使得平面.18.記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【小問1詳解】方法1：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以【小問2詳解】方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.19.夜晚，在僑中棟5樓觀賞完美大廈的霓虹燈是一件很愜意的事.完美大廈主樓目前是我市中心城區(qū)最高的地標性建筑.某學習小組要完成兩個實習作業(yè)：驗證百度地圖測距的正確性及測算完美大廈主樓的高度，如圖（1），博愛路沿線的水平路面上有兩點，，其中指向正西方向.首先利用百度地圖測距功能測出長度為，接著在南外環(huán)沿線選定水平路面上可直接測距的，兩點，測得，，，，學習小組根據(jù)上述條件計算出長度，并將其與的實際長度進行比較，若誤差介于米~20米之間，則認為百度地圖測距是準確的.（1）通過計算說明百度地圖測距是否準確？（）（2）如圖（2），小組在處測得完美大廈主樓樓頂在西偏北方向上，在處測得樓頂在西偏北方向上，且仰角；通過計算得，，，若百度地圖測出的是準確的，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)測算完美大廈主樓的高度（精確到1米）.【答