廣東省惠州市博羅縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期階段性教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

博羅縣2024-2025學(xué)年第二學(xué)期階段性教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題本試卷共19小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本小題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得解.【詳解】由已知，則，故選：C.2.已知點(diǎn)，，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)，則，，又，則，解得，則，故選：B.3.在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，進(jìn)而可得解.【詳解】由已知，則中，由正弦定理可得，又，則，所以，即，又，則，故選：B.4.如圖，水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖為直角梯形，已知，則原四邊形OABC的面積為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用梯形的面積公式求得直觀圖的面積，再利用直觀圖與原圖面積的比值即可得解.【詳解】根據(jù)題意，直觀圖直角梯形中，，則直觀圖的面積，故原圖的面積.故選：A5.如圖，為了測(cè)量M，N兩點(diǎn)之間的距離，某數(shù)學(xué)興趣小組的甲、乙、丙三位同學(xué)分別在N點(diǎn)、距離M點(diǎn)600米處的P點(diǎn)、距離P點(diǎn)200米處的G點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)．甲同學(xué)在N點(diǎn)測(cè)得，乙同學(xué)在P點(diǎn)測(cè)得，丙同學(xué)在G點(diǎn)測(cè)得，則M，N兩點(diǎn)間的距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理列式計(jì)算得解.【詳解】由，得，而，，由余弦定理得（米）.故選：C6.已知物體受平面內(nèi)的三個(gè)力作用于同一點(diǎn)，且該物體處于平衡狀態(tài)，若，，且的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算，再利用公式計(jì)算即可.【詳解】因，則，則，又三個(gè)力作用于同一點(diǎn)，且該物體處于平衡狀態(tài)，則，即，則.故選：A7.如圖，一個(gè)圓柱形容器中盛有水，圓柱母線，若母線放置在水平地面上時(shí)，水面恰好過的中點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時(shí)，水面高為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩種放置方式水的體積不變即可求得.【詳解】如圖，設(shè)圓柱底面半徑為，則當(dāng)母線水平放置時(shí)，圓柱中含水部分可以看作是以弓形為底，為高的柱體，因?yàn)樗孢^的中點(diǎn)，則，則弓形的面積為，當(dāng)?shù)酌鎴A水平放置時(shí)，底面圓的面積為，設(shè)水面高為，則由水的體積不變可得：，即，解的：.故選：.8.已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，，，點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)P，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.P的坐標(biāo)為C.B的坐標(biāo)為 D.在方向上的投影向量為【答案】D【解析】【分析】C選項(xiàng)，根據(jù)模長(zhǎng)公式得到方程，結(jié)合，求出；B選項(xiàng)，根據(jù)題意得到，設(shè)，求出，得到P的坐標(biāo)；A選項(xiàng)，計(jì)算出，求出模長(zhǎng)；D選項(xiàng)，利用投影向量公式計(jì)算出答案.【詳解】C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，故，所以，C正確；B選項(xiàng)，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則，設(shè)，則，所以，解得，則P的坐標(biāo)為，B正確；A選項(xiàng)，，故，A正確；D選項(xiàng)，在方向上的投影向量為，D錯(cuò)誤.故選：D二、多項(xiàng)選擇題(共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每題四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.)9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若為純虛數(shù)，則B.若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，若為純虛數(shù)，則的實(shí)部為0，虛部不為0，列出方程求解即可；對(duì)于B，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)部小于0且虛部大于0，列出不等式求解即可；對(duì)于C，若，求出，進(jìn)而求其共軛復(fù)數(shù)；對(duì)于D，若，求出，咋求模即可.【詳解】對(duì)于A，若為純虛數(shù)，即且，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則解得，即，故B正確；對(duì)于C，若，則，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知圓錐的底面半徑為1，高為，為頂點(diǎn)，，為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.圓錐的體積為B.從點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)的無彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為C.圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為D.圓錐截面的面積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】直接求出圓錐的體積即可判斷A；直接求出圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角即可判斷C；利用圓錐的側(cè)面展開圖可求解判斷B；先判斷出圓錐截面為軸截面時(shí)，其面積最大，然后可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，高為，所以體積，故A正確；對(duì)于C：設(shè)圓錐的母線為，則，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，由弧長(zhǎng)公式得，即，解得，即圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B：由C可得該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為的半圓，所以從點(diǎn)出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)的無彈性細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)閳A錐的軸截面為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，頂角為（小于），當(dāng)圓錐截面為軸截面時(shí)，其面積最大，此時(shí)，所以圓錐截面的面積的最大值為，故D正確；故選：AD11.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則為銳角；B.若，則；C.若，則為等腰三角形；D.若不是直角三角形，則.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三角形正余弦定理及三角恒等變換分別判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，故角為銳角，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，即，根據(jù)余弦定理可得，由正弦定理可得，則，∴或，即是等腰三角形或直角三角形，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椴皇侵苯侨切?，所以，，均有意義，，所以，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.第二部分（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.12.使不等式（為虛數(shù)單位）成立的實(shí)數(shù)________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)不等式可知，解方程并驗(yàn)證即可.【詳解】由，易知，解得或，又時(shí)，成立；時(shí)，，與矛盾；故答案為：.13.在直三棱柱中，.若該直三棱柱的外接球表面積為，則此三棱柱的高為__________.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，把直三棱柱補(bǔ)形為正四棱柱，設(shè)其高為，把正四棱柱外接球的半徑用含有的代數(shù)式表示，代入球的表面積公式求解．【詳解】在直三棱錐中，，，又，直三棱柱的底面為等腰直角三角形，把直三棱柱補(bǔ)成正四棱柱，則正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)為球心，設(shè)直三棱柱的高為，則球的半徑，故表面積為，解得．故答案為：14.已知非零向量與的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，則與的夾角的最大值是______．【答案】【解析】【詳解】先通過向量的定義得到，從而，通過求出，再求出，利用表示夾角，進(jìn)而利用基本不等式求最值.【分析】因?yàn)闉樵诜较蛏系耐队跋蛄?，且與的夾角為銳角，所以，故．因?yàn)?，且，所以．設(shè)，則，故．又．設(shè)與的夾角為，所以．因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以，即，故．又，所以．故與的夾角的最大值是．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決．四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.15.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，的面積為，求b，c的值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和差角的正弦公式化簡(jiǎn)求解即可；（2）由面積公式可得，再根據(jù)余弦定理求解即可.【小問1詳解】由正弦定理及．得，即，即，因?yàn)?，所以，所以，所以．小?詳解】由題意得的面積，所以①．又，且，所以②．由①②得．16.如圖，在中，已知，，，，分別為，上的兩點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)．（1）求的值；（2）求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）用、表示，再根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）用、表示、，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以?7.圖①是一塊正四棱臺(tái)的鐵料，上、下底面的邊長(zhǎng)分別為和，，分別是上、下底面的中心，棱臺(tái)高.（1）求正四棱臺(tái)的表面積；（2）若將這塊鐵料最大限度地打磨為一個(gè)圓臺(tái)（如圖②），求削去部分與圓臺(tái)的體積之比.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出棱臺(tái)的側(cè)面的高，結(jié)合棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征以及表面積公式即可求得答案；（2）由題意可知圓臺(tái)的上下底面圓與與正四棱臺(tái)的上下底面正方形相切，高為正四棱臺(tái)的高，由此可求出圓臺(tái)以及正四棱臺(tái)的體積，即可求得答案.【小問1詳解】如圖，正四棱臺(tái)的每個(gè)側(cè)面皆為全等的等腰梯形，分別取的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)M作于H，則，故，所以正四棱臺(tái)的表面積為；【小問2詳解】若要這塊鐵料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)，則圓臺(tái)的上下底面圓與正四棱臺(tái)的上下底面正方形相切，高為正四棱臺(tái)的高，則圓臺(tái)的上底面半徑為10cm，下底面半徑為20cm，高為30cm，則圓臺(tái)的體積為，而正四棱臺(tái)的體積為，所以消去部分的體積為，則削去部分與圓臺(tái)的體積之比為.18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若的角平分線交于點(diǎn)，且，，求邊的長(zhǎng)度；（3）若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合余弦定理可得解；（2）結(jié)合角分線的性質(zhì)及三角形面積公式化簡(jiǎn)可得解；（3）由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可知，即，又由余弦定理可知，又，則；【小問2詳解】由已知的角平分線交于點(diǎn)，則，又在中，，即，即，解得；【小問3詳解】由正弦定理可知，則，，又中，，則周長(zhǎng)，因?yàn)闉殇J角三角形，則，即，則，所以，故周長(zhǎng).19.對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個(gè)n維向量，特別地，稱為零向量.設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.對(duì)一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).（1）判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.①，；②，，；（2）已知，，線性無關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.（3）已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無關(guān)，證明：①如果存在等式，則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個(gè)等式，同時(shí)成立，其中，則.【答案】（1）①線性無關(guān)；②線性相關(guān)；理由見解析（2）向量，，線性無關(guān)；理由見解析（3）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量線性相關(guān)的定義逐一判斷即可；（2）設(shè)，則，然后由條件得到即可判斷；（3）①如果某個(gè)，，然后證明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根據(jù)題意證明即可【小問1詳解】對(duì)于①，設(shè)，則可得，所以，線性無關(guān)；