廣東省東莞市2024-2025 學(xué)年高二下學(xué)期七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)東莞市2024--2025學(xué)年第二學(xué)期七校聯(lián)考試題高二數(shù)學(xué)一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求值.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知.故選：D.2.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，令，解不等式即可.【詳解】，定義域?yàn)?，，令，解?故答案為：D3.的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A.210 B.252C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式來(lái)求解展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】對(duì)于二項(xiàng)式，根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式得：

，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)：

，令，解得．

將代入到中可得：

故選：C．4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在處取得最大值B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在處取得極大值D.區(qū)間上有2個(gè)極大值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的極值.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：00非負(fù)遞增極大值遞減極小值遞增故選：C5.函數(shù)在上的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】分析】不含參函數(shù)定區(qū)間求最值，可求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而得解.【詳解】，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．故選：C.6.設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A.60 B.56 C.12 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)和方差的運(yùn)算公式求解即可.【詳解】由二項(xiàng)分布的性質(zhì)得，，故選：A.7.甲，乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進(jìn)行了3局的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)獨(dú)立事件概率求法求，，進(jìn)而求條件概率.【詳解】設(shè)甲獲勝為事件A，比賽進(jìn)行了3局為事件B，則，，所以.故選：C.8.過(guò)點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入點(diǎn)，可得，過(guò)點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，即方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求極值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，，點(diǎn)處的切線斜率，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，過(guò)點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，方程有三個(gè)不等實(shí)根．令，求導(dǎo)得到，令，解得，，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，如圖所示，故，即．故選：A．二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分，每小題至少有兩個(gè)正確選項(xiàng)，全對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分）9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（

）A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，利用捆綁法求解判斷；對(duì)于B，分最左端排甲，和最左端排乙兩類(lèi)求解判斷；對(duì)于C，根據(jù)甲乙不相鄰，利用插空法求解判斷；對(duì)于D，根據(jù)甲乙丙從左到右的順序排列，通過(guò)除序法求解判斷.【詳解】對(duì)于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有種，A正確；對(duì)于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有種排法；若最左端排乙，有種排法，合計(jì)不同的排法共有42種，B正確；對(duì)于C，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有種，C不正確；對(duì)于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，D正確.故選：ABD10.已知（常數(shù)）的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A.B.展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256C.展開(kāi)式中的系數(shù)為D.若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為1024，則第6項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】AD【解析】【分析】由題意寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性、二項(xiàng)式系數(shù)之和、賦值法以及二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.【詳解】由，則其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，對(duì)于A，根據(jù)題意可得，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；對(duì)于B，由，則展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由解得，則展開(kāi)式中的系數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和，解得，可得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，即每項(xiàng)系數(shù)均為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，易知展開(kāi)式中第6項(xiàng)為二項(xiàng)式的中間項(xiàng)，則其系數(shù)最大，故D正確.故選：AD11.若件產(chǎn)品中有件次品和件正品．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，記取得的次品數(shù)為隨機(jī)變量，則下列結(jié)論正確的是（

）A.若是有放回的抽取，則B.若是無(wú)放回的抽取，則C.若是有放回的抽取，的數(shù)學(xué)期望D.若是無(wú)放回的抽取，的數(shù)學(xué)期望【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件知，有放回的抽取時(shí)，，利用二項(xiàng)分布求出和期望，即可判斷A和C的正誤，無(wú)放回的抽取時(shí)，服從超幾可分布，利用超幾可分布，求出和期望，即可判斷B和D的正誤，即可求解.【詳解】若是有放回的抽取，則，則，，故選項(xiàng)A和C正確，若是無(wú)放回的抽取，則可能取，，，，又，，，，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：ACD.三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.已知隨機(jī)變量，若，則______.【答案】0.2【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故答案為：.13.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，求出在上的最大值即可求解.【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.函數(shù)，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍___________________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的意義分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由，得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖：觀察圖象知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題（共5小題，共77分，要求有解析過(guò)程）15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為4，且在處取得極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）遞減區(qū)間；增區(qū)間是，【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）求得，令，得到則的關(guān)系，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，且在處取得極值，可得，即，解得解得，所以函數(shù)的解析式為．【小問(wèn)2詳解】解：由函數(shù)，可得，令，得或，則的關(guān)系，如下表：00↗2↘↗所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，．16.有和兩道謎語(yǔ)，張某猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.8，猜對(duì)得獎(jiǎng)金10元;猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.5，猜對(duì)得獎(jiǎng)金20元.每次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）若張某猜完了這兩道謎語(yǔ)，記張某猜對(duì)謎語(yǔ)的道數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列與期望;（2）現(xiàn)規(guī)定：只有在猜對(duì)第一道謎語(yǔ)的情況下，才有資格猜第二道.如果猜謎順序由張某選擇，為了獲得更多的獎(jiǎng)金，他應(yīng)該選擇先猜哪一道謎語(yǔ)?【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）先猜A【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，然后分別求得其對(duì)應(yīng)概率，結(jié)合期望的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別求得先猜A謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金期望與先猜B謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金期望，比較大小，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，的可能取值為，，，，則分布列為則.【小問(wèn)2詳解】設(shè)選擇先猜A謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金為元，選擇先猜B謎語(yǔ)得到的獎(jiǎng)金為元，則隨機(jī)變量的可能取值為：0，10，30，可得，，，所以隨機(jī)變量的的分布列為：Y01030P0.20.40.4所以期望；又由隨機(jī)變量的可能取值為：0，20，30，可得，，，隨機(jī)變量的分布列為：Z02030P0.50.10.4所以期望為，∴，所以小明應(yīng)該先猜A.17.已知函數(shù)，．（1）求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若且時(shí)，求證．【答案】（1）極小值，無(wú)極大值（2）答案見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）根據(jù)所證不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得證.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存在，使，即，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，所以當(dāng)時(shí)，.18.在某人工智能的語(yǔ)音識(shí)別系統(tǒng)開(kāi)發(fā)中，每次測(cè)試語(yǔ)音識(shí)別成功的概率受環(huán)境條件（安靜或嘈雜）的影響.（1）已知在安靜環(huán)境下，語(yǔ)音識(shí)別成功的概率為；在嘈雜環(huán)境下，語(yǔ)音識(shí)別成功的概率為0.6.某天進(jìn)行測(cè)試，已知當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率為0.3，處于嘈雜環(huán)境的概率為0.7.（i）求測(cè)試結(jié)果為語(yǔ)音識(shí)別成功的概率；（ii）已知測(cè)試結(jié)果為語(yǔ)音識(shí)別成功，求當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率；（2）已知當(dāng)前每次測(cè)試成功的概率為，每次測(cè)試成本固定，現(xiàn)有兩種測(cè)試方案：方案一：測(cè)試4次；方案二：先測(cè)試3次，如果這3次中成功次數(shù)小于等于2次，則再測(cè)試2次，否則不再測(cè)試.為降低測(cè)試成本，以測(cè)試次數(shù)的期望值大小為決策依據(jù)，應(yīng)選擇哪種方案?【答案】（1）（i）；（ii）（2）方案一【解析】【分析】（1）（i）設(shè)出基本事件利用條件概率以及全概率公式計(jì)算可得結(jié)果；（ii）由概率的乘法公式計(jì)算即可；（2）求得兩方案對(duì)應(yīng)的期望值，取期望值較小的即可.【小問(wèn)1詳解】記事件=“某天進(jìn)行測(cè)試時(shí)處于安靜環(huán)境”，=“某天進(jìn)行測(cè)試時(shí)處丁嘈雜環(huán)境”，事件=“測(cè)試結(jié)果語(yǔ)音識(shí)別成功”.根據(jù)題意得（i）由全概率公式得（ii）“已知測(cè)試結(jié)果語(yǔ)音識(shí)別成功，當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率”，就是在事件發(fā)生的條件下發(fā)生的概率，即【小問(wèn)2詳解】方案一的測(cè)試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4.用表示“方案二測(cè)試的次數(shù)”，由題意得的可能取值為3，5.則所以方案二測(cè)試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.又因?yàn)?，所以以測(cè)試次數(shù)的期望值大小為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案一.19.某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn)．經(jīng)過(guò)調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為80%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為90%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為88%．（1）設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件．求證：；（2）從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來(lái)自甲工廠的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為了爭(zhēng)取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)．已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率．設(shè)事件“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”，已知，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）分布列見(jiàn)解析，（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由混合前后，合格件數(shù)的總數(shù)相等，列出方程，即可證明；（2）設(shè)出甲乙兩廠的零件數(shù)，表示事件發(fā)生的概率，由題意知服從二項(xiàng)分布，寫(xiě)出分布列和期望即可；（3）因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，即，化簡(jiǎn)變形即可證得.【小問(wèn)1詳解】甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為80%，共件，則合格件數(shù)為，乙工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為90%，共件，則合格件數(shù)為，混合后，總零件數(shù)為，合格品率為88%，則混