福建省福州市臺江區(qū)九校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算求出復(fù)數(shù)，然后求出其在復(fù)平面對應(yīng)的點，從而可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點為，位于第三象限．故選：C2.如圖所示，在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點，四邊形為底面的四棱錐．故選：B3.已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z+1所對應(yīng)的向量正確的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由圖可知，所以，則復(fù)數(shù)z+1所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為．故A正確．考點：1復(fù)數(shù)的基本運算，2復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)．4.如圖，在正方體的八個頂點中，有四個頂點A，，C，恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出正方體的棱長，求出正方體的表面積，再求正四面體的表面積，求比值即可．【詳解】解：設(shè)正方體的棱長為，則正方體的表面積是，正四面體，則棱長為，它的表面積是，正四面體的表面積與正方體的表面積之比為．故選：D．5.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，得，解得，再根據(jù)得到解之即得解.【詳解】由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因為，，則，，.設(shè)，則，，因為，所以，解得，由，得，所以解得，所以故選：C.【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)表示，考查向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6.如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底在同一平面內(nèi)的兩個觀測點與，現(xiàn)測得，，米，在點處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則該鐵塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】在中，由兩角和的正弦得到，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，由正弦定理得到，在中，，代入數(shù)值即可得到答案.【詳解】在中，，則，，由正弦定理，可得，在中，可得.所以該鐵塔的高度約為米．故選：C.7.已知在內(nèi)有一點，滿足，過點作直線分別交、于、，若，，則的最小值為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三點共線求得，然后利用常數(shù)代換法可解.【詳解】記的中點為，因為，所以，所以為靠近點的三分點，知P是的重心，則，又，所以，∵共線，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴的最小值為．故選：A．8.已知的三個內(nèi)角A、B、C滿足，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理化角為邊，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最小值，再根據(jù)平方關(guān)系即可求出的值最大，結(jié)合取等號的條件即可得解.【詳解】因為，由正弦定理得，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)?shù)闹底畲髸r，.故選：C.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則（）A.長方體的表面積為20B.長方體的體積為6C.沿長方體的表面從A到的最短距離為D.沿長方體的表面從A到的最短距離為【答案】BC【解析】【分析】由題意，可利用柱體體積公式和多面體表面積公式進行計算，沿表面最短距離可將臨近兩個面?zhèn)让嬲归_圖去計算，即可求解正確答案.【詳解】長方體的表面積為，A錯誤.長方體的體積為，B正確.如圖（1）所示，長方體中，，，.求表面上最短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面和側(cè)面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和側(cè)面時的最短距離是；如圖（3）所示，將側(cè)面和底面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是；如圖（4）所示，將側(cè)面和底面展開，則有，即經(jīng)過側(cè)面和底面時的最短距離是.因為，所以沿長方體表面由A到的最短距離是，C正確，D不正確.故選：BC.【點睛】本題考查長方體體積公式、表面積公式和沿表面的最短距離，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.10.下列結(jié)論中，正確的是（）A.若向量，，且，則B.若，，與的夾角為，則C.已知向量，，則與的夾角為D.若向量，，且//，則【答案】AB【解析】【分析】直接利用向量的共線的充要條件的應(yīng)用，向量垂直的充要條件的應(yīng)用，向量的模的應(yīng)用，向量夾角公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】A.因為，所以，解得，故A正確；B.因為，所以，故B正確；C.因為，所以與夾角的大小為，故C不正確，D.因//，根據(jù)公式，解得或，所以D不正確，故選：AB．11.下列結(jié)論中，正確的是（）A.的運算結(jié)果為純虛數(shù)；B.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則有兩解；C.已知向量，，則的取值范圍是；D.已知，則的最小值和最大值分別是和.【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)復(fù)數(shù)的運算即可得結(jié)果；對于B：利用正弦定理分析判斷即可；對于C：根據(jù)向量的線性運算法則即可判斷；對于D：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析可知動點的軌跡是點為圓心，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)即可得判斷.【詳解】對于選項A：因為為實數(shù)，故A錯誤；對于選項B：因為，可知，即角B有兩解，所以有兩解，故B正確；對于選項C：因為，則，即，所以的取值范圍是，故C正確；對于選項D：因為對應(yīng)的點分別為，，因為，可知動點的軌跡是點A為圓心，半徑的圓，則，即，所以的最小值和最大值分別是和，故D正確故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.棱臺的上?下底面面積分別是2，4，高為3，則棱臺的體積等于___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)棱臺的體積公式直接計算即可.【詳解】解析：體積.故答案為：.13.已知平面向量、的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為_______．（用向量坐標(biāo)表示）【答案】【解析】【分析】結(jié)合投影向量的公式，即可求解．【詳解】因為，所以，因為平面向量、夾角為，且，則在方向上的投影向量為.故答案為：.14.已知三棱錐的各頂點都在一個半徑為r的球面上，且，，則球的表面積為_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的特性，再補形成正方體，借助正方體外接球求得答案.【詳解】三棱錐中，由及，得側(cè)棱兩兩垂直且等長，則三棱錐的外接球與以為共點棱的正方體的外接球相同，而此正方體的外接球直徑為其體對角線長，為，因此三棱錐的外接球半徑為，所以所求外接球的表面積為：.故答案為：四、解答題（本大題共5題，共7分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知復(fù)數(shù)．（1）若，求；（2）若||，且是純虛數(shù)，求【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則求解；（2）設(shè)，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，求出的值即可．【小問1詳解】∵復(fù)數(shù)，∴；【小問2詳解】設(shè)，∵，∴①，又∵，∴，②，由①②聯(lián)立，解得或，∴或.16.已知向量，，．（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，求實數(shù)m的范圍；（2）若，且，求向量與的夾角大?。敬鸢浮浚?）且（2）【解析】【分析】（1）若向量，能構(gòu)成一組基底，則向量，不共線，則，從而可得答案；（2）由，可得，從而可求的得，再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式求解即可.【小問1詳解】若向量，能構(gòu)成一組基底，則向量，不共線，則，解得且；【小問2詳解】因為，所以，即，解得，所以，，則，又因為，所以，即向量與的夾角為.17.如圖，為四邊形的斜二測直觀圖，其中，，．（1）求平面四邊形的面積及周長；（2）若四邊形以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．【答案】（1）5，7；（2），【解析】【分析】（1）把直觀圖還原為原平面圖形，得四邊形是直角梯形，由此求出平面四邊形的面積和周長；（2）四邊形以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是圓柱與圓錐的組合體，計算它的體積和表面積即可．【小問1詳解】把直觀圖還原為原平面圖形，則四邊形是直角梯形，其中，，，，如圖所示：所以平面四邊形的面積為，周長為；【小問2詳解】四邊形以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是圓柱與圓錐的組合體，則旋轉(zhuǎn)體的體積等于圓柱的體積與圓錐的體積之和，即，表面積為.【點睛】18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，（1）求的外接圓半徑；（2）周長的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求出角，進而求出三角形外接圓半徑.（2）由（1）中信息，利用基本不等式求出周長范圍.【小問1詳解】在中，由，得，由正弦定理得，即，由余弦定理得，而，則，所以外接圓半徑.【小問2詳解】由（1）知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，解得，而，即，則，所以周長的取值范圍是.19.如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標(biāo)”分別為，，設(shè)函數(shù)，，求的值域.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先計算的值，再由，利用向量數(shù)量積的運算律計算即可；（2）利用向量數(shù)量積的運算律計算并化簡即可得證；（3）利用（2）的公式計算，設(shè)，求出，將轉(zhuǎn)化成，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求得的值域.【小問1詳解】因為的“完美坐標(biāo)”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向