2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（理科專用）-不等式與不等式組在工程中的應(yīng)用解析

2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（理科專用）——不等式與不等式組在工程中的應(yīng)用解析一、選擇題1.某工廠生產(chǎn)一批零件，如果每天生產(chǎn)x個(gè)，則需用10天完成；如果每天生產(chǎn)y個(gè)，則需用12天完成。為了按期完成任務(wù)，該工廠每天至少需要生產(chǎn)多少個(gè)零件？（1）x+y（2）x-y（3）xy（4）2x+2y2.一個(gè)工廠的年產(chǎn)量為a件，其中甲產(chǎn)品占總產(chǎn)量的50%，乙產(chǎn)品占總產(chǎn)量的30%，丙產(chǎn)品占總產(chǎn)量的20%。若甲產(chǎn)品的利潤為b元/件，乙產(chǎn)品的利潤為c元/件，丙產(chǎn)品的利潤為d元/件，那么該工廠的年利潤為：（1）0.5ab+0.3ac+0.2ad（2）0.5bc+0.3bd+0.2cd（3）0.5ab+0.3bc+0.2bd（4）0.5ab+0.3ac+0.2cd二、填空題3.已知某工廠每天生產(chǎn)零件的數(shù)量與生產(chǎn)天數(shù)成反比例關(guān)系，如果每天生產(chǎn)100個(gè)零件，則需用10天完成；如果每天生產(chǎn)200個(gè)零件，則需用5天完成。那么，該工廠生產(chǎn)300個(gè)零件需要多少天？4.某商品的原價(jià)為m元，打x折后的價(jià)格為y元。若要使折扣后的價(jià)格不超過100元，那么x的最大值為多少？三、解答題5.某工廠計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品，若每天生產(chǎn)a個(gè)，則需用10天完成；若每天生產(chǎn)b個(gè)，則需用15天完成。為了按期完成任務(wù)，該工廠每天至少需要生產(chǎn)多少個(gè)產(chǎn)品？請(qǐng)列出不等式并求解。6.某商店的年?duì)I業(yè)額為n元，其中商品A的銷售額占總營業(yè)額的40%，商品B的銷售額占總營業(yè)額的30%，商品C的銷售額占總營業(yè)額的20%，其余10%為其他商品的銷售額。若商品A的利潤為p元/元，商品B的利潤為q元/元，商品C的利潤為r元/元，那么該商店的年利潤為多少？請(qǐng)列出不等式并求解。四、應(yīng)用題7.某市計(jì)劃在河岸兩側(cè)種植樹木，以美化城市環(huán)境。河岸長度為300米，若在河岸一側(cè)種植樹木，每?jī)煽脴渲g的距離為5米；在河岸另一側(cè)種植樹木，每?jī)煽脴渲g的距離為3米。為了使兩側(cè)種植的樹木數(shù)量盡可能相等，求每側(cè)至少需要種植多少棵樹。8.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)A產(chǎn)品每件需要原材料x千克，生產(chǎn)B產(chǎn)品每件需要原材料y千克。已知工廠每天可用的原材料總量為200千克，且生產(chǎn)A產(chǎn)品每件需要?jiǎng)趧?dòng)力a小時(shí)，生產(chǎn)B產(chǎn)品每件需要?jiǎng)趧?dòng)力b小時(shí)，工廠每天可用的勞動(dòng)力總量為80小時(shí)。若要使兩種產(chǎn)品同時(shí)滿足原材料和勞動(dòng)力的限制條件，且使生產(chǎn)的產(chǎn)品總價(jià)值最大，求A、B產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量。五、證明題9.證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有不等式n^3+3n+1>(n+1)^3成立。10.證明：若a、b、c是等差數(shù)列的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)，且a>0，b>0，c>0，則a^2+b^2+c^2≥3abc成立。六、綜合題11.某商品在促銷活動(dòng)中，原價(jià)為p元，促銷折扣為x折，促銷期間購買該商品的用戶還可以享受滿減優(yōu)惠，滿100元減10元，滿200元減20元，以此類推。若某用戶購買該商品后實(shí)際支付了q元，求促銷折扣x和滿減優(yōu)惠的次數(shù)n的關(guān)系，并寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（3）xy解析：根據(jù)題意，生產(chǎn)零件的數(shù)量與生產(chǎn)天數(shù)成反比例關(guān)系，即x與10成反比，y與12成反比，所以xy=10×12=120，每天至少需要生產(chǎn)120個(gè)零件。2.答案：（1）0.5ab+0.3ac+0.2ad解析：根據(jù)題意，年利潤為各產(chǎn)品利潤之和，甲產(chǎn)品利潤為0.5ab，乙產(chǎn)品利潤為0.3ac，丙產(chǎn)品利潤為0.2ad，所以年利潤為0.5ab+0.3ac+0.2ad。二、填空題3.答案：6解析：根據(jù)反比例關(guān)系，設(shè)生產(chǎn)300個(gè)零件需要的天數(shù)為t，則有100×10=200×5=300×t，解得t=6天。4.答案：10解析：根據(jù)題意，原價(jià)m與折扣后價(jià)格y的關(guān)系為y=m×x/10，要使y≤100，即m×x/10≤100，解得x≤10，所以x的最大值為10。三、解答題5.答案：a≥10解析：根據(jù)題意，生產(chǎn)a個(gè)產(chǎn)品需要10天，生產(chǎn)b個(gè)產(chǎn)品需要15天，所以a×10=b×15，解得a=1.5b。為了按期完成任務(wù)，每天至少需要生產(chǎn)a個(gè)產(chǎn)品，即1.5b個(gè)產(chǎn)品，所以a≥10。6.答案：年利潤為0.4np+0.3nq+0.2nr解析：根據(jù)題意，年利潤為各產(chǎn)品利潤之和，甲產(chǎn)品利潤為0.4np，乙產(chǎn)品利潤為0.3nq，丙產(chǎn)品利潤為0.2nr，所以年利潤為0.4np+0.3nq+0.2nr。四、應(yīng)用題7.答案：每側(cè)至少需要種植40棵樹解析：河岸一側(cè)種植樹木的數(shù)量為300/5=60棵，河岸另一側(cè)種植樹木的數(shù)量為300/3=100棵，為了使兩側(cè)種植的樹木數(shù)量盡可能相等，每側(cè)至少需要種植40棵樹。8.答案：A產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量為x，B產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量為y解析：設(shè)A產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為x，B產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量為y，根據(jù)題意列出不等式組：\[\begin{cases}x+y\leq200\\ax+by\leq80\end{cases}\]為了使生產(chǎn)的產(chǎn)品總價(jià)值最大，即求z=px+qy的最大值，根據(jù)線性規(guī)劃的方法，解得A產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量為x，B產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量為y。五、證明題9.答案：證明如上解析：證明過程如下：\[\begin{aligned}n^3+3n+1-(n+1)^3&=n^3+3n+1-(n^3+3n+3n+1)\\&=n^3+3n+1-n^3-6n-1\\&=-3n\\&>0\end{aligned}\]所以不等式n^3+3n+1>(n+1)^3成立。10.答案：證明如上解析：證明過程如下：\[\begin{aligned}a^2+b^2+c^2-3abc&=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\\&\geq0\