廣東省廣州市華南師大附中2024屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（教師版）

廣東省廣州市華南師大附中2024屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試題（教師版）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，其中$x>0$，則函數(shù)$f(x)$的極值點為：A.$x=1$B.$x=e$C.$x=\frac{1}{e}$D.$x=0$2.設(shè)$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最大值為：A.$2$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$1$二、填空題要求：把答案填寫在題目的橫線上。3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，且$a_1+a_4=10$，$a_1+a_7=18$，則$a_1=\_\_\_\_\_\_\_，d=\_\_\_\_\_\_\_。4.已知函數(shù)$y=\sinx$的圖像上一點$P(x_0,y_0)$，若點$P$在直線$y=x$上，則$x_0=\_\_\_\_\_\_\_。三、解答題要求：寫出解答過程。5.（1）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。（2）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的極值點和拐點。6.（1）已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_4=32$，求該數(shù)列的通項公式。（2）已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_4=32$，求該數(shù)列的前$n$項和$S_n$。四、（1）已知三角形的三邊長分別為$a$、$b$、$c$，且滿足$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=36$，求三角形面積的最大值。（2）若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且過點$(1,4)$，$(2,8)$，$(3,12)$，求實數(shù)$a$、$b$、$c$的值。五、（1）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。（2）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。六、（1）已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=1$，$a_4=7$，求該數(shù)列的通項公式。（2）已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=1$，$a_4=7$，求該數(shù)列的前$n$項和$S_n$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.$x=1$解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，計算$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)+\frac{1}{x+h}-\lnx-\frac{1}{x}}{h}$，經(jīng)過化簡和極限計算，得到$f'(1)=0$，故$x=1$是極值點。2.D.$1$解析：由均值不等式，$\frac{1}{a}+\frac{1}\geq2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}}=2$，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$，因為$a+b=1$，所以$a=b=\frac{1}{2}$，故$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$。二、填空題3.$a_1=2$，$d=2$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_1+a_4=a_1+3d=10$，$a_1+a_7=a_1+6d=18$，解這個方程組得到$a_1=2$，$d=2$。4.$x_0=\frac{\pi}{4}$解析：由$y=\sinx$和$y=x$的交點，得到$\sinx=x$，在$[0,\pi]$范圍內(nèi)，唯一解為$x=\frac{\pi}{4}$。三、解答題5.（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，計算得到$f'(x)=3x^2-6x+4$。（2）極值點為$x=1$和$x=2$，拐點為$x=1$。解析：由$f'(x)=0$解得$x=1$和$x=2$，計算$f''(x)=6x-6$，得到$f''(1)=0$和$f''(2)=6$，故$x=1$是極小值點，$x=2$是極大值點。$f''(x)$在$x=1$處從負(fù)變正，故$x=1$是拐點。6.（1）$a_n=2^n$解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_4=a_1r^3$，得到$32=2r^3$，解得$r=2$，故$a_n=2^n$。（2）$S_n=2^{n+1}-2$解析：由等比數(shù)列的前$n$項和公式，$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，代入$a_1=2$和$r=2$，得到$S_n=2^{n+1}-2$。四、（1）三角形面積的最大值為$6\sqrt{3}$解析：由海倫公式，三角形面積$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中$s=\frac{a+b+c}{2}$，代入$a+b+c=12$，$ab+bc+ac=36$，計算得到$s=6$，$S=6\sqrt{3}$。（2）$a=2$，$b=4$，$c=2$解析：由$f(1)=4$，$f(2)=8$，$f(3)=12$，得到方程組$\begin{cases}a+b+c=4\\4a+2b+2c=8\\9a+3b+c=12\end{cases}$，解得$a=2$，$b=4$，$c=2$。五、（1）$f'(x)=\frac{x^2-5x+6}{(x+1)^2}$解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，計算得到$f'(x)=\frac{x^2-5x+6}{(x+1)^2}$。（2）$f(x)$在$(-\infty,2)$和$(3,+\infty)$上單調(diào)遞增，在$(2,3)$上單調(diào)遞減。解析：由$f'(x)=0$解得$x=2$和$x=3$，計算$f''(x)=\frac{2(x-3)}{(x+1)^3}$，得到$f''(2)=0$和$f''(3)=0$，故$x=2$是極大值點，$x=3$是極小值點。$f'(x)$在$x=2$處從正變負(fù)，故$x=2$是局部極大值點；在$x=3$處從負(fù)變正，故$x=3$是局部極小值點。六、（1）$a_n=3n-2$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_4=a_1+3d=7$，得到$3d=5$，解得$d=\frac{5}{3}