專題01實數(shù)全章復習攻略（考點清單12個考點60題專練）解析版

專題01實數(shù)全章復習攻略（考點清單，12個考點60題專練）一、實數(shù)的概念或者：1.有理數(shù)：有理數(shù)就是能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)；有理數(shù)包括：整數(shù)和分數(shù)；有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。2.無理數(shù)：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。3.實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。二、數(shù)的開方4.若，則x叫做a的平方根；正數(shù)有兩個平方根是，其中表示正的平方根；表示負的平方根；零的平方根記作=0；負數(shù)沒有平方根。求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方，叫做被開方數(shù)；5.平方根與開平方的性質(zhì)（1）當時，＝，＝（2）當時，，當時，6.若，則叫做的立方根，記作：，叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù).正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，負數(shù)的立方根是一個負數(shù)，零的立方根是零。即：任意一個實數(shù)都有立方根，而且只有一個。求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.7.立方根與開立方的性質(zhì)：；8.若（的整數(shù)），則x叫做a的n次方根；當為奇數(shù)是，叫的奇次方根；當為偶數(shù)是，叫的偶次方根；實數(shù)的奇次方根有且只有一個，表示為：正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù),正次方根表示為：，負次方根表示為：負數(shù)的偶次方根不存在.零的偶次方根為零，表示為.求一個數(shù)的次方根的運算叫做開n次方.叫做被開方數(shù)，叫做根指數(shù).9.估計無理數(shù)的范圍三、實數(shù)的運算1.實數(shù)范圍內(nèi)絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)等概念（1）絕對值：一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。（2）相反數(shù)：只有符號不同的的兩個數(shù)互為相反數(shù)。若互為相反數(shù)，則0（3）倒數(shù)：若兩個數(shù)的乘積為1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù)，即：.2.兩個實數(shù)比較大?。?）性質(zhì)法：負數(shù)_小于_零__小于_正數(shù)；兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)較小。（2）數(shù)軸法：數(shù)軸上，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大.（3）比差法：若，則。3.數(shù)軸上兩點的距離：如果A、B兩點對應的數(shù)分別為、，則AB＝4.實數(shù)的運算（三級六則運算）（1）加法法則：互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零；同號相加，取相同的符號，再把它們的絕對值相加；異號相加，取絕對值較大的符號，再用較大的絕對值減去較小的絕對值；任何數(shù)與0相加，和仍然是這個數(shù).（2）減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。（3）乘法法則：同號相乘得正，異號相乘得負,任何數(shù)與0相乘，積為零.（4）除法法則：除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).（5）混合運算：先算冪，再乘除，后加減；如果有括號，要先算括號里的.混合運算遵循交換律和結合律。（6）當時，5.準確數(shù)與近似數(shù)完全符合實際地表示一個量多少的數(shù)叫準確數(shù)；與準確數(shù)達到一定接近程度的數(shù)叫做近似數(shù)。6.精確度：（1）近似數(shù)的精確度通常有兩種表述方式，一是精確到哪一個數(shù)位，二是指定保留幾個有效數(shù)字.（2）有效數(shù)字：一個近似數(shù)從左邊第一個不為零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字。7.科學記數(shù)法：把一絕對值大于10（或小于1）的數(shù)用形式.四、分數(shù)指數(shù)冪1.分數(shù)指數(shù)冪：分數(shù)指數(shù)冪就是一個數(shù)的指數(shù)為分數(shù).即叫分數(shù)指數(shù)冪.整數(shù)指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱為有理數(shù)指數(shù)冪.（），（）。2.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：設為有理數(shù)，那么（1）＝，＝;（2）＝;（3）【考查題型一】近似數(shù)和有效數(shù)字【例1】．（2023春?楊浦區(qū)期末）下列近似數(shù)，精確到0.001且有三個有效數(shù)字的是A．8.010 B．8.01 C．0.801 D．0.081【分析】精確到哪一位就是看這個近似數(shù)的最后一位是什么位，有效數(shù)字就是從數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)起，后面所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．【解答】解：、8.010精確到0.001，且有四個有效數(shù)字，故不符合題意；、8.01精確到0.01，且有三個有效數(shù)字；故不符合題意；、0.801精確到0.001且有三個有效數(shù)字，故符合題意；、0.081精確到0.001且有兩個有效數(shù)字，故不符合題意；故選：．【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．【變式1-1】（2023春?上海期中）把數(shù)128500保留三個有效數(shù)字可以表示為．【分析】對于大于1的數(shù)，科學記數(shù)法的書寫要求是：，其中，比整數(shù)位數(shù)小1，再結合有效數(shù)字的取法可解本題．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查了科學記數(shù)法的書寫原則及有效數(shù)字的取法，本題屬于基礎題，難度不大．【變式1-2】．（2023春?松江區(qū)期末）對于近似數(shù)0.6180，它的有效數(shù)字有個．【分析】根據(jù)有效數(shù)字的定義求解．【解答】解：近似數(shù)0.6180的有效數(shù)字為6、1、8、0，共有4個有效數(shù)字．故答案為：4．【點評】本題考查了有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．【考查題型二】平方根【例2】．（2023春?虹口區(qū)期末）36的平方根是．【分析】如果一個數(shù)的平方等于，這個數(shù)就叫做的平方根，由此即可得到答案．【解答】解：，的平方根是．故答案為：．【點評】本題考查平方根，關鍵是掌握平方根的定義．【變式2-1】．（2023春?寶山區(qū)期末）已知實數(shù)的一個平方根是2，則它的另一個平方根是．【分析】根據(jù)一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)進行求解．【解答】解：根據(jù)一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)可知：2的相反數(shù)是．所以的另一個平方根是．【點評】本題主要考查了平方根的知識、相反數(shù)的知識，難度不大．【變式2-2】．（2023春?普陀區(qū)期中）如果和是一個非零數(shù)的兩個平方根，那么．【分析】根據(jù)一個非零數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)得出結論即可．【解答】解：由題意知，，解得，故答案為：1．【點評】本題主要考查平方根的知識，熟練掌握平方根的知識是解題的關鍵．【變式2-3】．（2023春?黃浦區(qū)期中）下列說法正確的是A．任何正數(shù)都有平方根 B．任何實數(shù)都有平方根 C．的平方根是 D．的平方根是2【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可．【解答】解：、任何正數(shù)都有平方根，正確，符合題意；、負數(shù)沒有平方根，故本選項錯誤，不符合題意；、的平方根是，故本選項錯誤，不符合題意；、的平方根是，故本選項錯誤，不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查的是平方根的性質(zhì)，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【考查題型三】算術平方根【例3】．（2023春?長寧區(qū)期末）下列等式中，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平方根、算術平方根的定義以及二次根式的性質(zhì)和化簡逐項進行計算即可．【解答】解：．由于無意義，即負數(shù)沒有平方根，因此選項不符合題意；．，因此選項符合題意；，因此選項不符合題意；，因此選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查算術平方根、平方根，理解平方根、算術平方根的定義是正確解答的前提．【變式3-1】．（2023春?寶山區(qū)期末）有一個數(shù)值轉換器，原理如圖所示：當輸入的數(shù)是324時，輸出的結果等于A．3 B．18 C． D．【分析】根據(jù)數(shù)值轉換器流程，18的算術平方根是輸出結果可確定選項．【解答】解：，18不是無理數(shù)，再輸入18的算術平方根，．故選：．【點評】本題考查了算術平方根的應用，一個正數(shù)的正的平方根叫作這個數(shù)的算術平方根．【變式3-2】．（2023春?奉賢區(qū)校級期中）25的算術平方根是．【分析】根據(jù)算術平方根的定義即可求出結果，算術平方根只有一個正根．【解答】解：，的算術平方根是5．故答案為：5．【點評】易錯點：算術平方根的概念易與平方根的概念混淆而導致錯誤．規(guī)律總結：弄清概念是解決本題的關鍵．【變式3-3】．（浦東新區(qū)期中）先計算下列各式：，，3，，．（1）通過觀察并歸納，請寫出：．（2）計算：．【分析】（1）先計算出各二次根式的值，根據(jù)計算結果找出其中的規(guī)律，然后用含的式子表示；（2），，，然后找出其中的規(guī)律進行計算即可．【解答】解：（1）；，，，觀察上述算式可知：．（2），，，．故答案為：3；4；5；（1）；（2）．【點評】本題主要考查的是探索數(shù)字的變化規(guī)律，找出其中蘊含的規(guī)律是解題的關鍵．【查考題型四】非負數(shù)的性質(zhì)：算術平方根（共1小題）【例4】．（2023春?徐匯區(qū)校級期中），則．【分析】根據(jù)算術平方根的非負性，求出的值，代入代數(shù)式求出，再代入計算即可．【解答】解：由題意得，，，解得，，則，故答案為：9．【點評】本題考查算術平方根的非負性，掌握被開方數(shù)必須是非負數(shù)是解題的關鍵．【考查題型五】立方根（共5小題）【例5】．（2023?碑林區(qū)校級模擬）的立方根是．【分析】利用立方根的定義即可求解．【解答】解：，的立方根是．故答案為：．【點評】本題主要考查了立方根的概念．如果一個數(shù)的立方等于，即的三次方等于，那么這個數(shù)就叫做的立方根，也叫做三次方根．讀作“三次根號”其中，叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)．【變式5-1】．（2023春?奉賢區(qū)校級期中）計算：．【分析】根據(jù)立方根的定義求出即可．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題考查了對立方根的應用，主要考查學生的計算能力．【變式5-2】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）如果，那么．【分析】根據(jù)立方根的定義解答即可．【解答】解：，，．故答案為：．【點評】本題考查的是立方根，熟知如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根是解題的關鍵．【變式5-3】．（2023春?奉賢區(qū)校級期中）把化為底數(shù)為10的冪的形式是．【分析】根據(jù)三次根式可以化成分數(shù)指數(shù)冪，然后結合冪的乘方法則即可求解．【解答】解：可以寫成故答案為：．【點評】本題考查了根式化成分數(shù)指數(shù)冪的方法，關鍵是熟悉根式對應的分數(shù)指數(shù)冪．【變式5-4】．（2023春?閔行區(qū)期中）計算：．【分析】根據(jù)，可得出答案．【解答】解：．故答案為：．【點評】此題考查了立方的知識，屬于基礎題，注意立方根的求解方法，難度一般．【考查題型六】無理數(shù)【例6】．（2023春?長寧區(qū)期末）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是A． B． C． D．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：、是有理數(shù)，故錯誤；、是有理數(shù)，故錯誤；、是無理數(shù)，故正確；、是有理數(shù)，故錯誤；故選：．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式6-1】．（2023春?上海期中）數(shù)、、、、3.1416、中，無理數(shù)的個數(shù)是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先把化為2的形式，再根據(jù)無理數(shù)的概念進行解答即可．【解答】解：，2是整數(shù)，故是有理數(shù)，這一組數(shù)中的無理數(shù)有：，共2個．故選：．【點評】本題考查的是無理數(shù)的概念，即無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．【變式6-2】．（2023春?奉賢區(qū)校級期中）兩個無理數(shù)（這兩個無理數(shù)不是互為相反數(shù)）的和無理數(shù)（填“一定是”，“一定不是”或“不一定是”．【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：兩個無理數(shù)（這兩個無理數(shù)不是互為相反數(shù)）的和不一定無理數(shù)，如與的和就是有理數(shù)．故答案為：不一定．【點評】本題考查了無理數(shù)，掌握無理數(shù)的定義是解答本題的關鍵．【考查題型七】實數(shù)【例7】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）下列各數(shù)中，有理數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)有理數(shù)，無理數(shù)的定義分別進行判斷即可得出結果．【解答】解：是無理數(shù)，所以選項不符合題意；是無理數(shù)，所以選項不符合題意；是無理數(shù)，所以選項不符合題意；，是有理數(shù)，所以選項符合題意．故選：．【點評】此題主要是考查了有理數(shù)，無理數(shù)的定義，能夠熟記無理數(shù)是無限無循環(huán)小數(shù)是解答此題的關鍵．【變式7-1】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）下列說法正確的是A．無限小數(shù)都是無理數(shù) B．無理數(shù)都是無限小數(shù) C．有理數(shù)只是有限小數(shù) D．實數(shù)可以分為正實數(shù)和負實數(shù)【分析】根據(jù)有理數(shù)包括整數(shù)和通常所說的分數(shù)，此分數(shù)亦可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．無理數(shù)是開方開不盡的實數(shù)或者無限不循環(huán)小數(shù)或．及實數(shù)可分為正實數(shù)、負實數(shù)和0，即可判斷各選項的對錯，得出答案．【解答】解：、無限小數(shù)都不一定是無理數(shù)，其中無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，故本選項錯誤．、根據(jù)無理數(shù)的定義，無理數(shù)都是無限小數(shù)，故本選項正確．、有理數(shù)不只是有限小數(shù)，例如無限循環(huán)小數(shù)，故本選項錯誤；、實數(shù)可以分為正實數(shù)、負實數(shù)和0，故本選項錯誤；故選：．【點評】本題考查的是實數(shù)的分類，解答此類問題時一定要注意0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．【變式7-2】．（2023春?黃浦區(qū)期末）在，，3.14，，中，有理數(shù)個數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義，逐一判斷即可解答．【解答】解：在，，3.14，，中，有理數(shù)有，3.14，，共有3個，故選：．【點評】本題考查了實數(shù)，熟練掌有理數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式7-3】．（2023春?上海期中）下列說法正確的是A．只有0的平方根是它本身 B．無限小數(shù)都是無理數(shù) C．不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù) D．任何數(shù)都有平方根【分析】根據(jù)平方根、有理數(shù)、無理數(shù)的意義分析判斷即可．【解答】解：、正數(shù)的平方根有2個，只有0的平方根是它本身，故本選項正確，符合題意；、無限小數(shù)中的無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項錯誤，不合題意；、不帶根號，但是無理數(shù)，故本選項錯誤，不合題意；、因為負數(shù)沒有平方根，故本選項錯誤，不合題意．故選：．【點評】本題考查平方根、有理數(shù)、無理數(shù)的意義，熟悉它們的定義是解題的關鍵．【變式7-4】．（2023春?虹口區(qū)期末）下列實數(shù)中，有理數(shù)是A．（相鄰的兩個“2”之間每次增加一個“5” B． C． D．【分析】整數(shù)是有理數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解答】解：是無理數(shù)；是無理數(shù)；（相鄰的兩個“2”之間每次增加一個“5”是無理數(shù)，是有理數(shù)，故選：．【點評】本題考查無理數(shù)，涉及實數(shù)的分類，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．【考查題型八】實數(shù)與數(shù)軸【例8】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）數(shù)軸上的點表示的數(shù)是，那么它到原點的距離是．【分析】點到原點的距離就是的絕對值，進而作答．【解答】解：點表示的數(shù)是，，所以它到原點的距離為：．【點評】本題考查點到原點的距離即絕對值，解題的關鍵是會正確求出絕對值．【變式8-1】．（2023春?嘉定區(qū)期末）已知數(shù)軸上的兩點、所對應的數(shù)分別是和，那么、兩點的距離等于．【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關系列式計算即可．【解答】解：數(shù)軸上的兩點、所對應的數(shù)分別是和，、兩點的距離等于，故答案為：．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸的關系，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．【變式8-2】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）已知實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡．【分析】根據(jù)圖示，可得：，，再根據(jù)絕對值的含義和求法，化簡即可．【解答】解：根據(jù)圖示，可得：，，，．故答案為：．【點評】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸的特征和應用，以及絕對值的含義和求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．【變式8-3】．（2023春?閔行區(qū)期中）已知數(shù)軸上點到原點的距離為1，且點在原點的左側，數(shù)軸上到點的距離為的點所表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)題意得點表示的數(shù)是，根據(jù)到點的距離為的點在點的左側和右側分類討論即可求解．【解答】解：數(shù)軸上點到原點的距離為1，且點在原點的左側，點表示的數(shù)是，數(shù)軸上到點的距離為的點所表示的數(shù)是或，故答案為：或．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握絕對值的意義是解題的關鍵．【變式8-4】．（2023春?松江區(qū)期中）已知邊長為1的正方形對角線長為．如圖，用數(shù)軸的單位長度為邊做一個正方形．以表示數(shù)1的點為圓心，正方形對角線長為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點、點，則點所表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的比較的性質(zhì)即可解題．【解答】解：邊長為1的正方形對角線長為．以1的點為圓心，對角線長為半徑畫半圓長為，點1與點的距離為，點為．故答案為：．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較的應用，解題關鍵是圓弧性質(zhì)的應用．【變式8-5】．（2023春?閔行區(qū)校級期中）數(shù)軸上點表示的數(shù)是，則點關于原點對稱的點表示的數(shù)是．【分析】根據(jù)關于原點對稱的兩點所表示的數(shù)互為相反數(shù)解答即可．【解答】解：數(shù)軸上點表示的數(shù)是，點關于原點對稱的點表示的數(shù)是．【點評】本題考查數(shù)軸上表示互為相反的兩個數(shù)的特征，解答時涉及相反數(shù)、去括號法則．【變式8-6】．（2023春?閔行區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上向左平移3個單位到達點，點表示的數(shù)為．（1）求的值．（2）化簡：．【分析】（1）將點向左平移3個單位就是用點表示的數(shù)減3，即求出點表示的數(shù)．（2）將代入算式化簡即可．【解答】解：（1）將點向左平移3個單位到達點，．點表示的數(shù)為．求的值是．（2）把代入得，原式．【點評】本題考查了點在數(shù)軸上的表示及絕對值的化簡的應用，分數(shù)指數(shù)是解題關鍵．【查考題型九】實數(shù)大小比較【例9】．（2023春?閔行區(qū)期末）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”【分析】求出，再根據(jù)實數(shù)的大小比較法則比較即可．【解答】解：，，故答案為：．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較法則的應用，注意：兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而?。咀兪?-1】．（2023春?普陀區(qū)期末）比較大?。海ㄌ睢啊?，“”或“”【分析】根據(jù)可知：，由被開方數(shù)越大，值越大可以判斷出兩個數(shù)的大小關系即可．【解答】解：，且，．故答案為：．【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：被開方數(shù)越大，值越大．【變式9-2】．（2023春?松江區(qū)期中）比較大?。海痉治觥坷闷椒椒ū容^大小，即可解答．【解答】解：，，，，故答案為：．【點評】本題考查了實數(shù)大小比較，算術平方根，熟練掌握平方法比較大小是解題的關鍵．【變式9-3】．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）比較大小：．（用符號“，，”填空）【分析】首先比較出每個數(shù)的平方的大小關系；然后根據(jù)實數(shù)大小比較的方法判斷即可．【解答】解：，，，．故答案為：．【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小．【考查題型十】估算無理數(shù)的大小【例10】．（2023春?嘉定區(qū)期末）在兩個連續(xù)整數(shù)和之間，那么．【分析】由于，那么，從而易求，，進而可求．【解答】解：，，，，．故答案是8．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題．【變式10-1】．（2023春?奉賢區(qū)校級期中）滿足的所有整數(shù)的和是．【分析】首先通過對，大小的估算，可得滿足的所有整數(shù)，進而對其求和可得答案．【解答】解：，，，又，，滿足的所有整數(shù)為而有整數(shù)，有，0，1，2；可得它們和為2．故答案為2．【點評】本題主要考查無理數(shù)大小的估算，要求學生根據(jù)二次根式的性質(zhì)，靈活使用夾逼法進行估算．【變式10-2】．（2023春?閔行區(qū)期中）如果，那么整數(shù)．【分析】根據(jù)，推出，推出，即可．【解答】解：，，，，，即，故答案為：4．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，關鍵是求出的范圍．【變式10-3】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）估算的值是在A．0和1之間 B．和0之間 C．和之間 D．和之間【分析】先估算出的值，再求解、辨別．【解答】解：，，故選：．【點評】此題考查了無理數(shù)的估算能力，關鍵是能準確理解并運用算術平方根的知識進行估算、求解．【考查題型十一】實數(shù)的運算【例11】．（2023春?嘉定區(qū)期末）下列運算一定正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義判斷即可．【解答】解：．，此選項錯誤，不符合題意；．，此選項正確，符合題意；．，此選項錯誤，不符合題意；．，此選項錯誤，不符合題意；故選：．【點評】本題考查算術平方根、立方根的定義，解題的關鍵是熟練掌握基本概念，屬于中考基礎題．【變式11-1】（2023春?嘉定區(qū)期末）計算：．【分析】先計算立方根、分數(shù)指數(shù)冪、零次冪和二次根式，再計算加減．【解答】解：．【點評】此題考查了實數(shù)混合運算的能力，關鍵是能確定準確的運算順序，并能進行正確的計算．【變式11-2】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）計算：．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【解答】解：．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式11-3】．（2023春?寶山區(qū)期末）計算：．【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負指數(shù)冪、絕對值、算術平方根4個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．【解答】解：．【點評】本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、算術平方根、絕對值等考點的運算．【變式11-4】．（2023春?普陀區(qū)期中）計算：．【分析】利用實數(shù)計算的法則計算即可．【解答】解：．【點評】本題考查了實數(shù)的綜合計算，二次根式化簡、零次方、負次方是解題的關鍵．【變式11-5】．（2023春?松江區(qū)期末）計算：．【分析】將轉化成，根據(jù)冪的乘方進行計算，，，代入計算即可．【解答】解：原式．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)冪的乘方破解分數(shù)指數(shù)冪計算．【變式11-6】．（2023春?楊浦區(qū)期末）利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進行計算：．（結果用含冪的形式表示）【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算即可．【解答】解：．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，分數(shù)指數(shù)冪，解決本題的關鍵是掌握分數(shù)指數(shù)冪運算法則．【考查題型十二】分數(shù)指數(shù)冪【例12】．（2023春?長寧區(qū)期末）計算：．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進行計算即可得解【解答】解：原式．故答案為：6．【點評】本題主要考查了分數(shù)指數(shù)冪，解題時需要熟練掌握并理解．【變式12-1】．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）把寫成底數(shù)是整數(shù)的冪的形式是．【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪的法則，進行計算即可解答．【解答】解：，把寫成底數(shù)是整數(shù)的冪的形式是，故答案為：．【點評】本題考查了分數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握分數(shù)指數(shù)冪的法則是解題的關鍵．【變式12-2】．（2023春?長寧區(qū)期末）把表示成冪的形式是．【分析】表示為被開方數(shù)的指數(shù)除以根指數(shù)的形式即可．【解答】解：把表示成冪的形式是．故答案為．【點評】考查分數(shù)指數(shù)冪的相關知識；掌握轉化方式是解決本題的關鍵．【變式12-3】．（2023春?閔行區(qū)期末）計算：．【分析】先計算同底數(shù)冪的除法，再計算冪的乘方即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】本題考查了分數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是關鍵．【變式12-4】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）把方根寫成冪的形式：．【分析】先把分母寫成分數(shù)冪的形式，再利用負整數(shù)指數(shù)冪的意義得結論．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查了分數(shù)指數(shù)冪，掌握分數(shù)指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的意義是解決本題的關鍵．【變式12-5】．（202