人教版八年級下冊數(shù)學(xué)17.2（第2課時(shí)）勾股定理的逆定理的應(yīng)用（同步課件）

17.2(第2課時(shí))勾股定理的逆定理的應(yīng)用第17章

勾股定理?xiàng)l件結(jié)論前面的學(xué)習(xí)讓我們對勾股定理及其逆定理的知識有了一定的認(rèn)識，你能說出它們的內(nèi)容嗎?a2+b2=c2(a,b為直角邊，c為斜邊)Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b為較短邊，c為最長邊）Rt△ABC，且∠C是直角.前面我們已經(jīng)學(xué)會了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理能解決哪些實(shí)際問題呢？你能舉舉例嗎？例1如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四邊形

ABCD的面積．ABC∴

．∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝

＝200，∴CD2＋AC2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，∵CD＝10，AD＝10，解：連接

AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴四邊形ABCD的面積是

＝74，例1（2）求對角線BD的長．解：作

DE⊥BC交

BC的延長線于點(diǎn)

E，則∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE＋∠ACB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＋∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB．ABCDE如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．例1（2）求對角線BD的長．ABCDE如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．∴AB＝CE，BC＝ED．∴

．

在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED（AAS）．∵AB＝6，BC＝8，∴CE＝6，ED＝8，∴BE＝BC＋CE＝8＋6＝14，實(shí)際問題抽象數(shù)學(xué)模型勾股定理及其逆定理解答實(shí)際意義例2教育部大力倡導(dǎo)新時(shí)代中小學(xué)生勞動教育，旨在塑造學(xué)生正確勞動價(jià)值觀與優(yōu)秀勞動品質(zhì)、某學(xué)校積極貫徹落實(shí)，把校內(nèi)如圖所示的四邊形ABCD空地改造為“勞動樂園”．經(jīng)測量，AB=6m,BC=8m,CD=24m,AD=26m,∠B=90°．該“勞動樂園”即將迎來盛大的勞動成果展示活動．(1)為增添活動氛圍，學(xué)校打算用一條裝飾彩帶將“勞動樂園”內(nèi)的A、C兩點(diǎn)連接起來，求至少需要多少米裝飾彩帶？例2(2)學(xué)校計(jì)劃在“勞動樂園”內(nèi)播撒繽紛色彩，在三角形ABC區(qū)域種植玫瑰，每平方米種植5株，在三角形ABC區(qū)域種植郁金香，每平方米種植3株．求總共需要種植多少株花卉．例3YC市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間積極開展生態(tài)環(huán)境整治．志愿者在某小區(qū)臨街的拐角處清理出一塊四邊形空地ABCD（如圖）進(jìn)行綠化．經(jīng)測量∠ABC=90°，AB=7m,BC=24m,CD=20m,AD=15m，求空地的面積．例3YC市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間積極開展生態(tài)環(huán)境整治．志愿者在某小區(qū)臨街的拐角處清理出一塊四邊形空地ABCD（如圖）進(jìn)行綠化．經(jīng)測量∠ABC=90°，AB=7m,BC=24m,CD=20m,AD=15m，求空地的面積．例4

例4

例5如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16海里,“海天”號每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？12NEP

QR思考1：認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？思考2：由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長，

要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理例5解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

NEP

QR12例6大型工程車行駛過程中會對周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺大型工程車沿公路

AB由點(diǎn)

A向點(diǎn)

B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)

C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，AB＝250m，大型工程車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校會受到大型工程車的影響嗎？BAC（2）若大型工程車的行駛速度為50m/min，

大型工程車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間

有多少分鐘？

解：學(xué)校

C會受噪聲影響．

理由：如圖，過點(diǎn)C作

CD⊥AB于

D，

∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形．

∴S△ABC＝

AC·BC＝

CD·AB，

∴150×200＝250CD，

∴CD＝

＝120（m），

∵大型工程車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，

∴學(xué)校

C會受噪聲影響．ABCD例6例6

∴EF＝100（m）．（2）如圖，取

EC＝130m，F(xiàn)C＝130m，當(dāng)大型工程車在

EF上時(shí)學(xué)校會受噪聲影響．

∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，

∴ED＝50（m），

∵大型工程車的行駛速度為50m/min，

∴100÷50＝2（min），

即大型工程車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2min．EFABCD例7銳角鈍角＞＜例7應(yīng)用方法面積問題航海問題不規(guī)則圖形面積認(rèn)真審題,畫出符合題意的圖形,熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理來解決問題勾股定理的逆定理的應(yīng)用A2.據(jù)說古埃及人曾用下面的方法得到直角：如圖所示，他們用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)．兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會得到一個(gè)直角三角形．但由于粗心大意將原本的等長12段分成了等長13段（共14個(gè)結(jié)），工匠依然握住第1個(gè)和最后一個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，此時(shí)形成的三角形是（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形B1.如圖，一架25m的云梯AB斜靠在豎直的墻AO上，這時(shí)AO為24m.如果梯子AB的低端向墻一側(cè)移動了2m,那么梯子的頂端向上滑動的距離是（

）

3.如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為（）D

4.如圖，某中學(xué)為迎接校慶50周年，擬對學(xué)校校園中的一塊空地進(jìn)行美化施工，已知AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°，AD＝12m，CD＝13m，學(xué)校欲在此空地上鋪草坪，已知每平方米草坪80元，試問用草坪鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元．解：如圖，連接AC，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5m．∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169，∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°，該區(qū)域面積＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2），鋪滿這塊空地共需花費(fèi)24×80＝1920（元）．答：用草坪鋪滿這塊空地共需花費(fèi)1920元．ABCDMN北東5.一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達(dá)B島，再從B島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km．（1）若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA方向返回A港所需的時(shí)間；

∴

（km）．解：（1）由題意

AD＝60km，

在Rt△ABD中，由

AD2＋BD2＝AB2得602＋BD2＝1002．

∴BD＝80（km）．

∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．

75÷25＝3（h）．

答：從

C島沿

CA方向返回A港所需的時(shí)間為3h．（2）C島在A港的什么方向？解：（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15625，BC2＝1252＝15625，

∴AB2＋AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°．

∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．

∴C島在

A港的北偏西42°方向上．

ABCDMN北東6.為提升社區(qū)居民的幸福感，某小區(qū)準(zhǔn)備將轄區(qū)內(nèi)的一塊平地，如圖所示的四邊形ABCD進(jìn)行改建，將四邊形ABCD全部鋪設(shè)具有耐磨性和防滑性的運(yùn)動型塑膠地板，已知運(yùn)動型塑膠地板每平方米200元．經(jīng)測量∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m