2020年高中數(shù)學(xué)課時跟蹤檢測含解析(全一冊)新人教A版

新人教A版課時跟蹤檢測一一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一函數(shù)的平均變化率1．如果函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間[1,2解析：選C根據(jù)平均變化率的定義,可知＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(3),2)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(31),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(Δ),Δ)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(y),x)=()C3－(Δx)2D．-Δx－3解析：選 3．求函數(shù)y＝f(x)＝在區(qū)間[1,1+Δx]內(nèi)的平均變化率x解：∵Δy＝f(1+Δx)－f(1)11+Δx1－1+Δx1－(1+Δx)1+Δx(1＋1+Δx)1+Δx-Δx(1＋1+Δx)1+Δx,∴Δx＝－(1＋1+Δx)1+Δx.對點(diǎn)練二求瞬時速度則此物體在t＝1s時的瞬時速度(單位：m/s)為()答案：B5．求第4題中的物體在t0時的瞬時速度．解：物體在t0時的平均速度為=3tEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＋3t0Δt＋(Δt)2.EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)所以物體在3s時的瞬時速度為27m/s.對點(diǎn)練三利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)7．設(shè)函數(shù)可導(dǎo),則等于()A．f′(1)B．3f′(1)C．3f′(1)D．f′(3)解析：選8．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋3,若f′(1)＝3,則a等于()解析：選9．求函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)．又所以二、綜合過關(guān)訓(xùn)練A．與x0,h都有關(guān)B．僅與x0有關(guān),而與h無關(guān)C．僅與h有關(guān),而與x0無關(guān)D．以上答案都不對解析：選B由導(dǎo)數(shù)的定義知,函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)．2．函數(shù)y＝x2在x0到x0+Δx之間的平均變化率為k1,在x0-Δx到x0之間的平均變化A．k1>k2解析：選DB．k2<k2D．不確定3．A,B兩機(jī)關(guān)開展節(jié)能活動,活動開始后兩機(jī)關(guān)的用電量(t)與時間t(天)的關(guān)系如圖所示,則一定有()A．兩機(jī)關(guān)節(jié)能效果一樣好B．A機(jī)關(guān)比B機(jī)關(guān)節(jié)能效果好C．A機(jī)關(guān)的用電量在[0,t0]上的平均變化率比B機(jī)關(guān)的用電量在[0,t0]上的平均變化率大D．A機(jī)關(guān)與B機(jī)關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大解析：選B由題圖可知,A機(jī)關(guān)所對應(yīng)的圖象比較陡峭,B機(jī)關(guān)所對應(yīng)的圖象比較平緩,且用電量在[0,t0]上的平均變化率都小于0,故一定有A機(jī)關(guān)比B機(jī)關(guān)節(jié)能效果好．4．一個物體的運(yùn)動方程為s＝1－t＋t2,其中s的單位是：m,t的單位是：s,那么物體在3s末的瞬時速度是()A．7m/sB．6m/sC．5m/sD．8m/s解析：選5．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象,則(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________．解析：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為22446．函數(shù)y在點(diǎn)x＝4處的導(dǎo)數(shù)是________x解析：∵Δ解析：∵Δy=-4+Δx4114+Δx－2=2－4+Δx＝24+ΔxΔx24+Δx(4+Δx＋2).ΔyΔx∴Δx24+Δx(4+Δx＋2).∴Δx＝24+Δx(4+Δx＋2)=2×4×(4＋2)＝16.1答案：(2)求此物體在t＝2時的瞬時速度；解：(1)初速度v0=Δt=即此物體在t＝2時的瞬時速度為1m/s,方向與初速度相反．8．若函數(shù)f(x)＝－x2＋x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均變化率不大于－1,求Δx的范解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[2,2+Δx]上的平均變化率為：所以由－3-Δx≤-1,得Δx≥-2.即Δx的取值范圍是(0,+∞)．一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一求曲線的切線方程1．曲線y＝x3＋11在點(diǎn)(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A9B3C．9D．15=lim[3＋3(Δx)＋(Δx)2]＝3,Δx→0EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),2)解：因?yàn)樗郧€在點(diǎn)的切線斜率為故所求切線方程為即4x＋y－4＝0.對點(diǎn)練二求切點(diǎn)坐標(biāo)3．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x－y＋1＝0,則()A．a(chǎn)＝1,b＝1B．a(chǎn)1,b＝1解析：選A∵點(diǎn)(0,b)在直線x－y＋1＝0上,∴b＝1.x＝0x＝04．已知曲線y＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16,則點(diǎn)P坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P(x0,2xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(2),0)＋4x0),5．曲線y＝f(x)＝x2的切線分別滿足下列條件,求出切點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)P(x0,y0)是滿足條件的點(diǎn)．對點(diǎn)練三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用6．下面說法正確的是()A．若f′(x0)不存在,則曲線y＝f(x)點(diǎn)(x0,f(x0))處沒有切線B．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處有切線,則f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在,則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率不存在D．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處沒有切線,則f′(x0)有可能存在解析：選C根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0,y0)處有導(dǎo)數(shù),則切線一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D錯誤．7．設(shè)曲線y＝f(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,則過曲線上該點(diǎn)的切線()A．垂直于x軸B．垂直于y軸C．既不垂直于x軸也不垂直于y軸D．方向不能確定解析：選B由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線f(x)在此點(diǎn)處的切線的斜率為0,故切線與y軸8．如圖所示,單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍,則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()解析：選D不妨設(shè)A固定,B從A點(diǎn)出發(fā)繞圓周旋轉(zhuǎn)一周,剛開始時x很小,即弧AB長度很小,這時給x一個改變量Δx,那么弦AB與弧AB所圍成的弓形面積的改變量非常小,即弓形面積的變化較慢；當(dāng)弦AB接近于圓的直徑時,同樣給x一個改變量Δx,那么弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的改變量將較大,即弓形面積的變化較快；從直徑的位置開始,隨著B點(diǎn)的繼續(xù)旋轉(zhuǎn),弓形面積的變化又由變化較快變?yōu)樵絹碓铰缮峡芍瘮?shù)y＝f(x)圖象的上升趨勢應(yīng)該是首先比較平緩,然后變得比較陡峭,最后又變得比較平緩,對比各選項(xiàng)知D正確．9．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是________(填序=0,當(dāng)x>0時,f′(x)<0,故②符合．答案：②二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A．0<f′(a)<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)B．0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)C．0<f′(a＋1)<f′(a)<f(a＋1)－f(a)D．0<f(a＋1)－f(a)<f′(a)<f′(a＋1)圖可知>0,而表示(a,f)與(a＋1,f(a+1))兩點(diǎn)連線的斜率,且在f′(a)與f′(a＋1)之間．∴0<f′(a＋1)<f(a＋1)-2．曲線在點(diǎn)P(2,1)處的切線的傾斜角為()解析：選1,斜率為－1,傾斜角為41,斜率為－1,傾斜角為4.3．曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()A．y＝x－1B．y＝－x＋1＝－解析：選A由Δy＝(1+Δx)3－2(1+Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2+ΔxΔΔy2＋3Δx＋1＝1,所以在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率k＝1,切線過點(diǎn)(1,0),根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得切線方程為y＝x－1.4．設(shè)P0為曲線f(x)＝x3＋x－2上的點(diǎn),且曲線在P0處的切線平行于直線y＝4x－1,則解析：選由于曲線f(x)＝x3＋x－2在P0處的切線平行EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)解得x0=±1,P0的坐標(biāo)為(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示,則y＝f(x)在A、Bf′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．解析：f′(a)與f′(b)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)A、B處的切線答案：>6．過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程為.____________Δx→0Δx→03(1+Δx)2－4(1+Δx)＋2－3＋4－2 Δx3(1+Δx)2－4(1+Δx)＋2－3＋4－2率為2.由點(diǎn)斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直線方程為2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝0解：(1)圖①中乙的切線斜率比甲的切線斜率大,故乙(2)圖②中在快到終點(diǎn)時乙的瞬時速度大,故快到終點(diǎn)時,乙跑得快．8．“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一,制造時通常期望它在達(dá)到最高時爆裂．如果煙花距地面的高度h(m)與時間t(s)之間的關(guān)系式為h(t)=-4.9t2＋14.7t.其示意圖如圖所示．根據(jù)圖象,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋煙花升空后的運(yùn)動狀況．曲線比較平坦,也就是說此時煙花的瞬時速度幾乎為0,達(dá)到最高點(diǎn)并爆裂；在0～1.5s之間,曲線在任何點(diǎn)的切線斜率大于0且切線的傾斜程度越來越小,也就是說煙花在達(dá)到最高點(diǎn)前,以越來越小的速度升空；在1.5s后,曲線在任何點(diǎn)的切線斜率小于0且切線的傾斜程度越來越大,即煙花達(dá)到最高點(diǎn)后,以越來越大的速度下降,直到落地．一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(1),x)1其中正確的個數(shù)是()解析：選B因?yàn)椤鋝inx,所以①錯誤而所以②錯誤所以③錯誤2＝2xx,所以④正確．解析：選D∵f(x)＝xα,∴f′(x)=αxα-1.4∴f′(1)=α=.4對點(diǎn)練二利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2x2x－sin2x.4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為________．答案：5．已知函數(shù)f(x)＝axlnx,x∈(0,+∞),其中a為實(shí)數(shù),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若f′(1)＝3,則a的值為_______=3,所以a＝3.答案：36．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．對點(diǎn)練三利用導(dǎo)數(shù)公式研究曲線的切線問題答案：y＝3xπ數(shù)a＝________.+2y＋1＝0的斜率為－所以根據(jù)題意得解得a＝2.答案：2的截距為________．xx=(a－1)(x－1),令x＝0,得y＝1.答案：110．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P在曲線C：y＝x3－10x＋13上,且在第一象限內(nèi),已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),因?yàn)閥′＝3x2－10,所以3xEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)－10＝2,解得x0=±2.又點(diǎn)P在第一象限內(nèi),所以x0＝2,又點(diǎn)P在曲線C上,所以y0＝2為(2,1)．二、綜合過關(guān)訓(xùn)練0n=()A．sinxBsinxC．cosxDcosx＝－2．已知曲線y＝4－3lnx1解析：選A因?yàn)閥′＝2－x,所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,2－x＝2,解得x＝3(x=-2不合題意,舍去)．3．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為()AB．解析：選把1代入得導(dǎo)數(shù)值為2,即為所求切線的斜率．4．已知直線y＝3x＋1與曲線y＝ax3＋3相切,則a的值C1D2解析：選A設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則yEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(3),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(3),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為____________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3,∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y－2＝9(x－2),答案：9x－y－16＝06．設(shè)f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n),則f′(0)＝________.7．已知曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切,則a=.解析：法一：∵y＝x＋lnx,∴曲線y＝x＋lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1),即y＝2x－1.∴a≠0(當(dāng)a＝0時曲線變?yōu)閥＝2x＋1與已知直線平行)．＋ax＋2＝0.由Δ=a2－8a＝0,解得a＝8.法二：同法一得切線方程為y＝2x－1.設(shè)y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于點(diǎn)(x0,axEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(2),0)＋答案：8＝－∈R.求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程．＝－又f′(2)b,＝－3＝－3＝－所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為9．已知兩條直線y＝sinx,y＝cosx,是否存在這兩條曲線的一個公共點(diǎn),使在這一點(diǎn)處,兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．解：不存在．由于y＝sinx,y＝cosx,設(shè)兩條曲線的一個公共點(diǎn)為P(x0,y0),0＝1,也就是sin2x0＝2,這是不可能的,所以兩條曲線不存在公共點(diǎn),使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直．一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題A．y′3cos2xsinxB．y′3cos2xC．y′3sin2xD．y′3cosxsin2x＝－2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．xuxEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(1),u)u2x＋3ln所以對點(diǎn)練二復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x4．函數(shù)y＝xln(2x＋5)的導(dǎo)數(shù)為()C．2xln(2x＋5)D．解析：選By′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)+5．函數(shù)y＝sin2xcos3x的導(dǎo)數(shù)是________．解析：∵y＝sin2xcos3x,答案：2cos2xcos3x－3sin2xsin3x(1)(1)∴f′(x)=πeπxsinπx+πeπxcosπx=πeπx(sinπx＋cosπx)．對點(diǎn)練三復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合問題7．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y＝2x,則a＝立解得a＝3.8．曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是()A.5D．0解析：選A設(shè)曲線y＝ln(2x－1)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．即曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是5.9．放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)t137含量的變化率是－10ln2(太貝克/年),則M(60)＝()A．5太貝克B．75ln2太貝克C．150ln2太貝克D．150太貝克1-t＝－1-t1-30t所以M(t)＝600×2-30,二、綜合過關(guān)訓(xùn)練-60130＝600×=A．3(2019－8x)2B24xC24(2019－8x)2D．24(2019－8x2)＝－-8x)2.1C．ex－e－xD．ex＋e－x3．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切,則a的值為(C1D2解析：選B設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是(x0,x0＋1),依題意有=0,x01,a＝2.4．函數(shù)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)為________．解析1答案：25．設(shè)曲線y＝eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直,則a＝ .解析：令y＝f(x),則曲線y＝eax在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為f′(0),又切線與直線x答案：2答案：2 =2,=2,∴=2,∴a＝2.答案：2x7．求函數(shù)y＝asin3＋bcos22x(a,b是實(shí)常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．x=2(－sin4x)×42sin4x,xx=2e2xcos3x－3e2xsin3x,x＝0x＝0所以該切線方程為y－1＝2x,即y＝2x＋1.解得m＝－4或m＝6.＝－一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系的圖象最有可能是下列選項(xiàng)中的()解析：選C題目所給出的是導(dǎo)函數(shù)的圖象,導(dǎo)函數(shù)的圖象在x軸的上方,表示導(dǎo)函數(shù)大于零,原函數(shù)的圖象呈上升趨勢；導(dǎo)函數(shù)的圖象在x軸的下方,表示導(dǎo)函數(shù)小于零,原函數(shù)的圖象呈下降趨勢．由x∈(-∞,0)時導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸的上方,表示在此區(qū)間上,原函數(shù)的圖象呈上升趨勢,可排除B、D兩選項(xiàng)．由x∈(0,2)時導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸的下方,表示在此區(qū)間上,原函數(shù)的圖象呈下降趨勢,可排除A選項(xiàng)．故選C.2．若函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù),則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的圖象可以是()內(nèi)單調(diào)遞增；選項(xiàng)D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)內(nèi)先增后減．故選B.上函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為________．解析：因?yàn)樵?－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,2)和(4,5]．對點(diǎn)練二判斷(證明)函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間A．(-∞,2)B．(0,3)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+∞)．5．函數(shù)f(x)＝2x2－lnx的遞增區(qū)間是()解析：選C由題意得,函數(shù)的定義域?yàn)榱罱獾霉屎瘮?shù)f(x)＝2x2－lnx的遞增區(qū)間6．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且在x＝1處的切線方程=3a＋2b＝1,切點(diǎn)為(1,1),則f(x)＝ax3＋bx2＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),得a＋b＋c＝1,解得a=1,b1,即f(x)＝x3－x2＋1.(2)由f′(x)＝3x2－2x>0得x<0或,所以單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和對點(diǎn)練三與參數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性問題7．若函數(shù)f(x)＝x－ax在[1,4]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的最小值為()解析：選C函數(shù)f(x)＝x－ax在[1,4]上單調(diào)遞減,只需f8．若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,2),則b＝________,c=解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c,由題意知－1<x<2是不等式f′(x)<0的解,即－3程3x2＋2bx＋c＝0的兩個根,把－1,2分別代入＝－＝－332答案62(1)設(shè)a≥0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時,f′(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增．ee①若a＝－2,則f′(x)＝(x－1)(ex－e),所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；e②若－2<a<0,則ln(－2a)<1,故當(dāng)x∈(-∞,ln(－2a))∪(1,+∞)時,f′(x)>0；當(dāng)x∈(ln(－2a),1)時,f′(x)<0.所以f(x①若a＝－2,則f′(x)＝(x－1)(ex－e),所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；ee③若a<－2,則ln(－2a)>1,故當(dāng)x∈(-∞,1)∪(ln(－2a),+∞)時,f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,ln(－2a))時,f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,1)∪(ln(－2a),+∞)上單調(diào)遞增,在e二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．若函數(shù)exf(x)(e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是()A．f(x)＝2－xB．f(x)＝x2C．f(x)＝3－xD．f(x)＝cosx解析：選A對于選項(xiàng)xf(x)在R上單調(diào)遞增,∴f(x)＝2－x具有M性質(zhì)．對于選項(xiàng)B,f(x)＝x2,exf(x)=2＋2x)＜0,得－2＜x＜0,∴函數(shù)exf(x)在(-∞,－2)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在對于選項(xiàng)e在R上單調(diào)遞減,對于選項(xiàng)D,f(x)＝cosx,exf(x)＝excosx,單調(diào)遞增的,2．若函數(shù)f(x)＝x－elnx,0<a<e<b,則下列說法一定正確的是()C．f(a)>f(e)D．f(e)>f(在(e,+∞)上為增函數(shù),所以f(a)>f(e),f(b)>f(e),f(a)與f(b)的大小不確定．中,不可能正確的是()解析：選D對于選項(xiàng)A,若曲線C1為y＝f(x)的圖象,曲線C2為y＝f′(x)的圖象,則函數(shù)y＝f(x)在(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù),從而在(-∞,0)內(nèi)有f′(x)<0；y＝f(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),從而在(0,+∞)內(nèi)有f′(x)>0.因此,選項(xiàng)A可能正確．同理,選項(xiàng)B、C也可能正確．對于選項(xiàng)D,若曲線C1為y＝f′(x)的圖象,則y＝f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)應(yīng)為增函數(shù),與C2不相符；若曲線C2為y＝f′(x)的圖象,則y＝f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)應(yīng)為減函數(shù),與C1不相符．因此,選項(xiàng)D不可能正確．5．(2019·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù),則a=ax.∵f(x)＝ex＋ae－x,∴f′(xx.axxx又e2x>0,∴a≤0,即a的取值范圍是(-∞,0]．答案1(-∞,0]6．如果函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1,k＋1)上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)檎{(diào)遞減區(qū)間為EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up19(1),2)答案：(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,t](t解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)＝lnx＋1.處的切線方程為y＝x－1.①當(dāng)0<t<e時,在區(qū)間(0,t]上,f′(x)<0,函數(shù)f(x)為減函數(shù)．為增函數(shù)．8．已知函數(shù)f(x)＝lnx,g(x)＝2ax2＋2x,a≠0.若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單解：h(x)＝lnx－2ax2－2x,x∈(0,+∞),所以h′(x)＝x－ax－2.因?yàn)閔所以x∈[1,4]時,h′(x)＝x－ax－2≤0恒成立,max所以7所以a≥-16.7即h(x)在[1,4]上為減函數(shù)．一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一求函數(shù)的極值1．函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．極大值5,極小值－27B．極大值5,極小值－11C．極大值5,無極小值D．極小值－27,無極大值2．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn),則f(x)的極大值、極小值分別為()A．27,0B．0,27C27,0D．0,－27解析：選Af′(x)＝3x2－2px－q,得{解得{∴f(x3．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx,其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示,則下列說法中不正確的序號是________．33④當(dāng)x＝1時,函數(shù)取得極大值．解析：由題圖知,當(dāng)x∈(-∞,1)時,f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,2)時,f′(x)<0；當(dāng)x∈(2,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)有兩個極值點(diǎn),分=1時函數(shù)取得極大值．只有①不正確．答案：①對點(diǎn)練二已知函數(shù)的極值求參數(shù)4．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2,則A．1,－3B．1,3C1,3D1,－3解析：選Af′(x)＝3ax2＋b,＝－＝－5．若函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．b<1B．b>1C．0<b<1D．b<2(0,1)內(nèi)有極小值,則有0<b<1.當(dāng)0<x<b時,f′(x)<0；當(dāng)b<x<1時,f′(x)>0,符合題意．所6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范=0有兩個不相等的實(shí)根,∴Δ=36a2－36(a＋2)>0.即a2－a－2>0,解之得a>2或a<－1.答案：(-∞,－1)∪(2,+∞)對點(diǎn)練三函數(shù)極值的綜合問題(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．可得g(x)＝lnx－2ax＋2a,x∈(0,+∞)．當(dāng)a≤0時,x∈(0,+∞)時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；調(diào)遞減．所以當(dāng)a≤0時,g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)；單調(diào)減區(qū)間為所以當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減．當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)在x＝1處取得極小值,不合題意．所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在x＝1處取得極小值,不合題意．③當(dāng)a＝2時,2a＝1,f′(所以當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意．④當(dāng)a>2時,0<2當(dāng)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)在x＝1處取極大值,符合題意．綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為8．已知函數(shù)y＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2處有極值,且其圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行．(2)求函數(shù)的極大值與極小值的差．解：y′＝3x2＋6ax＋3b.又圖象在x＝1處的切線與直線6x＋2y＋5＝0平行,＝－∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞)．極大值極小值二、綜合過關(guān)訓(xùn)練＝－A1B2e－3C．5e－3D．1＝－令f′(x)>0,解得x<－2或x>1,令f′(x)<0,解得－2<x<1,所以f(x)在(-∞,－2)上單調(diào)遞增,在(－2,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝1時,f(x)取得極小值,且f(x)=f(1)1.極小值ab2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1處取b2A3B2C2或－D．2或-＝－＝－＝－＝－l1＋a＋b－a2－7a＝10，lb＝1lb＝9，lb＝9＝－3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有極小值沒有極大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,3)B．(-∞,3)C．(0,+∞)D．解析：選Df′(x)＝3x2－2a,∵f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值沒有極大值,4．已知可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線為l=g(x)(如圖),設(shè)F(x)＝f(x)－g(x),則()A．F′(x0)＝0,x＝x0是F(x)的極大值點(diǎn)B．F′(x0)＝0,x＝x0是F(x)的極小值點(diǎn)C．F′(x0)≠0,x＝x0不是F(x)的極值點(diǎn)D．F′(x0)≠0,x＝x0是F(x)的極值點(diǎn)=f(x)－g(x)在x0處先減后增,∴F′(x0)＝0,x＝x0是F(x)的極小值點(diǎn)．故選B.5．已知函數(shù)y＝x3－3x＋c的圖象與x軸恰有兩個公共點(diǎn),則c＝________.解析：設(shè)f(x)＝x3－3x＋c,對f(x)求導(dǎo)可得,f′(x)＝3x2－3,令f′(x)＝0,可得x=±1,易知f(x)在(-∞,－1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(－1,1)上單調(diào)遞減．若f(1)＝1－3＋c=答案2或26．若函數(shù)f(x)＝x2－2lnx＋1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(a－1,a＋1)內(nèi)存在極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．∵函數(shù)f(x)＝x2－2lnx＋1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(a－1,a＋1)內(nèi)存在極值,在區(qū)間(a－1,a＋1)上有零點(diǎn),答案：7．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x,曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,f由已知得f(0)＝4,f′(0)＝4,故b＝4,a＋b＝8從而當(dāng)x∈(-∞,－2)∪(－ln2,+∞)時,f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2,－ln2)時,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,－2),(－ln2,+∞)上單調(diào)遞增,在(－2,－ln2)上單調(diào)遞減．當(dāng)x＝－2時,函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為8．求函數(shù)f(x)＝x3－3x2－a(a∈R)的極值,并討論a為何值時函數(shù)解：f′(x)＝3x2－6x,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,xx20-4－a(2,+∞)+(-∞,0)+00-a-＝－在x＝2處有極小值,極小值為f(2)＝－4－函數(shù)y＝f(x)恰有一個零點(diǎn)即y＝f(x)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)(如圖),l－4－a>0lf(2)<0，l－4－a<0，一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一求函數(shù)的最值21．函數(shù)f(x)＝x－1x在區(qū)間[0,+∞)上()2A．有最大值,無最小值C．無最大值,無最小值B．有最大值,有最小值D．無最大值,有最小值解析：選A由已知得f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞),f′(x令f′(x)>0,得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為+∞)．所以f(x)在區(qū)間[0,+∞)上有最大值,無最小值．xx2．函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2,4]上的最小值為()x22解析：選當(dāng)x∈[2,4]時,f′(x)<0,即函數(shù)f(x)在x∈[2,4]上是單調(diào)減函數(shù),故x＝4時,函數(shù)f(x)44有最小值.43．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M,m,則M－m=________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0,解得x=±2.計(jì)算得f(－3)＝17,f(－2)＝24,f(2)8,f(3)1,所以M＝24,m＝－8,所以M－m＝32.答案：324．已知函數(shù)解：f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),令解得x＝e.當(dāng)x∈(0,e)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在[e,t]上單調(diào)遞減,f(x)max＝f(e)對點(diǎn)練二由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3,那么此函數(shù)在[－2,2]上A37B29C5D．以上都不對解析：選A∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2),∴f(x)在(－2,0)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù),∴當(dāng)x＝0時,f(0)＝m最大,∴m＝3＝－＝－a解：由題意知a又x>0,a>0,令f′(x)＝0,得x對點(diǎn)練三與最值有關(guān)的恒成立問題A．(-∞,+∞)B．(－2,+∞)C．(0,+∞)D．(－1,+∞)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x)>f(0)＝0－11,∴a的取值范圍為(－1,+∞)．=a(3x－2)(x－2)．22當(dāng)a>0時,f在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．故f(x)的最大值為即a<27.所以0<a<27.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up11(2),3)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up9(7),」)＝－＝－所以－1<a<0.二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)＝3x3－2x2在區(qū)間[－1,5]上()A．有最大值0,無最小值B．有最大值0,最小值－3C．有最小值－3,無最大值D．既無最大值也無最小值解析：選Bf′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．1∴f(x)＝f(0)＝0,f(x12．函數(shù)f(x)＝3x3－x2＋a,函數(shù)g(x)＝x2－3x,它們的定義域均為[1,+∞),并且函數(shù)f(x)的圖象始終在函數(shù)g(x)圖象的上方,那么a的取值范圍是()A．(0,+∞)B．(-∞,0)3解析：選A設(shè)h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x,則h′(x)＝x2－4x＋3＝(x-33)(x－1),所以當(dāng)x∈(1,3)時,h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(3,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增．當(dāng)x＝3時,函數(shù)h(x)取得最小值．因?yàn)閒(x)的圖象始終在g(x)的圖象上方,則有h(x)min>0,即h(3)=a>0,所以a的取值范圍是(0,+∞)．3．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足x≠1時(x－1)·f′(xA．f(0)＋f(2)>2f(1)B．f(0)＋f(2)<2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)≤2f(1)解析：選A當(dāng)x>1時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)x<1f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)＋f(2)>2f5．已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn),則a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝ex－2.由f′(x)>0得ex－2>0,答案：(-∞,2ln2－2]a6．已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋x2(a>0)．若當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)≥2恒成立,則實(shí)數(shù)aa的取值范圍是________．解析：f(x)≥2,即a≥2x2－2x2ln答案：[e,+∞)7．已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝excosx－x,所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1,f′(0)＝0.又因?yàn)閒(0)＝1,所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y＝1.＝－所以h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以對任意有h所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減．因此f(x)在區(qū)間上的最大值為f(0)＝1,最小值為f′(x)－0+故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2,+∞),f(x)在x＝ln2處取得極小值,極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．-1時,g′(x)的最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對任意x∈R,都有g(shù)′(x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,于是當(dāng)a>ln2－1時,對任意x∈(0,+∞),都有g(shù)(x)>g(0),而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞),g(x)>0,即ex－x2＋2ax－1>0,故ex>x2－2ax＋1.一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一面積、體積的最值問題1．如果圓柱軸截面的周長l為定值,則體積的最大值為()EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(l),6)3πB．C．解析：選A設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為V,則4r＋2h＝l,ll2．請你設(shè)計(jì)一個包裝盒．如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．解：設(shè)包裝盒的高為h(cm),底面邊長為a(cm)．60－2x由已知得a＝2x,h2(30－x),0＜x＜30.2＝－所以當(dāng)x＝20時,V取得極大值,也是最大值．此時a＝2,即包裝盒的高與底面邊長的比值為2.對點(diǎn)練二成本最低(費(fèi)用最省)問題3．做一個容積為256m3的方底無蓋水箱,所用材料最省時,它的高為()A．6mB．8mC．4mD．2m解析：選C設(shè)底面邊長為xm,高為hm,則有x2h＝256,所以h＝x2.所用材料的面積=8,因此h4．某公司一年購買某種貨物2000噸,每次都購買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲費(fèi)為2x2萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小,則x＝________.解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物,則總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和f(x)=答案：205．某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長分別為x,y(單位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架圍成的總面積為8解：依題意有xy＋2xEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(8),x)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up11(x),4)框架用料總長度則L′(x)＝2＋2－x2.令L′(x)＝0,即2＋2－x2＝0,解得x1＝8－42,x2＝48(舍去)．對點(diǎn)練三利潤最大問題6．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-=-x3＋81x－234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()3A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件解析：選C因?yàn)閥′x2＋81,所以當(dāng)∈(9,+∞)時,y′<0；當(dāng)x∈(0,9)時,y′>0,所以函數(shù)y＝－3x3＋81x－234在(9,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,9)上單調(diào)遞增,所以x＝9時函數(shù)取最大值．7．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品,若該商品零售價定為p元,銷售量為Q件,則銷售量Q與零售價p有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入—進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：選D設(shè)毛利潤為L(p),由題意知=(8300－170p－p2)(p－20)=-p3－150p2＋11700p－166000,所以L′(p)＝－3p2－300p＋11此時,L(30)＝23000.所以L(30)是極大值,根據(jù)實(shí)際問題的意義知,L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元．8．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為0.048,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,0.048)),為使銀行獲得最大收益,則存款利率應(yīng)定為________．解析：存款利率為x,依題意：存款量是kx2,銀行應(yīng)支付的利息是kx3,貸款的收益是0.048kx2,x∈(0,0.048)．所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048),由于y′=0.096kx－3kx2,令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去),又當(dāng)0<x<0.032時,y′>0；當(dāng)0.032<x<0.048時,y′<0,所以當(dāng)x＝0.032時,y取得最大值．答案：0.0329．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交4元的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元(8≤x≤11)時,一年的銷售量為(12－x)2萬件．(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時,分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值．其中x∈[8,11]．=(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)故當(dāng)每件售價為3元時,公司一年的利潤L最大,最大利潤是27二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．將8分為兩個非負(fù)數(shù)之和,使兩個非負(fù)數(shù)的立方和最小,則應(yīng)分為()C．3和5D．以上都不對解析：選B設(shè)一個數(shù)為x,則另一個數(shù)為8－x,則其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x+24x2(0≤x≤8),y′＝48x－192.令y′＝0,即48x－192＝0,解得x＝4.當(dāng)0≤x<4時,y′<0；2．設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時,底面邊長為()解析：選C設(shè)底面邊長為x,高為h,34234表33333．某廠要圍建一個面積為512m2的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊要砌新墻,當(dāng)砌新墻所用的材料最省時,堆料場的長和寬分別為()A．32m,16mB．30m,15mC．40m,20mD．36m,18m解析：選A設(shè)建堆料場與原墻平行的一邊邊長為xm,其他兩邊邊長為ym,則xy＝512,堆料場的周長l＝x＋2y2y(y>0),令l′2＝0,解得y＝16(另一負(fù)根舍去),24．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)＝－900＋400x(0≤x≤390),則當(dāng)總利潤最大時,每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300解析：選D由題意可得總利潤P(x)＝－900＋300x－20000,0≤x≤390,由P′(x)==300時,P(x)最大．=3πh－3h時,V′>0,當(dāng)h>36．如圖,內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD,其中A,B在拋物線上運(yùn)動,C,運(yùn)動,則此矩形的面積的最大值是________．EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up12(x),2)(23)(23)97．某工廠共有10臺機(jī)器,生產(chǎn)一種儀器元件,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制,會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,每臺機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬件)與每臺機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬件合格的元(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤y(萬元)表示為x的函數(shù)；解：(1)由題意得,所獲得的利潤為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx-90(4≤x≤12)．當(dāng)4≤x<6時,y′＞0,函數(shù)在[4,6)上為增函數(shù)；當(dāng)6<x≤12時,y′＜0,函數(shù)在(6,12]上為減函數(shù),所以當(dāng)x＝6時,函數(shù)取得極大值,且為最大值,最大利潤為y＝20×6－3×62+96ln6－90＝96ln6－78(萬元)．故當(dāng)每臺機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬件時所獲得的利潤最大,最大利潤為(96ln6－78)萬元．8．某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為20千米和2.5千米,以l1,l2所在的直線分別為y,x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)②當(dāng)t為何值時,公路l的長度最短？求出最短長度．解：(1)由題意知,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,40),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(20,2.5),代入曲線C的方程y=a＋b,可得解得所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為33所以其中5≤t≤20.②由①知其中5≤t≤20.所以EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(9),2)－(EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(1),t)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(0),5)2)6.因?yàn)?≤t≤20,令g′(t)<0,得5≤t＜102；令g′(t)＝0,得t=所以g(t)在區(qū)間[5,102)單調(diào)遞減,在(102,20]單調(diào)遞增．所以g(102)＝675是g(t)的極小值,也是最小值．所以當(dāng)t＝102時,f(t)取得最小值,最小值為f(102)＝153.即最短長度為153.一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一求曲邊梯形的面積1．求由拋物線y＝2x2與直線x＝0,x＝t(t>0),y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時,將區(qū)間[0,t]等分成n個小區(qū)間,則第i－1個區(qū)間為()A．B．解析：選D在[0,t]上等間隔插入(n－1)個分點(diǎn),把區(qū)間[0,t]等分成n個小區(qū)間,每個小區(qū)間長度均為,故第i－1個區(qū)間為2．已知某物體運(yùn)動的速度為v＝t3,t∈[0,1],若把區(qū)間4等分,取每個小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高,則物體運(yùn)動的近似值為()解析：選D3．求由直線x＝1,x＝2,y＝0及曲線圍成的圖形的面積S.1,2…,n),其長度為每個小區(qū)間對應(yīng)的小曲邊梯形的面積記作ΔS1,ΔS2,…,ΔSn,則小曲邊梯形的和為S=ΣnΔSi.i＝1EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(－),n)近似代替函數(shù)在這個小區(qū)間上的函數(shù)值,則小曲邊梯形的面積ΔSiEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(－),n)1=221從而得到S的近似值S≈S1(4)取極限：當(dāng)n趨向于無窮大時,S越來越趨向于S,所以n=1,x=1,x＝2,y＝0及曲線y＝x2圍成的圖形的面積S為2.所以由直線x對點(diǎn)練二求變速直線運(yùn)動的路程4．一物體沿直線運(yùn)動,其速度v(t)＝t,這個物體在t＝0到t＝1這段時間內(nèi)所走的路程為() 解析：選B曲線v(t)＝t與直線t＝0,t＝1,橫軸圍成的三角形面積S＝2即為這段時間內(nèi)物體所走的路程．5．若做變速直線運(yùn)動的物體v(t)＝t2在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過的路程為9,求a的值．i＝1近似地等于速度曲線v(t)＝t2與直線t＝0,t＝a,t軸圍成的曲邊梯形的面積．依題意得解得a＝3.對點(diǎn)練三定積分的計(jì)算及性質(zhì)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(3),1)A6B．6EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(3),1)＝－EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up1(3),1)＝－7．下列各陰影部分的面積S不可以用S=∫EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up2(b),a)[f(x)－g(x)]dx求出的是()影部分的面積,必須注意f(x)的圖象要在g(x)的圖象上方．對照各選項(xiàng)可知,D項(xiàng)中f(x)的圖象不全在g(x)的圖上方．故選D.8．S1＝J1xdx與S2＝J1x2dx的大小關(guān)系是()EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(2),1)JJ解析：選C(1xdx表示由直線x＝0,x＝1,y＝x及x軸所圍成的圖形的面積,而(1x2JJ表示的是由曲線y＝x2與直線x＝0,x＝1及x軸所圍成的圖形的面積,因?yàn)樵趚∈[0,1]內(nèi)直0=3＋3＋2＝3.3答案：310．用定積分的幾何意義計(jì)算下列定積分：(32EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up11(2),-2)2＋2)dx.解：1)dx表示圖(1)中陰影部分的面積,而(3l25從而J1((2x－1)dx＝(3l252(2)令y＝4－x2＋2,則y＝4－x2＋2表示以(0,2)為圓心,2為半徑的圓的上半圓,2＋2)dx表示圖(2)中陰影部分的面積．-22＋2)dx＝8＋2π.-2二、綜合過關(guān)訓(xùn)練＝－JJaJJ=2(bf(x)dx＋(bg(x)dx＝2×1－3JJ梯形面積相等．3．若J(lEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(π),2)cosxdx＝1,則由x＝0,x=π,f(x)＝sinx及x軸圍成的圖形的面積為0._______解析：由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象,知f(x)＝sinx,x∈[0,π]的圖象與x軸圍成的圖形面積等于的圖象與x軸圍成的圖形的面積的2倍,所以S＝J(π0答案：2 .-2-2-2-2y＝2x都是奇函數(shù),故所求定積分為0.答案：0x2dx＝ .-1解析：由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0),其圖象J(14－x2dx等于圓心角為60°的弓形CD的面積與矩形ABCDJ-1矩形EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(π),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(π),3)解：由定積分的幾何意義知：-1sinxπxdx＝2(1+π)(π-1)＝2(π2-1-11π1=(π2-3解：如圖,由定積分的幾何意義,得由定積分的性質(zhì),得J(3－x3)dx-3-3-3=J(3=J(3-3-3一、題組對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)練一求簡單函數(shù)的定積分A1C．0解析：選J2.(1x＋2x)dx等于()J0A．1C．eB．1D．21=2×22－2＝0.B．e－1D．e＋1解析：選=(e1＋1)－e0＝e.-2A．πC．π-2B．2D．π+2EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(π),2)-2-1解析：23答案：3對點(diǎn)練二求分段函數(shù)的定積分0434B.A.B.5D．不存在5D．不存在5665=2EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up17(x2),co)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up16(x