2025年加拿大數(shù)學(xué)競賽（CMO）模擬試卷：組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階挑戰(zhàn)題集

2025年加拿大數(shù)學(xué)競賽（CMO）模擬試卷：組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階挑戰(zhàn)題集一、多項(xiàng)選擇題要求：從下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇一個(gè)或多個(gè)正確答案。1.設(shè)集合A={1，2，3，4，5}，集合B={2，4，6，8，10}，下列說法正確的是：A.A與B的交集為空集B.A與B的并集為{1，2，3，4，5，6，8，10}C.A與B的對稱差集為{1，3，5，6，8，10}D.A與B的補(bǔ)集分別為{6，8，10}和{1，3，5}2.下列數(shù)列中，等差數(shù)列的是：A.1，4，7，10，13B.2，5，8，11，14C.3，6，9，12，15D.4，7，10，13，163.下列關(guān)于排列組合的說法正確的是：A.從5個(gè)不同的球中取出2個(gè)，有10種不同的取法B.從5個(gè)不同的球中取出3個(gè)，有10種不同的取法C.從5個(gè)不同的球中取出4個(gè)，有5種不同的取法D.從5個(gè)不同的球中取出5個(gè)，有1種不同的取法4.下列關(guān)于二項(xiàng)式定理的說法正確的是：A.二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式為C(n，k)*a^(n-k)*b^kB.二項(xiàng)式定理的展開式共有n+1項(xiàng)C.二項(xiàng)式定理的展開式中，第k項(xiàng)系數(shù)為C(n，k)D.二項(xiàng)式定理的展開式中，第k項(xiàng)系數(shù)與第n-k項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)5.下列關(guān)于數(shù)論的說法正確的是：A.兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)為它們的乘積B.兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的最大公約數(shù)為1C.兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是它們的公因數(shù)中最大的一個(gè)D.兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的公倍數(shù)中最小的一個(gè)二、解答題要求：請將答案填寫在答題卡上。6.設(shè)集合A={1，2，3，4，5}，集合B={2，4，6，8，10}，求A與B的交集、并集、對稱差集。7.求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式：A.1，4，7，10，13B.2，5，8，11，14C.3，6，9，12，15D.4，7，10，13，168.設(shè)有5個(gè)不同的球，從中取出2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)，分別求出取法的種數(shù)。9.求下列二項(xiàng)式的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)：A.(a+b)^5B.(a-b)^5C.(a+b)^6D.(a-b)^610.求下列數(shù)對的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)：A.(12，18)B.(15，20)C.(21，28)D.(24，30)四、證明題要求：證明下列命題。11.證明：對于任意自然數(shù)n，如果n是4的倍數(shù)，那么n的平方也是4的倍數(shù)。五、計(jì)算題要求：計(jì)算下列表達(dá)式的值。12.計(jì)算下列組合數(shù)的值：A.C(7，3)B.C(5，2)C.C(6，4)D.C(8，0)六、應(yīng)用題要求：根據(jù)題目給出的條件，解決實(shí)際問題。13.有一個(gè)班級共有30名學(xué)生，其中有12名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，15名學(xué)生參加物理競賽，6名學(xué)生同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理競賽。求這個(gè)班級中至少有多少名學(xué)生沒有參加任何競賽。本次試卷答案如下：一、多項(xiàng)選擇題1.BCD解析：集合A與B的交集為{2，4}，并集為{1，2，3，4，5，6，8，10}，對稱差集為{1，3，5，6，8，10}，A與B的補(bǔ)集分別為{6，8，10}和{1，3，5}。2.A解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，其中a1為首項(xiàng)，d為公差。選項(xiàng)A中的數(shù)列公差為3，符合等差數(shù)列的定義。3.AD解析：排列組合中，從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的排列數(shù)為P(n，k)=n!/(n-k)!，組合數(shù)為C(n，k)=n!/[k!(n-k)!]。根據(jù)公式，選項(xiàng)A和D正確。4.ABC解析：二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式為C(n，k)*a^(n-k)*b^k，展開式共有n+1項(xiàng)，第k項(xiàng)系數(shù)為C(n，k)。5.AB解析：兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)為它們的乘積，最大公約數(shù)為1。選項(xiàng)A和B正確。二、解答題6.交集：{2，4}；并集：{1，2，3，4，5，6，8，10}；對稱差集：{1，3，5，6，8，10}。解析：集合A與B的交集為它們共有的元素，并集為它們所有的元素，對稱差集為它們各自獨(dú)有的元素。7.A.an=3n-2；B.an=3n-1；C.an=3n；D.an=3n+1。解析：根據(jù)等差數(shù)列的定義，計(jì)算公差d=a2-a1=3，代入通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，得到各數(shù)列的通項(xiàng)公式。8.取2個(gè)球：C(5，2)=10種；取3個(gè)球：C(5，3)=10種；取4個(gè)球：C(5，4)=5種；取5個(gè)球：C(5，5)=1種。解析：根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式C(n，k)=n!/[k!(n-k)!]，計(jì)算各取法種數(shù)。9.A.C(5，2)*a^3*b^2；B.C(5，2)*a^3*b^2；C.C(6，2)*a^4*b^2；D.C(6，2)*a^4*b^2。解析：根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，計(jì)算第3項(xiàng)的系數(shù)。10.A.最大公約數(shù)：6；最小公倍數(shù)：36；B.最大公約數(shù)：5；最小公倍數(shù)：20；C.最大公約數(shù)：7；最小公倍數(shù)：84；D.最大公約數(shù)：12；最小公倍數(shù)：60。解析：根據(jù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的定義，計(jì)算各數(shù)對的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。四、證明題11.證明：對于任意自然數(shù)n，如果n是4的倍數(shù)，那么n的平方也是4的倍數(shù)。解析：設(shè)n=4k，其中k為自然數(shù)。則n^2=(4k)^2=16k^2=4(4k^2)，即n^2是4的倍數(shù)。五、計(jì)算題12.A.C(7，3)=35；B.C(5，2)=10；C.C(6，4)=15；D.C(8，0)=1。解析：根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式C(n，k)=n!/[k!(n-k)!]，計(jì)算各組合數(shù)的值。六、應(yīng)用題13.解：設(shè)沒有參加任