北京市2025年考研數(shù)學(xué)（一）高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化訓(xùn)練卷：級數(shù)收斂性分析

北京市2025年考研數(shù)學(xué)（一）高等數(shù)學(xué)強(qiáng)化訓(xùn)練卷：級數(shù)收斂性分析一、選擇題要求：從每小題給出的四個選項(xiàng)中，選擇一個正確答案。1.設(shè)級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則以下結(jié)論正確的是（）A.若\(a_n>0\)，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)B.若\(\lim_{n\to\infty}a_n\neq0\)，則\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發(fā)散C.若\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)，則\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂D.\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n\)必定存在2.設(shè)\(a_n>0\)，則下列級數(shù)中，一定收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(n+1)}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{e^n}\)二、填空題要求：直接寫出答案。3.若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，且\(a_n\geq0\)，則級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2\)（）4.設(shè)\(b_n=\frac{1}{n^2}\)，則級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)的收斂半徑為（）三、計(jì)算題要求：列出解題步驟并計(jì)算結(jié)果。5.計(jì)算下列級數(shù)的和：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]6.判斷級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3+1}{n^4+1}\)的斂散性，并說明理由。四、證明題要求：證明下列級數(shù)的斂散性，并給出證明過程。7.證明級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\)的斂散性。五、綜合題要求：計(jì)算下列級數(shù)的和，并證明所得結(jié)果。8.計(jì)算下列級數(shù)的和，并證明所得結(jié)果：\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3(n+1)^3}\]六、應(yīng)用題要求：利用級數(shù)知識解決實(shí)際問題。9.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{x}{1-x}\)，求其在\(x=1\)處的泰勒級數(shù)展開式的前三項(xiàng)系數(shù)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：根據(jù)級數(shù)收斂的定義，若級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則其通項(xiàng)\(a_n\)的極限必須存在且為0。2.D解析：選項(xiàng)A是級數(shù)收斂的必要條件，但不是充分條件；選項(xiàng)B和C都是錯誤的，因?yàn)槭諗康募墧?shù)不一定滿足這兩個條件；選項(xiàng)D正確，因?yàn)閈(e^n\)的指數(shù)增長會導(dǎo)致級數(shù)發(fā)散。二、填空題3.收斂解析：由級數(shù)收斂的性質(zhì)可知，如果級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，且\(a_n\geq0\)，則其平方級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2\)也收斂。4.1解析：收斂半徑\(R\)的計(jì)算公式為\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\)。對于\(b_n=\frac{1}{n^2}\)，有\(zhòng)(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{(n+1)^2}\cdotn^2\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1\)。三、計(jì)算題5.\(\frac{1}{2}\)解析：利用部分分式分解，將\(\frac{1}{n(n+1)}\)寫為\(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，則級數(shù)求和時，大部分項(xiàng)會相互抵消，只剩下第一個和最后一個項(xiàng)，即\(\frac{1}{1}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=1-0=1\)。由于計(jì)算過程中有一個負(fù)號，所以最終結(jié)果為\(\frac{1}{2}\)。6.收斂解析：利用比較審斂法，因?yàn)閷τ谒衆(zhòng)(n\)，有\(zhòng)(\frac{n^3+1}{n^4+1}\leq\frac{n^3}{n^4}=\frac{1}{n}\)，而級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是發(fā)散的調(diào)和級數(shù)。由于\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3+1}{n^4+1}\)的每一項(xiàng)都不大于\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)的對應(yīng)項(xiàng)，且調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)收斂。四、證明題7.收斂解析：考慮級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}\)，可以將其分解為\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\)。這是一個望遠(yuǎn)鏡級數(shù)，其中大部分項(xiàng)會相互抵消，只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，即\(1-\frac{1}{\infty}=1\)。因此，級數(shù)收斂。五、綜合題8.\(\frac{1}{12}\)解析：利用部分分式分解，將\(\frac{1}{n^3(n+1)^3}\)寫為\(\frac{1}{8}\left(\frac{1}{n^3}-\frac{3}{n^2(n+1)}+\frac{3}{n(n+1)^2}-\frac{1}{(n+1)^3}\right)\)。然后分別計(jì)算每個部分的和，最后將它們相加得到\(\frac{1}{12}\)。六、應(yīng)用題9.系數(shù)分別為\(1,-1,1\)解析：泰勒級數(shù)展開式的前三項(xiàng)系數(shù)可以通過計(jì)算\(f(x)\)及其導(dǎo)數(shù)在\(x=1\)處的值來得到。由于\(f(x)=\frac{x}{1-