2025年加拿大數(shù)學競賽（CMO）模擬試卷：組合數(shù)學與數(shù)論進階專題訓練試題

2025年加拿大數(shù)學競賽（CMO）模擬試卷：組合數(shù)學與數(shù)論進階專題訓練試題一、選擇題1.在集合A={1,2,3,4,5}中，從A中任取3個不同的元素，不同的取法共有：A.5種B.10種C.20種D.30種2.設集合M={x|x是2的倍數(shù)，且x≤10}，則集合M中元素的個數(shù)為：A.4B.5C.6D.7二、填空題1.在數(shù)列{an}中，若an=a1+2(an-1)，且a1=1，則數(shù)列{an}的前10項和S10=__________。2.若一個等差數(shù)列的前3項分別是2，5，8，則這個等差數(shù)列的公差為__________。三、解答題1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an=Sn-Sn-1，若a1=1，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列。2.在三角形ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，且a^2+b^2=25，求sinC的值。四、應用題1.一個密碼鎖由4位數(shù)字組成，數(shù)字可以是0到9中的任意一個。請問，如果不允許重復使用相同的數(shù)字，那么這個密碼鎖有多少種不同的組合方式？2.一個班級有30名學生，其中有10名男生和20名女生。現(xiàn)在要從這個班級中選出5名學生參加比賽，要求至少要有2名女生。請問，有多少種不同的選法？五、證明題1.證明：對于任意的正整數(shù)n，n^3-n是6的倍數(shù)。2.證明：對于任意的正整數(shù)n，存在正整數(shù)a和b，使得n=a^2+b^2。六、計算題1.計算組合數(shù)C(10,3)的值。2.計算數(shù)列{an}的前n項和，其中an=n^2+n，求S10。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：從集合A中任取3個不同的元素，實際上是從5個不同的元素中選擇3個，這是一個組合問題。組合數(shù)的計算公式為C(n,k)=n!/(k!(n-k)!),其中n!表示n的階乘。所以，C(5,3)=5!/(3!(5-3)!)=(5×4×3×2×1)/((3×2×1)×(2×1))=10種。2.答案：C解析：集合M中的元素是2的倍數(shù)，且不超過10，所以M={2,4,6,8,10}，共有5個元素。二、填空題1.答案：153解析：數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，其通項公式為an=a1*r^(n-1)，其中a1是首項，r是公比。根據(jù)題意，an=a1+2(an-1)，代入a1=1，得到1+2(an-1)=1*r^(n-1)，化簡得an-1=(1/2)*r^(n-1)。因此，公比r=2，數(shù)列{an}的前10項和S10=a1*(1-r^10)/(1-r)=1*(1-2^10)/(1-2)=153。2.答案：3解析：等差數(shù)列的前3項分別是2，5，8，公差d可以通過任意兩項的差值來計算。所以，d=5-2=3。三、解答題1.答案：證明如下解析：已知an=Sn-Sn-1，且a1=1，所以a2=S2-S1=(a1+a2)-a1=a2，同理可得a3=a3，以此類推，對于任意的n，an=an。因此，數(shù)列{an}是等比數(shù)列。2.答案：sinC=3/5解析：根據(jù)余弦定理，c^2=a^2+b^2-2ab*cosC，代入a=3，b=4，c^2=25，得到3^2+4^2-2*3*4*cosC=25，解得cosC=3/5。由于a^2<b^2+c^2，所以角C是銳角，sinC=√(1-cos^2C)=√(1-(3/5)^2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5，所以sinC=3/5。四、應用題1.答案：1200種解析：這是一個排列問題，4位數(shù)字的排列總數(shù)為4!=4×3×2×1=24種，但是不允許重復使用相同的數(shù)字，所以第一位有10種選擇，第二位有9種選擇，第三位有8種選擇，第四位有7種選擇，總共有10×9×8×7=5040種。但是，這包括了所有數(shù)字都相同的情況，即1111和2222這樣的情況，共有10種。所以，最終的不同組合方式為5040-10=1200種。2.答案：1140種解析：至少要有2名女生，可以分成兩種情況考慮：2名女生和3名女生。2名女生的選法有C(10,2)×C(20,3)種，3名女生的選法有C(10,1)×C(20,4)種。所以，總共有C(10,2)×C(20,3)+C(10,1)×C(20,4)=45×1140+10×4845=51350+48450=99800種。但是，這里計算了女生全部選完的情況，所以需要減去只有女生的情況，即C(20,5)種，所以最終的不同選法為99800-15504=84296種。注意，這里計算有誤，正確的計算應該是：2名女生的選法：C(10,2)×C(20,3)=45×1140=513503名女生的選法：C(10,1)×C(20,4)=10×4845=48450總選法：51350+48450=99800減去只有女生的情況：C(20,5)=15504最終的不同選法：99800-15504=84296五、證明題1.答案：證明如下解析：n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)。因為n、n-1、n+1是三個連續(xù)的整數(shù)，其中必有一個是2的倍數(shù)，一個是3的倍數(shù)，因此n(n-1)(n+1)是6的倍數(shù)。2.答案：證明如下解析：根據(jù)畢達哥拉斯定理，任意兩個整數(shù)a和b可以表示為a=m^2-n^2，b=2mn，其中m和n是整數(shù)。因此，任意正整數(shù)n可以表示為n=a^2+b^2，其中a=m^2-n^2，b=2mn，都是整數(shù)。六、計算題1.答案：C(10,3)=120解析：組合數(shù)C(n,k)表示從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)。C(10,3)=10!/(3!(10-3)!)=(10×9×8)/(3×2×1)=120。2.答案：S10=385解析：數(shù)列{an}的前n項和S10可以通過逐項相加得到，或者使用公式S10=n(a1+an)/2。由于an=n^2+n，所以S10=10(1^2+10^2)/2=10(1+100)/2=10(101)/2=505。但是，這里計算有誤，正確的計算應該是：S10=1^2+2^2+3^2+...+1