2025年考研數(shù)學(xué)（一）概率與數(shù)理統(tǒng)計經(jīng)典題型專項試卷

2025年考研數(shù)學(xué)（一）概率與數(shù)理統(tǒng)計經(jīng)典題型專項試卷一、選擇題1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=2}=P{X=3}，則λ的值為（）（A）1（B）2（C）3（D）42.若隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則P{X>0}=（）（A）0.5（B）0.25（C）0.75（D）13.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，若P{X≤a}=0.8，則P{μ-2σ≤X≤a}=（）（A）0.3（B）0.4（C）0.5（D）0.64.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，則Z=2X-Y～（）（A）N(μ?,σ?2)（B）N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)（C）N(μ?-μ?,σ?2+σ?2)（D）N(μ?+μ?,σ?2-σ?2)5.設(shè)隨機(jī)變量X～U[a,b]，則EX=（）（A）(a+b)/2（B）a（C）b（D）a+b6.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(0,1)，Y～χ2(1)，則P{XY≤1}=（）（A）0.5（B）0.25（C）0.75（D）0.125二、填空題7.設(shè)隨機(jī)變量X～B(n,p)，則DX=__________。8.設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ,σ2)，則P{μ-σ≤X≤μ+σ}=__________。9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(0,1)，Y～χ2(1)，則Z=XY～__________。10.設(shè)隨機(jī)變量X～U[a,b]，則EX=__________。三、解答題11.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，Y～χ2(2)，且X和Y相互獨(dú)立，求Z=√X+Y的分布函數(shù)F(z)。12.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，求P{|X-Y|≤1}。13.設(shè)隨機(jī)變量X～U[0,2]，Y～U[1,3]，求P{X+Y≤4}。四、計算題要求：計算下列概率。14.設(shè)隨機(jī)變量X～N(100,25)，求P{X≤90}。15.設(shè)隨機(jī)變量X～χ2(5)，求P{X≤7}。16.設(shè)隨機(jī)變量X～B(5,0.3)，求P{X≥2}。17.設(shè)隨機(jī)變量X～U[0,π]，求P{sinX≤1}。18.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，X～N(0,1)，Y～U[0,1]，求P{X+Y≤1}。五、證明題要求：證明下列結(jié)論。19.證明：若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，則Z=aX+bY也服從正態(tài)分布，并求出其參數(shù)。20.證明：若隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～χ2(1)，Y～χ2(2)，則Z=X+Y～χ2(3)。六、應(yīng)用題要求：解決下列實際問題。21.某批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，求抽取到至少1件次品的概率。22.某班有30名學(xué)生，其中有20名男生和10名女生，現(xiàn)隨機(jī)抽取3名學(xué)生參加比賽，求抽到的3名學(xué)生中至少有2名女生的概率。23.某城市交通事故的發(fā)生率服從泊松分布，平均每天發(fā)生2起事故，求該城市某天發(fā)生3起或更多事故的概率。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：泊松分布的公式為P{X=k}=λ^k*e^(-λ)/k!，根據(jù)題目條件P{X=2}=P{X=3}，得到λ^2*e^(-λ)/2!=λ^3*e^(-λ)/3!，化簡得λ=2。2.A解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對稱性，即P{X≤0}=0.5。3.C解析：正態(tài)分布的對稱性，P{μ-σ≤X≤μ+σ}=0.6826，約為0.5。4.C解析：隨機(jī)變量線性組合的分布，Z=2X-Y的分布為N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)。5.A解析：均勻分布的期望值計算公式，E(X)=(a+b)/2。6.B解析：獨(dú)立隨機(jī)變量的乘積的分布，XY～χ2(1+1)=χ2(2)。二、填空題7.np(1-p)解析：二項分布的方差公式。8.0.6826解析：正態(tài)分布的對稱性，P{μ-σ≤X≤μ+σ}=0.6826。9.χ2(2)解析：獨(dú)立隨機(jī)變量的乘積的分布，XY～χ2(1+1)=χ2(2)。10.(a+b)/2解析：均勻分布的期望值計算公式。三、解答題11.解析：Z的分布函數(shù)F(z)為F(z)=P{√X+Y≤z}，利用X和Y的分布函數(shù)求解。12.解析：利用正態(tài)分布的性質(zhì)，將P{|X-Y|≤1}轉(zhuǎn)化為P{X≤Y+1}+P{Y≤X+1}。13.解析：利用均勻分布的性質(zhì)，計算X+Y在[1,4]區(qū)間的概率。四、計算題14.解析：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得到P{X≤90}=0.8413。15.解析：查χ2分布表，得到P{X≤7}=0.9772。16.解析：查二項分布表，得到P{X≥2}=0.9544。17.解析：利用三角函數(shù)的性質(zhì)，sinX在[0,π]區(qū)間內(nèi)的取值范圍為[0,1]，所以P{sinX≤1}=1。18.解析：利用獨(dú)立隨機(jī)變量的乘積的分布，X+Y的分布為N(0,2)，計算概率。五、證明題19.解析：利用正態(tài)分布的性質(zhì)和線性組合的分布，證明Z=αX+βY服從正態(tài)分布，并求出參數(shù)。20.解析：利用χ2分布的性質(zhì)，證明