第08講平面上的距離（十二大題型）（原卷版）

第08講平面上的距離【題型歸納目錄】題型一：中點(diǎn)公式題型二：兩點(diǎn)距離公式題型三：由頂點(diǎn)判斷三角形的形狀題型四：由兩點(diǎn)距離公式求最值題型五：點(diǎn)線距離公式題型六：面積問(wèn)題題型七：由點(diǎn)線距離求參數(shù)題型八：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱題型九：直線關(guān)于直線對(duì)稱題型十：平行線間距離公式題型十一：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱題型十二：將軍飲馬問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：中點(diǎn)坐標(biāo)公式若兩點(diǎn)、，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，則此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．知識(shí)點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：此公式可以用來(lái)求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問(wèn)題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來(lái)解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．知識(shí)點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．知識(shí)點(diǎn)四：兩平行線間的距離本類問(wèn)題常見(jiàn)的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．【典例例題】題型一：中點(diǎn)公式【例1】（2023·浙江·麗水外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線l經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，且被兩條已知直線截得的線段恰以P為中點(diǎn)，求直線l的方程．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，求線段的長(zhǎng)．題型二：兩點(diǎn)距離公式【例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)，，則A，B兩點(diǎn)的距離為（

）A．25 B．5C．4 D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，則為（

）A．5 B． C． D．4【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知點(diǎn)A、B是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2題型三：由頂點(diǎn)判斷三角形的形狀【例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形題型四：由兩點(diǎn)距離公式求最值【例4】（2023·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·遼寧大連·高二育明高中校考階段練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·北京·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A． B． C． D．題型五：點(diǎn)線距離公式【例5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是（

）A．10 B． C． D．2【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)在直線上，為原點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·福建泉州·高二校考階段練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·河南濮陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）若點(diǎn)到直線的距離為（

）A．2 B．3 C． D．4題型六：面積問(wèn)題【例6】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為_(kāi)__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)作四條直線構(gòu)成一個(gè)正方形，則該正方形的面積可以為_(kāi)_____．（寫出符合條件的一個(gè)答案即可）【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·廣西梧州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，則的面積為_(kāi)_______．題型七：由點(diǎn)線距離求參數(shù)【例7】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知到直線的距離等于4，則a的值為_(kāi)_________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A到直線的距離為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則___________.題型八：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱【例8】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則與點(diǎn)重合的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）直線恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)N坐標(biāo)為_(kāi)________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·重慶九龍坡·高二重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為_(kāi)_________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·北京·高二北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.題型九：直線關(guān)于直線對(duì)稱【例9】（2023·高二單元測(cè)試）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為_(kāi)______________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是__.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？计谥校┲本€關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為_(kāi)_______題型十：平行線間距離公式【例10】（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)_________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┲本€與直線間的距離為_(kāi)_________【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）若直線：與：平行，則與之間的距離為_(kāi)_____．題型十一：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【例11】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為_(kāi)_________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┡c直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是_________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是____________．題型十二：將軍飲馬問(wèn)題【例12】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（3，5）和B（2，15），在直線上找一點(diǎn)P，使最小，并求這個(gè)最小值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線.(1)求直線的方程；(2)已知兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使得最小，求點(diǎn)的坐標(biāo).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面上兩點(diǎn)和，在直線上求一點(diǎn)M．(1)使最大值；(2)使最?。緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(1)求直線的方程；(2)記原點(diǎn)為，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（

）A． B． C． D．2．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎本€：過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．3．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知到直線的距離等于3，則a的值為（

）A． B．或 C．或 D．6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)C在x軸上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）到兩條直線與的距離相等的點(diǎn)必定滿足方程（）.A．或 B．或C．或 D．或二、多選題9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與直線l相互平行 B．直線與直線l相互垂直C．直線與直線l相交 D．點(diǎn)到直線l的距離為10．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）下列各結(jié)論，正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則B．直線與直線之間的距離為C．直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小為1D．點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等11．（2023·山東濟(jì)南·高二?？计谥校┮阎瑑牲c(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)的值可能為（

）A． B．3 C． D．112．（2023·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A．已知點(diǎn)，若直線與線段相交，則的取值范圍是B．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為C．直線方向向量為，則此直線傾斜角為D．若直線與直線平行，則或2三、填空題13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）傾斜角為，并且與原點(diǎn)的距離是5的直線方程為_(kāi)______________．14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知定點(diǎn)，若直線上總存在點(diǎn)，滿足條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線和直線分別過(guò)定點(diǎn)和，則|________．16．（2023·四川德陽(yáng)·高二德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．四、解答題17．（2023·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎娜齻€(gè)頂點(diǎn)，，.(1)求直線的方程；(2)求的面積.18．（2023·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線的一般式方程：(1)經(jīng)過(guò)直線,的交點(diǎn)P，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)與直線垂直，且點(diǎn)到直線的距離為．19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，且∥．(1